Órbitas elípticas

Problema

2025 · Extraordinaria · Titular

A1

Un satélite de comunicaciones orbita alrededor de la Tierra en una trayectoria elíptica cuyo apogeo se encuentra a $39700 \text{ km}$ de altitud sobre la superficie de la Tierra. Si el satélite da una vuelta completa cada $12 \text{ h}$ , determine:

a) La altura sobre la superficie terrestre a la que se encontrará el satélite en el perigeo de su trayectoria y la relación entre sus velocidades en el perigeo y en el apogeo (

v_p/v_a

).b) La velocidad del satélite en el perigeo y la velocidad hasta la que habría que reducir al satélite para que pasase de una órbita elíptica a una órbita circular de radio igual a la distancia al perigeo.

Datos: Constante de Gravitación Universal, $G = 6,67 \cdot 10^{-11} \text{ N} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{kg}^{-2}$ ; Masa de la Tierra, $M_T = 5,97 \cdot 10^{24} \text{ kg}$ ; Radio de la Tierra, $R_T = 6,37 \cdot 10^6 \text{ m}$ .

GravitaciónÓrbitasLeyes de Kepler

a) La altura sobre la superficie terrestre a la que se encontrará el satélite en el perigeo de su trayectoria y la relación entre sus velocidades en el perigeo y en el apogeo (

v_p/v_a

).

Primero, convertimos todos los datos a unidades del Sistema Internacional (SI):

R_T = 6,37 \cdot 10^6 \text{ m}

h_a = 39700 \text{ km} = 39700 \cdot 10^3 \text{ m} = 3,97 \cdot 10^7 \text{ m}

T = 12 \text{ h} = 12 \cdot 3600 \text{ s} = 43200 \text{ s}

G = 6,67 \cdot 10^{-11} \text{ N} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{kg}^{-2}

M_T = 5,97 \cdot 10^{24} \text{ kg}

La constante $G M_T$ es útil para simplificar cálculos:

G M_T = (6,67 \cdot 10^{-11} \text{ N} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{kg}^{-2})(5,97 \cdot 10^{24} \text{ kg}) = 3,98139 \cdot 10^{14} \text{ m}^3 \cdot \text{s}^{-2}

Representamos el esquema de un satélite en órbita:

La distancia del apogeo al centro de la Tierra ( $r_a$ ) es la suma del radio terrestre y la altura del apogeo:

r_a = R_T + h_a = 6,37 \cdot 10^6 \text{ m} + 3,97 \cdot 10^7 \text{ m} = 4,607 \cdot 10^7 \text{ m}

Según la Tercera Ley de Kepler, el semi-eje mayor de la órbita ( $a$ ) se relaciona con el periodo ( $T$ ) mediante la expresión:

T^2 = \frac{4\pi^2}{G M_T} a^3

Despejamos $a$ y sustituimos los valores:

a^3 = \frac{G M_T T^2}{4\pi^2} = \frac{(3,98139 \cdot 10^{14} \text{ m}^3 \cdot \text{s}^{-2})(43200 \text{ s})^2}{4\pi^2}

a^3 = \frac{(3,98139 \cdot 10^{14})(1,86624 \cdot 10^9)}{39,4784176} \approx 1,88219 \cdot 10^{22} \text{ m}^3

a = (1,88219 \cdot 10^{22})^{1/3} \text{ m} \approx 2,65823 \cdot 10^7 \text{ m}

Para una órbita elíptica, la suma de las distancias al apogeo ( $r_a$ ) y al perigeo ( $r_p$ ) es igual a dos veces el semi-eje mayor ( $2a$ ):

2a = r_a + r_p \Rightarrow r_p = 2a - r_a

Sustituyendo los valores:

r_p = 2(2,65823 \cdot 10^7 \text{ m}) - 4,607 \cdot 10^7 \text{ m}

r_p = 5,31646 \cdot 10^7 \text{ m} - 4,607 \cdot 10^7 \text{ m} = 0,70946 \cdot 10^7 \text{ m} = 7,0946 \cdot 10^6 \text{ m}

La altura sobre la superficie terrestre en el perigeo ( $h_p$ ) es la diferencia entre el radio del perigeo y el radio terrestre:

h_p = r_p - R_T = 7,0946 \cdot 10^6 \text{ m} - 6,37 \cdot 10^6 \text{ m} = 0,7246 \cdot 10^6 \text{ m} = 724,6 \text{ km} \approx 725 \text{ km}

Para determinar la relación entre las velocidades en el perigeo y el apogeo ( $v_p/v_a$ ), utilizamos la conservación del momento angular. El momento angular ( $L = mvr$ ) es constante en una órbita kepleriana:

L_p = L_a \Rightarrow m v_p r_p = m v_a r_a

\frac{v_p}{v_a} = \frac{r_a}{r_p}

Sustituyendo los valores de $r_a$ y $r_p$ :

\frac{v_p}{v_a} = \frac{4,607 \cdot 10^7 \text{ m}}{7,0946 \cdot 10^6 \text{ m}} \approx 6,494

b) La velocidad del satélite en el perigeo y la velocidad hasta la que habría que reducir al satélite para que pasase de una órbita elíptica a una órbita circular de radio igual a la distancia al perigeo.

La velocidad del satélite en el perigeo ( $v_p$ ) se puede calcular usando la ecuación de Vis-Viva para órbitas elípticas:

v^2 = G M_T \left( \frac{2}{r} - \frac{1}{a} \right)

Para el perigeo ( $r=r_p$ ):

v_p^2 = G M_T \left( \frac{2}{r_p} - \frac{1}{a} \right)

Sustituyendo los valores:

v_p^2 = (3,98139 \cdot 10^{14} \text{ m}^3 \cdot \text{s}^{-2}) \left( \frac{2}{7,0946 \cdot 10^6 \text{ m}} - \frac{1}{2,65823 \cdot 10^7 \text{ m}} \right)

v_p^2 = (3,98139 \cdot 10^{14}) \left( (2,8190 \cdot 10^{-7}) - (3,7619 \cdot 10^{-8}) \right) \text{ m}^2 \cdot \text{s}^{-2}

v_p^2 = (3,98139 \cdot 10^{14}) (2,44281 \cdot 10^{-7}) \text{ m}^2 \cdot \text{s}^{-2} \approx 9,7259 \cdot 10^7 \text{ m}^2 \cdot \text{s}^{-2}

v_p = \sqrt{9,7259 \cdot 10^7 \text{ m}^2 \cdot \text{s}^{-2}} \approx 9862 \text{ m/s}

Para que el satélite pase a una órbita circular con un radio igual a la distancia del perigeo ( $r_c = r_p$ ), su velocidad ( $v_c$ ) debe ser la velocidad orbital circular para ese radio. Esta velocidad se obtiene igualando la fuerza gravitatoria a la fuerza centrípeta:

\frac{G M_T m}{r_c^2} = \frac{m v_c^2}{r_c} \Rightarrow v_c = \sqrt{\frac{G M_T}{r_c}}

Sustituyendo $r_c = r_p = 7,0946 \cdot 10^6 \text{ m}$ :

v_c = \sqrt{\frac{3,98139 \cdot 10^{14} \text{ m}^3 \cdot \text{s}^{-2}}{7,0946 \cdot 10^6 \text{ m}}}

v_c = \sqrt{5,6119 \cdot 10^7 \text{ m}^2 \cdot \text{s}^{-2}} \approx 7491 \text{ m/s}

Por lo tanto, la velocidad a la que habría que reducir el satélite para que entre en una órbita circular de radio igual al perigeo es de $7491 \text{ m/s}$ .

T3: Vibraciones y ondas

Sonido

Problema

2025 · Extraordinaria · Titular

A2

Dos focos sonoros puntuales $F_1$ y $F_2$ están situados en las posiciones $(0, 3) \text{ m}$ y $(4, 0) \text{ m}$ del plano $xy$ . Cuando emiten por separado, el nivel de intensidad sonora debido al foco 1 a una distancia de $2 \text{ m}$ de este es $\beta_1 = 55 \text{ dB}$ , mientras que el nivel de intensidad sonora debido al foco 2 es $\beta_2 = 65 \text{ dB}$ a $2 \text{ m}$ de este. Halle:

a) La intensidad y el nivel de intensidad sonora en el origen cuando ambos focos emiten simultáneamente.b) La distancia al foco

F_1

del punto situado sobre el segmento que une ambos focos en el que las intensidades generadas por ambos focos son iguales.

Dato: Intensidad umbral, $I_0 = 1 \cdot 10^{-12} \text{ W} \cdot \text{m}^{-2}$ .

Intensidad sonoraNivel de intensidadDecibelios

a) La intensidad y el nivel de intensidad sonora en el origen cuando ambos focos emiten simultáneamente.

Primero, calculamos las potencias de cada foco a partir de los niveles de intensidad dados.

\beta = 10 \log_{10} \left( \frac{I}{I_0} \right) \implies I = I_0 \cdot 10^{\beta/10}

Para el foco $F_1$ , a $r_1' = 2 \text{ m}$ :

I_1' = I_0 \cdot 10^{\beta_1/10} = 1 \cdot 10^{-12} \cdot 10^{55/10} = 10^{-12} \cdot 10^{5.5} = 10^{-6.5} \text{ W} \cdot \text{m}^{-2}

La potencia $P_1$ del foco $F_1$ se obtiene de la intensidad a $r_1'$ :

I = \frac{P}{4\pi r^2} \implies P = I \cdot 4\pi r^2

P_1 = I_1' \cdot 4\pi (r_1')^2 = 10^{-6.5} \cdot 4\pi (2\text{ m})^2 = 16\pi \cdot 10^{-6.5} \text{ W}

Para el foco $F_2$ , a $r_2' = 2 \text{ m}$ :

I_2' = I_0 \cdot 10^{\beta_2/10} = 1 \cdot 10^{-12} \cdot 10^{65/10} = 10^{-12} \cdot 10^{6.5} = 10^{-5.5} \text{ W} \cdot \text{m}^{-2}

La potencia $P_2$ del foco $F_2$ es:

P_2 = I_2' \cdot 4\pi (r_2')^2 = 10^{-5.5} \cdot 4\pi (2\text{ m})^2 = 16\pi \cdot 10^{-5.5} \text{ W}

Ahora, calculamos las distancias de cada foco al origen $(0,0)$ :

r_1 = \sqrt{(0-0)^2 + (0-3)^2} = \sqrt{0^2 + (-3)^2} = 3 \text{ m}

r_2 = \sqrt{(0-4)^2 + (0-0)^2} = \sqrt{(-4)^2 + 0^2} = 4 \text{ m}

Calculamos la intensidad en el origen debido a cada foco:

I_1 = \frac{P_1}{4\pi r_1^2} = \frac{16\pi \cdot 10^{-6.5}}{4\pi (3)^2} = \frac{4}{9} \cdot 10^{-6.5} \text{ W} \cdot \text{m}^{-2}

I_2 = \frac{P_2}{4\pi r_2^2} = \frac{16\pi \cdot 10^{-5.5}}{4\pi (4)^2} = \frac{16\pi \cdot 10^{-5.5}}{64\pi} = \frac{1}{4} \cdot 10^{-5.5} \text{ W} \cdot \text{m}^{-2}

La intensidad total $I_{total}$ en el origen, cuando ambos focos emiten simultáneamente, es la suma de las intensidades (asumiendo fuentes incoherentes):

I_{total} = I_1 + I_2 = \frac{4}{9} \cdot 10^{-6.5} + \frac{1}{4} \cdot 10^{-5.5}

Para sumar, expresamos ambas potencias de diez con el mismo exponente:

I_{total} = \frac{4}{9} \cdot (10^{-1} \cdot 10^{-5.5}) + \frac{1}{4} \cdot 10^{-5.5} = \left( \frac{4}{90} + \frac{1}{4} \right) \cdot 10^{-5.5}

I_{total} = \left( \frac{8}{180} + \frac{45}{180} \right) \cdot 10^{-5.5} = \frac{53}{180} \cdot 10^{-5.5} \text{ W} \cdot \text{m}^{-2}

Calculando el valor numérico de la intensidad total:

I_{total} = \frac{53}{180} \cdot 10^{-5.5} \approx 0.2944 \cdot 3.162 \cdot 10^{-6} \approx 9.31 \cdot 10^{-7} \text{ W} \cdot \text{m}^{-2}

El nivel de intensidad sonora total $\beta_{total}$ en el origen es:

\beta_{total} = 10 \log_{10} \left( \frac{I_{total}}{I_0} \right) = 10 \log_{10} \left( \frac{\frac{53}{180} \cdot 10^{-5.5}}{1 \cdot 10^{-12}} \right)

\beta_{total} = 10 \log_{10} \left( \frac{53}{180} \cdot 10^{6.5} \right)

\beta_{total} = 10 \left( \log_{10} \left( \frac{53}{180} \right) + 6.5 \right)

\beta_{total} \approx 10 (\log_{10}(0.2944) + 6.5) \approx 10 (-0.5309 + 6.5) \approx 10 (5.9691) \approx 59.7 \text{ dB}

b) La distancia al foco

F_1

del punto situado sobre el segmento que une ambos focos en el que las intensidades generadas por ambos focos son iguales.

Primero, calculamos la distancia total $d$ entre los focos $F_1(0,3)$ y $F_2(4,0)$ :

d = \sqrt{(4-0)^2 + (0-3)^2} = \sqrt{4^2 + (-3)^2} = \sqrt{16+9} = \sqrt{25} = 5 \text{ m}

Sea $r_1$ la distancia desde el punto $P$ al foco $F_1$ . Como el punto $P$ está sobre el segmento que une ambos focos, la distancia desde $P$ al foco $F_2$ será $r_2 = d - r_1 = 5 - r_1$ .En el punto $P$ , las intensidades generadas por ambos focos son iguales: $I_1(P) = I_2(P)$ .

\frac{P_1}{4\pi r_1^2} = \frac{P_2}{4\pi r_2^2}

\frac{P_1}{r_1^2} = \frac{P_2}{(5-r_1)^2}

Sustituimos las expresiones para $P_1$ y $P_2$ :

\frac{16\pi \cdot 10^{-6.5}}{r_1^2} = \frac{16\pi \cdot 10^{-5.5}}{(5-r_1)^2}

Simplificamos la expresión:

\frac{10^{-6.5}}{r_1^2} = \frac{10^{-5.5}}{(5-r_1)^2}

\frac{(5-r_1)^2}{r_1^2} = \frac{10^{-5.5}}{10^{-6.5}} = 10^{(-5.5 - (-6.5))} = 10^{1} = 10

\left( \frac{5-r_1}{r_1} \right)^2 = 10

Tomamos la raíz cuadrada. Como $r_1$ es una distancia y el punto está en el segmento, $r_1 > 0$ y $5-r_1 > 0$ , así que tomamos la raíz positiva:

\frac{5-r_1}{r_1} = \sqrt{10}

5 - r_1 = r_1 \sqrt{10}

5 = r_1 (1 + \sqrt{10})

r_1 = \frac{5}{1 + \sqrt{10}}

Calculando el valor numérico:

r_1 \approx \frac{5}{1 + 3.16227766} = \frac{5}{4.16227766} \approx 1.201 \text{ m}

La distancia al foco $F_1$ es aproximadamente $1.20 \text{ m}$ .

T2: Interacción electromagnética

Campo eléctrico

Problema

2025 · Extraordinaria · Titular

A3

Una partícula con carga $2 \text{ nC}$ está situada en el origen de coordenadas mientras que una segunda partícula con carga $4 \text{ nC}$ está situada en el punto $(6, 0) \text{ m}$ del plano $xy$ .

a) Obtenga el campo eléctrico generado por ambas cargas en el punto

(2, 2) \text{ m}

.b) Determine el punto situado entre ambas cargas en el que si situásemos un electrón la fuerza total sobre este sería nula. Obtenga el trabajo realizado por la fuerza electrostática para traer dicho electrón desde el infinito hasta el punto anterior.

Datos: Constante de la ley de Coulomb, $K = 9 \cdot 10^9 \text{ N} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{C}^{-2}$ ; Valor absoluto de la carga del electrón, $e = 1,6 \cdot 10^{-19} \text{ C}$ .

Potencial eléctricoCarga puntualTrabajo eléctrico

a) Obtención del campo eléctrico generado por ambas cargas en el punto

(2, 2) \text{ m}

.

Las cargas son $q_1 = 2 \cdot 10^{-9} \text{ C}$ en el origen $(0,0)$ y $q_2 = 4 \cdot 10^{-9} \text{ C}$ en $(6,0)$ . El punto de interés es $P(2,2)$ . La constante de Coulomb es $K = 9 \cdot 10^9 \text{ N} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{C}^{-2}$ . El campo eléctrico $\vec{E}$ generado por una carga puntual $q$ en un punto con vector de posición $\vec{r}$ respecto a la carga es:

\vec{E} = K \frac{q}{r^2} \hat{u}_r

Donde $\hat{u}_r$ es el vector unitario que va de la carga al punto.Campo eléctrico $\vec{E}_1$ debido a $q_1$ en $P$ :

\vec{r}_{P1} = (2-0)\hat{i} + (2-0)\hat{j} = (2\hat{i} + 2\hat{j}) \text{ m}

r_{P1} = |\vec{r}_{P1}| = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \text{ m}

\hat{u}_{P1} = \frac{\vec{r}_{P1}}{r_{P1}} = \frac{2\hat{i} + 2\hat{j}}{2\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}\hat{i} + \frac{1}{\sqrt{2}}\hat{j}

\vec{E}_1 = (9 \cdot 10^9 \text{ N} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{C}^{-2}) \frac{2 \cdot 10^{-9} \text{ C}}{(2\sqrt{2} \text{ m})^2} \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\hat{i} + \frac{1}{\sqrt{2}}\hat{j}\right)

\vec{E}_1 = \frac{18}{8} \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\hat{i} + \frac{1}{\sqrt{2}}\hat{j}\right) \text{ N/C} = \left(\frac{9}{4\sqrt{2}}\hat{i} + \frac{9}{4\sqrt{2}}\hat{j}\right) \text{ N/C}

\vec{E}_1 \approx (1.591\hat{i} + 1.591\hat{j}) \text{ N/C}

Campo eléctrico $\vec{E}_2$ debido a $q_2$ en $P$ :

\vec{r}_{P2} = (2-6)\hat{i} + (2-0)\hat{j} = (-4\hat{i} + 2\hat{j}) \text{ m}

r_{P2} = |\vec{r}_{P2}| = \sqrt{(-4)^2 + 2^2} = \sqrt{16+4} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} \text{ m}

\hat{u}_{P2} = \frac{\vec{r}_{P2}}{r_{P2}} = \frac{-4\hat{i} + 2\hat{j}}{2\sqrt{5}} = \left(-\frac{2}{\sqrt{5}}\hat{i} + \frac{1}{\sqrt{5}}\hat{j}\right)

\vec{E}_2 = (9 \cdot 10^9 \text{ N} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{C}^{-2}) \frac{4 \cdot 10^{-9} \text{ C}}{(2\sqrt{5} \text{ m})^2} \left(-\frac{2}{\sqrt{5}}\hat{i} + \frac{1}{\sqrt{5}}\hat{j}\right)

\vec{E}_2 = \frac{36}{20} \left(-\frac{2}{\sqrt{5}}\hat{i} + \frac{1}{\sqrt{5}}\hat{j}\right) \text{ N/C} = \left(-\frac{18}{5\sqrt{5}}\hat{i} + \frac{9}{5\sqrt{5}}\hat{j}\right) \text{ N/C}

\vec{E}_2 \approx (-1.610\hat{i} + 0.805\hat{j}) \text{ N/C}

El campo eléctrico total $\vec{E}$ en el punto $P$ es la suma vectorial de $\vec{E}_1$ y $\vec{E}_2$ :

\vec{E} = \vec{E}_1 + \vec{E}_2 = \left(\frac{9}{4\sqrt{2}} - \frac{18}{5\sqrt{5}}\right)\hat{i} + \left(\frac{9}{4\sqrt{2}} + \frac{9}{5\sqrt{5}}\right)\hat{j}

\vec{E} = \left(\frac{45\sqrt{5} - 72\sqrt{2}}{20\sqrt{10}}\right)\hat{i} + \left(\frac{45\sqrt{5} + 36\sqrt{2}}{20\sqrt{10}}\right)\hat{j} \text{ N/C}

\vec{E} \approx (1.591 - 1.610)\hat{i} + (1.591 + 0.805)\hat{j}

\vec{E} \approx (-0.019\hat{i} + 2.396\hat{j}) \text{ N/C}

b) Determinación del punto entre ambas cargas donde la fuerza total sobre un electrón sería nula y trabajo realizado.

Para que la fuerza total sobre un electrón sea nula, el campo eléctrico total en ese punto debe ser nulo. Dado que ambas cargas ( $q_1$ y $q_2$ ) son positivas y están situadas en el eje $x$ , el punto donde el campo eléctrico es cero debe estar entre ellas en el eje $x$ . Sea este punto $x$ (con $0 < x < 6$ ). En este punto, los campos eléctricos generados por $q_1$ y $q_2$ deben tener la misma magnitud y dirección opuesta.

E_1 = E_2

K \frac{q_1}{x^2} = K \frac{q_2}{(6-x)^2}

\frac{2 \cdot 10^{-9} \text{ C}}{x^2} = \frac{4 \cdot 10^{-9} \text{ C}}{(6-x)^2}

\frac{1}{x^2} = \frac{2}{(6-x)^2}

(6-x)^2 = 2x^2

36 - 12x + x^2 = 2x^2

x^2 + 12x - 36 = 0

Resolviendo la ecuación cuadrática:

x = \frac{-12 \pm \sqrt{12^2 - 4(1)(-36)}}{2(1)} = \frac{-12 \pm \sqrt{144 + 144}}{2} = \frac{-12 \pm \sqrt{288}}{2}

x = \frac{-12 \pm 12\sqrt{2}}{2} = -6 \pm 6\sqrt{2} \text{ m}

Para que el punto esté entre las cargas, $0 < x < 6$ . El valor positivo es:

x = -6 + 6\sqrt{2} \approx -6 + 6(1.4142) = -6 + 8.4852 = 2.4852 \text{ m}

El punto donde la fuerza es nula está en $(2.4852, 0) \text{ m}$ .El trabajo realizado por la fuerza electrostática para traer un electrón desde el infinito hasta este punto $P'$ es:

W_{\infty \to P'} = q_e (V_{\infty} - V_{P'})

Donde $q_e = -e = -1.6 \cdot 10^{-19} \text{ C}$ y el potencial en el infinito $V_{\infty} = 0$ . Por lo tanto, $W_{\infty \to P'} = -q_e V_{P'}$ .Primero calculamos el potencial $V_{P'}$ en el punto $x = 6(\sqrt{2}-1) \text{ m}$ debido a ambas cargas:

V_{P'} = K \frac{q_1}{x} + K \frac{q_2}{6-x}

V_{P'} = K \left( \frac{q_1}{6(\sqrt{2}-1)} + \frac{q_2}{6 - 6(\sqrt{2}-1)} \right)

V_{P'} = K \left( \frac{2 \cdot 10^{-9}}{6(\sqrt{2}-1)} + \frac{4 \cdot 10^{-9}}{6(2-\sqrt{2})} \right)

V_{P'} = 9 \cdot 10^9 \text{ N} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{C}^{-2} \cdot 10^{-9} \text{ C} \left( \frac{2}{6(\sqrt{2}-1)} + \frac{4}{6(2-\sqrt{2})} \right)

V_{P'} = 9 \left( \frac{1}{3(\sqrt{2}-1)} + \frac{2}{3(2-\sqrt{2})} \right) \text{ V}

V_{P'} = 3 \left( \frac{1}{\sqrt{2}-1} + \frac{2}{2-\sqrt{2}} \right) \text{ V}

Racionalizando los denominadores:

\frac{1}{\sqrt{2}-1} = \frac{\sqrt{2}+1}{2-1} = \sqrt{2}+1

\frac{2}{2-\sqrt{2}} = \frac{2(2+\sqrt{2})}{4-2} = 2+\sqrt{2}

V_{P'} = 3 ((\sqrt{2}+1) + (2+\sqrt{2})) = 3(3+2\sqrt{2}) \text{ V}

V_{P'} = (9 + 6\sqrt{2}) \text{ V} \approx (9 + 6 \cdot 1.4142) \text{ V} = (9 + 8.4852) \text{ V} = 17.4852 \text{ V}

Finalmente, el trabajo realizado por la fuerza electrostática:

W_{\infty \to P'} = -(-1.6 \cdot 10^{-19} \text{ C}) \cdot (9 + 6\sqrt{2}) \text{ V}

W_{\infty \to P'} = (1.6 \cdot 10^{-19}) (9 + 6\sqrt{2}) \text{ J}

W_{\infty \to P'} \approx (1.6 \cdot 10^{-19}) (17.4852) \text{ J}

W_{\infty \to P'} \approx 2.7976 \cdot 10^{-18} \text{ J}

T4: Óptica

Reflexión y refracción

Problema

2025 · Extraordinaria · Titular

A4

Dos cristales de grosor $10 \text{ cm}$ e índices de refracción $n_1 = 1,40$ y $n_2 = 1,50$ , están separados por una capa de aire de espesor desconocido, $e$ . Un rayo de luz incide por el punto $A$ desde el cristal 1 hacia el cristal 2 atravesando la capa de aire que los separa con un ángulo de incidencia de $30^\circ$ y saliendo por el punto $B$ tal y como se indica en la figura. Si la distancia horizontal entre los puntos $A$ y $B$ es $d = 9,2 \text{ cm}$ , determine:

a) El espesor,

e

, de la capa de aire situada entre ambos cristales.b) El tiempo que tarda el rayo de luz en llegar desde el punto

A

hasta el punto

B

.

Datos: Velocidad de la luz en el vacío, $c = 3 \cdot 10^8 \text{ m} \cdot \text{s}^{-1}$ ; Índice de refracción del aire, $n = 1$ .

Ley de SnellRefracciónCristales

a) El espesor,

e

, de la capa de aire situada entre ambos cristales.

Aplicamos la Ley de Snell en la primera interfase (Cristal 1 - Aire) para encontrar el ángulo de refracción en el aire, $r_1$ .

n_1 \sin(i_1) = n_{aire} \sin(r_1)

1.40 \cdot \sin(30^\circ) = 1 \cdot \sin(r_1)

\sin(r_1) = 1.40 \cdot 0.5 = 0.7

r_1 = \arcsin(0.7) \approx 44.43^\circ

Ahora, aplicamos la Ley de Snell en la segunda interfase (Aire - Cristal 2) para encontrar el ángulo de refracción en el cristal 2, $r_2$ . El ángulo de incidencia en esta interfase es $r_1$ .

n_{aire} \sin(r_1) = n_2 \sin(r_2)

1 \cdot 0.7 = 1.50 \cdot \sin(r_2)

\sin(r_2) = \frac{0.7}{1.50} = \frac{7}{15}

r_2 = \arcsin\left(\frac{7}{15}\right) \approx 27.82^\circ

La distancia horizontal total $d$ es la suma de los desplazamientos horizontales en la capa de aire ( $x_{aire}$ ) y en el cristal 2 ( $x_2$ ). La altura del cristal 2 es $h_2 = 10 \text{ cm} = 0.1 \text{ m}$ .

x_{aire} = e \tan(r_1)

x_2 = h_2 \tan(r_2)

d = x_{aire} + x_2 = e \tan(r_1) + h_2 \tan(r_2)

Calculamos los valores de las tangentes:

\tan(r_1) = \tan(44.43^\circ) \approx 0.9802

\tan(r_2) = \tan(27.82^\circ) \approx 0.5277

Sustituimos los valores conocidos en la ecuación de la distancia horizontal. $d = 9.2 \text{ cm} = 0.092 \text{ m}$ .

0.092 \text{ m} = e \cdot (0.9802) + 0.1 \text{ m} \cdot (0.5277)

0.092 = 0.9802e + 0.05277

0.9802e = 0.092 - 0.05277

0.9802e = 0.03923

e = \frac{0.03923}{0.9802} \approx 0.04002 \text{ m}

El espesor de la capa de aire es $e = 4.00 \text{ cm}$ .

b) El tiempo que tarda el rayo de luz en llegar desde el punto

A

hasta el punto

B

.

El tiempo total es la suma del tiempo que el rayo de luz pasa en el aire ( $t_{aire}$ ) y en el cristal 2 ( $t_2$ ). La velocidad de la luz en un medio con índice de refracción $n$ es $v = c/n$ . La longitud del camino recorrido en cada medio es $L = \text{espesor} / \cos(\theta_{\text{refracción}})$ . Por lo tanto, el tiempo en cada medio es $t = \frac{\text{espesor} \cdot n}{c \cdot \cos(\theta_{\text{refracción}})}$ .

t_{aire} = \frac{e \cdot n_{aire}}{c \cdot \cos(r_1)}

t_{aire} = \frac{0.04002 \text{ m} \cdot 1}{3 \cdot 10^8 \text{ m} \cdot \text{s}^{-1} \cdot \cos(44.43^\circ)}

t_{aire} = \frac{0.04002}{3 \cdot 10^8 \cdot 0.71414} = \frac{0.04002}{2.14242 \cdot 10^8} \approx 1.868 \cdot 10^{-10} \text{ s}

t_2 = \frac{h_2 \cdot n_2}{c \cdot \cos(r_2)}

t_2 = \frac{0.1 \text{ m} \cdot 1.50}{3 \cdot 10^8 \text{ m} \cdot \text{s}^{-1} \cdot \cos(27.82^\circ)}

t_2 = \frac{0.15}{3 \cdot 10^8 \cdot 0.8844} = \frac{0.15}{2.6532 \cdot 10^8} \approx 5.653 \cdot 10^{-10} \text{ s}

El tiempo total desde A hasta B es:

t_{total} = t_{aire} + t_2 = 1.868 \cdot 10^{-10} \text{ s} + 5.653 \cdot 10^{-10} \text{ s}

t_{total} = 7.521 \cdot 10^{-10} \text{ s}

El tiempo que tarda el rayo de luz en llegar desde el punto A hasta el punto B es $7.52 \cdot 10^{-10} \text{ s}$ .

T6: Física nuclear

Radiactividad

Problema

2025 · Extraordinaria · Titular

A5

Para una prueba diagnóstica se utiliza una cierta cantidad del isótopo 99 del tecnecio ( $^{99}\text{Tc}$ ) cuyo tiempo de semidesintegración es de $6 \text{ h}$ . Sabiendo que la actividad de la dosis que hay que inocular al paciente es de $5 \cdot 10^8 \text{ Bq}$ , determine:

a) La masa de isótopo que hay que inyectar al paciente.b) El tiempo que debe transcurrir para que la actividad sea de

1 \cdot 10^4 \text{ Bq}

.

Datos: Masa atómica del $^{99}\text{Tc}$ , $M_{^{99}\text{Tc}} = 98,9 \text{ u}$ ; Número de Avogadro, $N_A = 6,02 \cdot 10^{23} \text{ mol}^{-1}$ .

Desintegración radiactivaActividadIsótopos

a) La masa de isótopo que hay que inyectar al paciente.

Primero, calculamos la constante de desintegración ( $\lambda$ ) a partir del tiempo de semidesintegración ( $T_{1/2}$ ). Es importante usar unidades del Sistema Internacional, por lo que convertimos las horas a segundos.

T_{1/2} = 6 \text{ h} \cdot \frac{3600 \text{ s}}{1 \text{ h}} = 21600 \text{ s}

La relación entre la constante de desintegración y el tiempo de semidesintegración es:

\lambda = \frac{\ln 2}{T_{1/2}}

\lambda = \frac{0,693}{21600 \text{ s}} = 3,208 \cdot 10^{-5} \text{ s}^{-1}

La actividad ( $A$ ) se relaciona con el número de núcleos ( $N$ ) y la constante de desintegración mediante la fórmula $A = \lambda N$ . Dada la actividad inicial ( $A_0$ ), podemos encontrar el número inicial de núcleos ( $N_0$ ).

N_0 = \frac{A_0}{\lambda}

N_0 = \frac{5 \cdot 10^8 \text{ Bq}}{3,208 \cdot 10^{-5} \text{ s}^{-1}} = 1,558 \cdot 10^{13} \text{ núcleos}

Para convertir el número de núcleos a masa, utilizamos el número de Avogadro ( $N_A$ ) y la masa atómica del $^{99}\text{Tc}$ ( $M_{^{99}\text{Tc}}$ ). La masa molar se obtiene de la masa atómica expresada en g/mol.

M_{molar} = 98,9 \text{ g/mol} = 0,0989 \text{ kg/mol}

m = \frac{N_0 \cdot M_{molar}}{N_A}

m = \frac{1,558 \cdot 10^{13} \text{ núcleos} \cdot 0,0989 \text{ kg/mol}}{6,02 \cdot 10^{23} \text{ mol}^{-1}} = 2,56 \cdot 10^{-12} \text{ kg}

b) El tiempo que debe transcurrir para que la actividad sea de

1 \cdot 10^4 \text{ Bq}

.

Utilizamos la ley de desintegración radiactiva para la actividad:

A = A_0 \cdot e^{-\lambda t}

Despejamos el tiempo ( $t$ ):

e^{-\lambda t} = \frac{A}{A_0}

-\lambda t = \ln\left(\frac{A}{A_0}\right)

t = -\frac{1}{\lambda} \ln\left(\frac{A}{A_0}\right)

t = -\frac{1}{3,208 \cdot 10^{-5} \text{ s}^{-1}} \ln\left(\frac{1 \cdot 10^4 \text{ Bq}}{5 \cdot 10^8 \text{ Bq}}\right)

t = -\frac{1}{3,208 \cdot 10^{-5} \text{ s}^{-1}} \ln(2 \cdot 10^{-5})

t = -\frac{1}{3,208 \cdot 10^{-5} \text{ s}^{-1}} (-10,8197)

t = 337298,9 \text{ s}

Convertimos el tiempo a horas para mayor claridad:

t = 337298,9 \text{ s} \cdot \frac{1 \text{ h}}{3600 \text{ s}} = 93,7 \text{ h}

T1: Interacción gravitatoria

Leyes de Kepler

Problema

2025 · Extraordinaria · Titular

B1

Dos planetas de masas iguales orbitan en torno a una estrella de masa mucho mayor. El primero de los planetas tiene una órbita circular de radio $1,2 \cdot 10^{11} \text{ m}$ y un período de $3$ años. El segundo planeta sigue una órbita elíptica tal que la distancia más próxima a la estrella es de $1,0 \cdot 10^{11} \text{ m}$ y la más lejana de $1,8 \cdot 10^{11} \text{ m}$ .

a) Determine la masa de la estrella y el período del segundo planeta.b) Calcule la velocidad orbital del primer planeta y, sabiendo que su energía mecánica en su órbita circular es de

-3,8 \cdot 10^{30} \text{ J}

, halle la masa de los planetas.

Dato: Constante de Gravitación Universal, $G = 6,67 \cdot 10^{-11} \text{ N} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{kg}^{-2}$ .

GravitaciónEnergía mecánicaTercera ley de Kepler

a) Determinación de la masa de la estrella y el período del segundo planeta.

Para el primer planeta, que sigue una órbita circular, la fuerza gravitatoria entre la estrella y el planeta proporciona la fuerza centrípeta necesaria para mantenerlo en órbita. Podemos igualar estas fuerzas para encontrar la masa de la estrella.

F_g = F_c \\ G \frac{M_S m}{R_1^2} = m \frac{v_1^2}{R_1}

La velocidad orbital $v_1$ en una órbita circular se relaciona con el radio $R_1$ y el período $T_1$ como $v_1 = \frac{2 \pi R_1}{T_1}$ . Sustituyendo esta expresión en la ecuación anterior:

G \frac{M_S}{R_1} = \left(\frac{2 \pi R_1}{T_1}\right)^2 \\ G \frac{M_S}{R_1} = \frac{4 \pi^2 R_1^2}{T_1^2} \\ M_S = \frac{4 \pi^2 R_1^3}{G T_1^2}

Antes de sustituir los valores, convertimos el período $T_1$ a segundos:

T_1 = 3 \text{ años} \times \frac{365,25 \text{ días}}{1 \text{ año}} \times \frac{24 \text{ h}}{1 \text{ día}} \times \frac{3600 \text{ s}}{1 \text{ h}} = 9,46728 \cdot 10^7 \text{ s}

Ahora, calculamos la masa de la estrella $M_S$ :

M_S = \frac{4 \pi^2 (1,2 \cdot 10^{11} \text{ m})^3}{(6,67 \cdot 10^{-11} \text{ N} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{kg}^{-2}) (9,46728 \cdot 10^7 \text{ s})^2} \\ M_S = \frac{4 \pi^2 (1,728 \cdot 10^{33} \text{ m}^3)}{(6,67 \cdot 10^{-11} \text{ N} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{kg}^{-2}) (8,96894 \cdot 10^{15} \text{ s}^2)} \\ M_S \approx 1,14 \cdot 10^{29} \text{ kg}

Para el segundo planeta, que sigue una órbita elíptica, el semi-eje mayor $a_2$ se calcula como la mitad de la suma de la distancia más próxima ( $r_p$ ) y la más lejana ( $r_a$ ) a la estrella.

a_2 = \frac{r_p + r_a}{2} = \frac{1,0 \cdot 10^{11} \text{ m} + 1,8 \cdot 10^{11} \text{ m}}{2} = \frac{2,8 \cdot 10^{11} \text{ m}}{2} = 1,4 \cdot 10^{11} \text{ m}

Aplicamos la Tercera Ley de Kepler, que establece que el cociente entre el cuadrado del período orbital y el cubo del semi-eje mayor es constante para todos los cuerpos que orbitan la misma estrella:

\frac{T_1^2}{R_1^3} = \frac{T_2^2}{a_2^3} \\ T_2^2 = T_1^2 \left(\frac{a_2}{R_1}\right)^3 \\ T_2 = T_1 \left(\frac{a_2}{R_1}\right)^{3/2}

Calculamos el período $T_2$ del segundo planeta:

T_2 = (3 \text{ años}) \left(\frac{1,4 \cdot 10^{11} \text{ m}}{1,2 \cdot 10^{11} \text{ m}}\right)^{3/2} \\ T_2 = (3 \text{ años}) \left(\frac{1,4}{1,2}\right)^{1,5} \\ T_2 \approx (3 \text{ años}) (1,1667)^{1,5} \\ T_2 \approx (3 \text{ años}) (1,2646) \\ T_2 \approx 3,79 \text{ años}

b) Cálculo de la velocidad orbital del primer planeta y la masa de los planetas.

La velocidad orbital del primer planeta se puede calcular directamente con el radio de su órbita y su período:

v_1 = \frac{2 \pi R_1}{T_1}

Sustituyendo los valores:

v_1 = \frac{2 \pi (1,2 \cdot 10^{11} \text{ m})}{9,46728 \cdot 10^7 \text{ s}} \\ v_1 \approx 7,96 \cdot 10^4 \text{ m/s}

La energía mecánica de un planeta en una órbita circular se define como:

E_M = -\frac{G M_S m}{2R}

Conocemos la energía mecánica del primer planeta ( $E_{M1}$ ), la constante de gravitación $G$ , la masa de la estrella $M_S$ (calculada en el apartado a), y el radio de la órbita $R_1$ . Despejamos la masa del planeta $m$ :

m = -\frac{2 E_{M1} R_1}{G M_S}

Sustituyendo los valores:

m = -\frac{2 (-3,8 \cdot 10^{30} \text{ J}) (1,2 \cdot 10^{11} \text{ m})}{(6,67 \cdot 10^{-11} \text{ N} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{kg}^{-2}) (1,1416 \cdot 10^{29} \text{ kg})} \\ m = \frac{9,12 \cdot 10^{41} \text{ J} \cdot \text{m}}{7,6146 \cdot 10^{18} \text{ N} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{kg}^{-1}} \\ m \approx 1,20 \cdot 10^{23} \text{ kg}

Dado que ambos planetas tienen masas iguales, la masa de los planetas es $m \approx 1,20 \cdot 10^{23} \text{ kg}$ .

T3: Vibraciones y ondas

Ondas armónicas

Problema

2025 · Extraordinaria · Titular

B2

En la figura se representa la elongación de una onda transversal en el instante $t = 0$ en función de la posición $x$ . La onda se propaga en el sentido negativo del eje $x$ . Sabiendo que el tiempo que tarda el punto situado en $x = 0$ desde que sale de su posición inicial ( $t = 0$ ) hasta que vuelve a la misma es de $0,5 \text{ s}$ , determine:

a) La longitud de onda y la velocidad de propagación.b) La expresión matemática de la onda.

Ondas transversalesEcuación de ondaVelocidad de propagación

a) La longitud de onda y la velocidad de propagación.

A partir de la figura, podemos determinar la amplitud y la longitud de onda de la onda transversal. La amplitud $A$ es el desplazamiento máximo desde la posición de equilibrio, que es $3 \text{ cm}$ .

A = 3 \text{ cm} = 0.03 \text{ m}

La longitud de onda $\lambda$ es la distancia espacial de un ciclo completo de la onda. Observando la gráfica, desde $x=0$ hasta $x=1.0 \text{ m}$ se completa un ciclo.

\lambda = 1.0 \text{ m}

El problema indica que el tiempo que tarda el punto situado en $x = 0$ desde que sale de su posición inicial ( $t = 0$ ) hasta que vuelve a la misma es de $0.5 \text{ s}$ . Este tiempo corresponde al periodo $T$ de la onda.

T = 0.5 \text{ s}

La velocidad de propagación $v$ se calcula utilizando la relación entre la longitud de onda y el periodo:

v = \frac{\lambda}{T}

Sustituyendo los valores:

v = \frac{1.0 \text{ m}}{0.5 \text{ s}} = 2.0 \text{ m/s}

b) La expresión matemática de la onda.

La expresión general para una onda transversal que se propaga en el sentido negativo del eje $x$ es:

y(x, t) = A \sin(kx + \omega t + \phi_0)

Donde $A$ es la amplitud, $k$ es el número de onda, $\omega$ es la frecuencia angular y $\phi_0$ es la fase inicial.Calculamos los parámetros necesarios:1. Amplitud ( $A$ ): Ya determinada, $A = 0.03 \text{ m}$ .2. Frecuencia angular ( $\omega$ ): Se relaciona con el periodo $T$ :

\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{0.5 \text{ s}} = 4\pi \text{ rad/s}

3. Número de onda ( $k$ ): Se relaciona con la longitud de onda $\lambda$ :

k = \frac{2\pi}{\lambda} = \frac{2\pi}{1.0 \text{ m}} = 2\pi \text{ rad/m}

4. Fase inicial ( $\phi_0$ ): La determinamos usando la condición inicial en $x=0$ y $t=0$ . De la gráfica, en $x=0, t=0$ , la elongación es $y(0, 0) = 3 \text{ cm} = 0.03 \text{ m}$ .

y(0, 0) = A \sin(k(0) + \omega(0) + \phi_0)

0.03 \text{ m} = 0.03 \text{ m} \sin(\phi_0)

\sin(\phi_0) = 1

\phi_0 = \frac{\pi}{2} \text{ rad}

Sustituyendo todos los valores en la expresión general, la ecuación matemática de la onda es:

y(x, t) = 0.03 \sin\left(2\pi x + 4\pi t + \frac{\pi}{2}\right)

Donde $y$ y $x$ están en metros y $t$ en segundos. Alternativamente, usando la identidad trigonométrica $\sin(\alpha + \pi/2) = \cos(\alpha)$ :

y(x, t) = 0.03 \cos(2\pi x + 4\pi t)

T2: Interacción electromagnética

Campo magnético

Problema

2025 · Extraordinaria · Titular

B3

Dos hilos indefinidos paralelos al eje $z$ llevan intensidades iguales $I_1 = I_2 = 2 \text{ A}$ y cortan el plano $xy$ en los puntos $(0, 0) \text{ m}$ y $(4, 0) \text{ m}$ , respectivamente. Si el primer hilo, el que pasa por el origen, lleva su intensidad en el sentido positivo del eje $z$ y el segundo en sentido negativo, determine el campo magnético en los puntos:

a)

A (0, 3) \text{ m}

.b)

B (2, 3) \text{ m}

.

Dato: Permeabilidad magnética del vacío, $\mu_0 = 4\pi \cdot 10^{-7} \text{ T} \cdot \text{m} \cdot \text{A}^{-1}$ .

Ley de Biot y SavartCables paralelosVector inducción magnética

La expresión para el campo magnético $\vec{B}$ producido por un hilo conductor rectilíneo e indefinido que transporta una corriente $I$ y que se encuentra a una distancia $r$ del punto de interés, es:

B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r}

La dirección del campo se determina mediante la regla de la mano derecha. Para un hilo paralelo al eje $z$ que pasa por el origen $(0,0)$ y lleva corriente en sentido $+z$ , el campo en un punto $(x,y)$ es $\vec{B} = \frac{\mu_0 I}{2\pi (x^2+y^2)} (-y\hat{i} + x\hat{j})$ . Si la corriente es en sentido $-z$ , el campo es $\vec{B} = \frac{\mu_0 I}{2\pi (x^2+y^2)} (y\hat{i} - x\hat{j})$ . Datos: $I_1 = I_2 = I = 2 \text{ A}$ $\mu_0 = 4\pi \cdot 10^{-7} \text{ T} \cdot \text{m} \cdot \text{A}^{-1}$ Calculamos el factor común: $\frac{\mu_0 I}{2\pi} = \frac{4\pi \cdot 10^{-7} \text{ T} \cdot \text{m} \cdot \text{A}^{-1} \cdot 2 \text{ A}}{2\pi} = 4 \cdot 10^{-7} \cdot 2 = 8 \cdot 10^{-7} \text{ T} \cdot \text{m}$ .

a) Campo magnético en el punto

A (0, 3) \text{ m}

.

El campo magnético total en A es la suma vectorial de los campos producidos por cada hilo: $\vec{B_A} = \vec{B_1} + \vec{B_2}$ .Campo $\vec{B_1}$ debido a $I_1$ (hilo 1 en $(0,0)$ , corriente en sentido $+z$ ):La posición del punto A respecto al hilo 1 es $(x_A - x_1, y_A - y_1) = (0-0, 3-0) = (0, 3) \text{ m}$ . La distancia $r_1$ es $r_1 = \sqrt{0^2 + 3^2} = 3 \text{ m}$ . Usando la fórmula con corriente en sentido $+z$ :

\vec{B_1} = \frac{\mu_0 I_1}{2\pi r_1^2} (-y_A \hat{i} + x_A \hat{j}) = \frac{8 \cdot 10^{-7} \text{ T} \cdot \text{m}}{(3 \text{ m})^2} (-3 \hat{i} + 0 \hat{j}) = \frac{8 \cdot 10^{-7}}{9} (-3 \hat{i}) \text{ T}

\vec{B_1} = -\frac{24}{9} \cdot 10^{-7} \hat{i} = -\frac{8}{3} \cdot 10^{-7} \hat{i} \approx -2.67 \cdot 10^{-7} \hat{i} \text{ T}

Campo $\vec{B_2}$ debido a $I_2$ (hilo 2 en $(4,0)$ , corriente en sentido $-z$ ):La posición del punto A respecto al hilo 2 es $(x_A - x_2, y_A - y_2) = (0-4, 3-0) = (-4, 3) \text{ m}$ . La distancia $r_2$ es $r_2 = \sqrt{(-4)^2 + 3^2} = \sqrt{16+9} = \sqrt{25} = 5 \text{ m}$ . Usando la fórmula con corriente en sentido $-z$ :

\vec{B_2} = \frac{\mu_0 I_2}{2\pi r_2^2} (y_A' \hat{i} - x_A' \hat{j}) = \frac{8 \cdot 10^{-7} \text{ T} \cdot \text{m}}{(5 \text{ m})^2} (3 \hat{i} - (-4) \hat{j}) = \frac{8 \cdot 10^{-7}}{25} (3 \hat{i} + 4 \hat{j}) \text{ T}

\vec{B_2} = (\frac{24}{25} \hat{i} + \frac{32}{25} \hat{j}) \cdot 10^{-7} = (0.96 \hat{i} + 1.28 \hat{j}) \cdot 10^{-7} \text{ T}

Campo magnético total en A:

\vec{B_A} = \vec{B_1} + \vec{B_2} = (-2.6667 \cdot 10^{-7} \hat{i}) + (0.96 \cdot 10^{-7} \hat{i} + 1.28 \cdot 10^{-7} \hat{j})

\vec{B_A} = (-2.6667 + 0.96) \cdot 10^{-7} \hat{i} + 1.28 \cdot 10^{-7} \hat{j} \approx (-1.71 \hat{i} + 1.28 \hat{j}) \cdot 10^{-7} \text{ T}

b) Campo magnético en el punto

B (2, 3) \text{ m}

.

El campo magnético total en B es la suma vectorial de los campos producidos por cada hilo: $\vec{B_B} = \vec{B_1} + \vec{B_2}$ .Campo $\vec{B_1}$ debido a $I_1$ (hilo 1 en $(0,0)$ , corriente en sentido $+z$ ):La posición del punto B respecto al hilo 1 es $(x_B - x_1, y_B - y_1) = (2-0, 3-0) = (2, 3) \text{ m}$ . La distancia $r_1$ es $r_1 = \sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{4+9} = \sqrt{13} \text{ m}$ . Usando la fórmula con corriente en sentido $+z$ :

\vec{B_1} = \frac{\mu_0 I_1}{2\pi r_1^2} (-y_B \hat{i} + x_B \hat{j}) = \frac{8 \cdot 10^{-7} \text{ T} \cdot \text{m}}{(\sqrt{13} \text{ m})^2} (-3 \hat{i} + 2 \hat{j}) = \frac{8 \cdot 10^{-7}}{13} (-3 \hat{i} + 2 \hat{j}) \text{ T}

\vec{B_1} = (-\frac{24}{13} \hat{i} + \frac{16}{13} \hat{j}) \cdot 10^{-7} \approx (-1.846 \hat{i} + 1.231 \hat{j}) \cdot 10^{-7} \text{ T}

Campo $\vec{B_2}$ debido a $I_2$ (hilo 2 en $(4,0)$ , corriente en sentido $-z$ ):La posición del punto B respecto al hilo 2 es $(x_B - x_2, y_B - y_2) = (2-4, 3-0) = (-2, 3) \text{ m}$ . La distancia $r_2$ es $r_2 = \sqrt{(-2)^2 + 3^2} = \sqrt{4+9} = \sqrt{13} \text{ m}$ . Usando la fórmula con corriente en sentido $-z$ :

\vec{B_2} = \frac{\mu_0 I_2}{2\pi r_2^2} (y_B' \hat{i} - x_B' \hat{j}) = \frac{8 \cdot 10^{-7} \text{ T} \cdot \text{m}}{(\sqrt{13} \text{ m})^2} (3 \hat{i} - (-2) \hat{j}) = \frac{8 \cdot 10^{-7}}{13} (3 \hat{i} + 2 \hat{j}) \text{ T}

\vec{B_2} = (\frac{24}{13} \hat{i} + \frac{16}{13} \hat{j}) \cdot 10^{-7} \approx (1.846 \hat{i} + 1.231 \hat{j}) \cdot 10^{-7} \text{ T}

Campo magnético total en B:

\vec{B_B} = \vec{B_1} + \vec{B_2} = (-1.846 \cdot 10^{-7} \hat{i} + 1.231 \cdot 10^{-7} \hat{j}) + (1.846 \cdot 10^{-7} \hat{i} + 1.231 \cdot 10^{-7} \hat{j})

\vec{B_B} = (-1.846 + 1.846) \cdot 10^{-7} \hat{i} + (1.231 + 1.231) \cdot 10^{-7} \hat{j}

\vec{B_B} = 0 \cdot 10^{-7} \hat{i} + 2.462 \cdot 10^{-7} \hat{j} = 2.462 \cdot 10^{-7} \hat{j} \text{ T}

T4: Óptica

Lentes delgadas

Problema

2025 · Extraordinaria · Titular

B4

Un objeto se encuentra a una distancia de $4 \text{ m}$ de una pantalla. Entre el objeto y la pantalla se coloca una lente delgada que produce una imagen en la pantalla $3$ veces mayor que el objeto.

a) Calcule la distancia entre el objeto y la lente, así como su distancia focal.b) Realice el diagrama de rayos.

Lentes convergentesAumento lateralDiagrama de rayos

a) Calcule la distancia entre el objeto y la lente, así como su distancia focal.

Datos conocidos:

\text{Distancia objeto-pantalla } D = 4 \text{ m}

\text{Aumento lateral } M = -3

El aumento es negativo porque la imagen formada en una pantalla (imagen real) siempre está invertida.Relacionamos el aumento lateral con las distancias del objeto ( $s$ ) y la imagen ( $s'$ ):

M = \frac{s'}{s} \implies -3 = \frac{s'}{s} \implies s' = -3s

La distancia total entre el objeto y la pantalla es la suma de las distancias absolutas del objeto y la imagen a la lente:

|s| + |s'| = D = 4 \text{ m}

Según el convenio de signos para lentes delgadas, para un objeto real $s$ es negativo y para una imagen real $s'$ es positivo. Por tanto, $|s| = -s$ y $|s'| = s'$ .

-s + s' = 4 \text{ m}

Sustituimos $s' = -3s$ en la ecuación anterior:

-s + (-3s) = 4 \text{ m}

-4s = 4 \text{ m}

s = -1 \text{ m}

La distancia entre el objeto y la lente es el valor absoluto de $s$ :

\text{Distancia objeto-lente} = |s| = |-1 \text{ m}| = 1 \text{ m}

Ahora calculamos la posición de la imagen $s'$ :

s' = -3s = -3(-1 \text{ m}) = 3 \text{ m}

Para calcular la distancia focal ( $f$ ), utilizamos la ecuación de la lente delgada:

\frac{1}{f} = \frac{1}{s'} - \frac{1}{s}

Sustituimos los valores de $s$ y $s'$ :

\frac{1}{f} = \frac{1}{3 \text{ m}} - \frac{1}{-1 \text{ m}}

\frac{1}{f} = \frac{1}{3 \text{ m}} + \frac{1}{1 \text{ m}}

\frac{1}{f} = \frac{1 + 3}{3 \text{ m}} = \frac{4}{3 \text{ m}}

f = \frac{3}{4} \text{ m} = 0.75 \text{ m}

La distancia focal es positiva, lo que indica que se trata de una lente convergente, coherente con la formación de una imagen real y aumentada.

b) Realice el diagrama de rayos.

Para el diagrama de rayos, tenemos que el objeto se encuentra a una distancia de $1 \text{ m}$ de la lente y la distancia focal es $0.75 \text{ m}$ . Esto significa que el objeto está entre $f$ y $2f$ ( $0.75 \text{ m} < 1 \text{ m} < 1.5 \text{ m}$ ), lo que produce una imagen real, invertida y aumentada, como se ha calculado.

T5: Física moderna

Efecto fotoeléctrico

Problema

2025 · Extraordinaria · Titular

B5

Cuando se hace incidir un haz de fotones de frecuencia variable sobre la superficie de un material se emiten fotoelectrones de distintas energías cinéticas máximas. Si se representan los potenciales de frenado de los fotoelectrones, $V$ , en función de la frecuencia de los fotones incidentes, $f$ , se obtiene una recta de ecuación: $V (V) = 4,16 \cdot 10^{-15} f (\text{Hz}) - 2,16$ Obtenga de la expresión anterior:

a) La frecuencia umbral y el potencial de extracción en eV.b) La constante de Planck.

Dato: Valor absoluto de la carga del electrón, $e = 1,6 \cdot 10^{-19} \text{ C}$ .

Potencial de frenadoConstante de PlanckFrecuencia umbral

La ecuación del efecto fotoeléctrico, en términos del potencial de frenado $V$ , es:

E_{c_{max}} = hf - W_0

e V = hf - W_0

V = \frac{h}{e}f - \frac{W_0}{e}

Esta ecuación es de la forma $V = mf + c$ , donde la pendiente es $m = \frac{h}{e}$ y la ordenada en el origen es $c = -\frac{W_0}{e}$ .Comparando con la ecuación dada en el enunciado:

V (V) = 4,16 \cdot 10^{-15} f (\text{Hz}) - 2,16

Identificamos los valores:

m = \frac{h}{e} = 4,16 \cdot 10^{-15} \text{ V} \cdot \text{s}

c = -\frac{W_0}{e} = -2,16 \text{ V}

a) La frecuencia umbral y el potencial de extracción en eV.

La frecuencia umbral, $f_0$ , es la frecuencia para la cual el potencial de frenado $V$ es cero (o la energía cinética máxima es cero).

0 = 4,16 \cdot 10^{-15} f_0 - 2,16

f_0 = \frac{2,16}{4,16 \cdot 10^{-15}} \text{ Hz}

f_0 \approx 5,19 \cdot 10^{14} \text{ Hz}

El potencial de extracción, $W_0$ , también conocido como función de trabajo, se obtiene de la ordenada en el origen:

-\frac{W_0}{e} = -2,16 \text{ V}

W_0 = 2,16 \cdot e \text{ J}

Para expresarlo en eV, recordamos que $1 \text{ eV} = e \text{ J}$ , por lo tanto, el potencial de extracción directamente en eV es el valor numérico en voltios de la ordenada en el origen (cambiando el signo si es el término $-W_0/e$ ):

W_0 = 2,16 \text{ eV}

b) La constante de Planck.

La constante de Planck, $h$ , se obtiene de la pendiente de la recta:

m = \frac{h}{e} = 4,16 \cdot 10^{-15} \text{ V} \cdot \text{s}

h = m \cdot e

h = (4,16 \cdot 10^{-15} \text{ V} \cdot \text{s}) \cdot (1,6 \cdot 10^{-19} \text{ C})

Recordando que $1 \text{ V} \cdot 1 \text{ C} = 1 \text{ J}$ :

h = (4,16 \cdot 10^{-15}) \cdot (1,6 \cdot 10^{-19}) \text{ J} \cdot \text{s}

h = 6,656 \cdot 10^{-34} \text{ J} \cdot \text{s}

T1: Interacción gravitatoria

Energía y potencial gravitatorio

Problema

2025 · Ordinaria · Titular

A1

La distancia del satélite Halimede a Neptuno, planeta alrededor del cual orbita, varía entre $12$ y $21$ millones de $\text{km}$ .

a) Calcule el trabajo realizado por la atracción gravitatoria de Neptuno sobre Halimede en el tránsito del punto más próximo al más distante de la órbita.b) Sabiendo que la energía mecánica de Halimede vale

-2,5 \cdot 10^{20} \text{ J}

, determine la velocidad máxima que alcanza en su órbita.

Datos: Constante de Gravitación Universal, $G = 6,67 \cdot 10^{-11} \text{ N} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{kg}^{-2}$ ; Masa de Halimede, $M_H = 1,60 \cdot 10^{15} \text{ kg}$ ; Masa de Neptuno, $M_N = 1,02 \cdot 10^{26} \text{ kg}$ .

trabajo gravitatorioenergía mecánicavelocidad máxima

a) Calcule el trabajo realizado por la atracción gravitatoria de Neptuno sobre Halimede en el tránsito del punto más próximo al más distante de la órbita.

El trabajo realizado por una fuerza conservativa, como la fuerza gravitatoria, es igual al negativo del cambio en la energía potencial gravitatoria. También puede expresarse como la diferencia entre la energía potencial inicial y final.

W = -\Delta E_p = E_{p,i} - E_{p,f}

La energía potencial gravitatoria entre dos masas $M_N$ (Neptuno) y $M_H$ (Halimede) separadas por una distancia $r$ viene dada por:

E_p = -G \frac{M_N M_H}{r}

Los radios inicial y final son:

r_i = 12 \cdot 10^6 \text{ km} = 12 \cdot 10^9 \text{ m}

r_f = 21 \cdot 10^6 \text{ km} = 21 \cdot 10^9 \text{ m}

Entonces, el trabajo es:

W = \left(-G \frac{M_N M_H}{r_i}\right) - \left(-G \frac{M_N M_H}{r_f}\right) = G M_N M_H \left(\frac{1}{r_f} - \frac{1}{r_i}\right)

Sustituyendo los valores:

W = (6,67 \cdot 10^{-11} \text{ N} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{kg}^{-2}) \cdot (1,02 \cdot 10^{26} \text{ kg}) \cdot (1,60 \cdot 10^{15} \text{ kg}) \cdot \left(\frac{1}{21 \cdot 10^9 \text{ m}} - \frac{1}{12 \cdot 10^9 \text{ m}}\right)

W = (1,088064 \cdot 10^{31} \text{ J} \cdot \text{m}) \cdot \left(\frac{1}{10^9 \text{ m}} \left(\frac{1}{21} - \frac{1}{12}\right)\right)

W = (1,088064 \cdot 10^{31} \text{ J} \cdot \text{m}) \cdot \left(\frac{1}{10^9 \text{ m}} \left(\frac{4 - 7}{84}\right)\right)

W = (1,088064 \cdot 10^{31} \text{ J} \cdot \text{m}) \cdot \left(-\frac{3}{84 \cdot 10^9 \text{ m}}\right)

W = (1,088064 \cdot 10^{31} \text{ J} \cdot \text{m}) \cdot \left(-\frac{1}{28 \cdot 10^9 \text{ m}}\right)

W \approx -3,89 \cdot 10^{20} \text{ J}

b) Sabiendo que la energía mecánica de Halimede vale

-2,5 \cdot 10^{20} \text{ J}

, determine la velocidad máxima que alcanza en su órbita.

La energía mecánica total $E_M$ de Halimede se conserva en su órbita y es la suma de su energía cinética $E_c$ y su energía potencial gravitatoria $E_p$ .

E_M = E_c + E_p = \frac{1}{2} M_H v^2 - G \frac{M_N M_H}{r}

La velocidad máxima en una órbita elíptica se alcanza en el punto de menor distancia al cuerpo central (periapsis), que en este caso es $r_{min} = 12 \cdot 10^9 \text{ m}$ .La energía potencial en el punto de mínima distancia es:

E_{p,min} = -G \frac{M_N M_H}{r_{min}}

E_{p,min} = -(6,67 \cdot 10^{-11} \text{ N} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{kg}^{-2}) \frac{(1,02 \cdot 10^{26} \text{ kg}) \cdot (1,60 \cdot 10^{15} \text{ kg})}{12 \cdot 10^9 \text{ m}}

E_{p,min} = -\frac{1,088064 \cdot 10^{31} \text{ J} \cdot \text{m}}{12 \cdot 10^9 \text{ m}}

E_{p,min} \approx -9,0672 \cdot 10^{20} \text{ J}

Ahora, usamos la conservación de la energía mecánica para encontrar la velocidad máxima $v_{max}$ :

E_M = \frac{1}{2} M_H v_{max}^2 + E_{p,min}

\frac{1}{2} M_H v_{max}^2 = E_M - E_{p,min}

\frac{1}{2} (1,60 \cdot 10^{15} \text{ kg}) v_{max}^2 = (-2,5 \cdot 10^{20} \text{ J}) - (-9,0672 \cdot 10^{20} \text{ J})

0,80 \cdot 10^{15} \text{ kg} \cdot v_{max}^2 = (9,0672 - 2,5) \cdot 10^{20} \text{ J}

0,80 \cdot 10^{15} \text{ kg} \cdot v_{max}^2 = 6,5672 \cdot 10^{20} \text{ J}

v_{max}^2 = \frac{6,5672 \cdot 10^{20} \text{ J}}{0,80 \cdot 10^{15} \text{ kg}}

v_{max}^2 = 8,209 \cdot 10^5 \text{ m}^2 \cdot \text{s}^{-2}

v_{max} = \sqrt{8,209 \cdot 10^5 \text{ m}^2 \cdot \text{s}^{-2}}

v_{max} \approx 906,0 \text{ m} \cdot \text{s}^{-1}

T3: Vibraciones y ondas

Ondas armónicas

Problema

2025 · Ordinaria · Titular

A2

Por una cuerda tensa dispuesta a lo largo del eje $x$ se propaga, a una velocidad de $200 \text{ m s}^{-1}$ en el sentido positivo del eje, una onda armónica de $0,4 \text{ m}$ de longitud de onda. En el instante inicial y en el origen de coordenadas, la elongación es positiva y también lo es la velocidad de oscilación, que equivale a la mitad de su valor máximo. Obtenga:

a) El número de onda y la frecuencia de la onda.b) La fase inicial de la onda.

frecuencianúmero de ondafase inicial+1

a) El número de onda y la frecuencia de la onda.

Para calcular el número de onda ( $k$ ) utilizamos la relación con la longitud de onda ( $\lambda$ ).

k = \frac{2\pi}{\lambda}

k = \frac{2\pi}{0,4\text{ m}} = 5\pi\text{ rad/m} \approx 15,71\text{ rad/m}

Para calcular la frecuencia ( $f$ ), utilizamos la relación fundamental de las ondas que conecta la velocidad de propagación ( $v$ ), la longitud de onda ( $\lambda$ ) y la frecuencia ( $f$ ). También podemos calcular la frecuencia angular ( $\omega$ ) y luego la frecuencia.

v = \lambda f \implies f = \frac{v}{\lambda}

f = \frac{200\text{ m s}^{-1}}{0,4\text{ m}} = 500\text{ Hz}

Alternativamente, podemos calcular la frecuencia angular ( $\omega$ ) primero y luego la frecuencia ( $f$ ):

\omega = v k

\omega = (200\text{ m s}^{-1}) (5\pi\text{ rad/m}) = 1000\pi\text{ rad/s}

\omega = 2\pi f \implies f = \frac{\omega}{2\pi}

f = \frac{1000\pi\text{ rad/s}}{2\pi\text{ rad}} = 500\text{ Hz}

b) La fase inicial de la onda.

La ecuación general de una onda armónica que se propaga en el sentido positivo del eje $x$ es:

y(x,t) = A \sin(kx - \omega t + \phi_0)

La velocidad de oscilación de las partículas de la cuerda se obtiene derivando la elongación respecto al tiempo:

v_y(x,t) = \frac{\partial y}{\partial t} = -A\omega \cos(kx - \omega t + \phi_0)

El valor máximo de la velocidad de oscilación es $v_{y,max} = A\omega$ .En el instante inicial ( $t=0$ ) y en el origen de coordenadas ( $x=0$ ), las condiciones dadas son:

y(0,0) = A \sin(\phi_0) > 0

Esto implica que $\sin(\phi_0) > 0$ , lo que sitúa a $\phi_0$ en el primer o segundo cuadrante.

v_y(0,0) = -A\omega \cos(\phi_0)

Nos dicen que la velocidad de oscilación es positiva y equivale a la mitad de su valor máximo:

v_y(0,0) = \frac{1}{2} v_{y,max} = \frac{1}{2} A\omega

Igualando las expresiones para $v_y(0,0)$ :

-A\omega \cos(\phi_0) = \frac{1}{2} A\omega

Dividiendo por $A\omega$ (que es no nulo):

-\cos(\phi_0) = \frac{1}{2}

\cos(\phi_0) = -\frac{1}{2}

Esta condición implica que $\phi_0$ está en el segundo o tercer cuadrante.Combinando ambas condiciones:1. $\sin(\phi_0) > 0$ (primer o segundo cuadrante)2. $\cos(\phi_0) < 0$ (segundo o tercer cuadrante)Ambas condiciones se cumplen si $\phi_0$ está en el segundo cuadrante.El ángulo cuyo coseno es $-\frac{1}{2}$ en el segundo cuadrante es:

\phi_0 = \frac{2\pi}{3}\text{ rad}

T2: Interacción electromagnética

Magnetismo

Problema

2025 · Ordinaria · Titular

A3

Un hilo conductor de longitud indefinida se extiende a lo largo del eje $z$ . Otro hilo de longitud indefinida paralelo al primero pasa por el punto $(5, 0, 0) \text{ cm}$ . Los dos hilos se repelen con una fuerza por unidad de longitud de $5 \cdot 10^{-5} \text{ N m}^{-1}$ . El campo magnético total se anula a lo largo de la recta $x = +10 \text{ cm}$ en el plano $xz$ .

a) Explique si las corrientes en los hilos son paralelas o antiparalelas y calcule su magnitud.b) Determine el módulo del campo magnético en el punto

(-5, 0, 0) \text{ cm}

.

Dato: Permeabilidad magnética del vacío, $\mu_0 = 4\pi \cdot 10^{-7} \text{ T} \cdot \text{m} \cdot \text{A}^{-1}$ .

hilos conductoresfuerza magnéticacampo magnético

a) Explique si las corrientes en los hilos son paralelas o antiparalelas y calcule su magnitud.

La fuerza entre dos hilos conductores rectilíneos y paralelos es atractiva si las corrientes circulan en el mismo sentido (paralelas) y repulsiva si circulan en sentidos opuestos (antiparalelas). Dado que los dos hilos se repelen, las corrientes en los hilos deben ser antiparalelas.La fuerza por unidad de longitud entre dos hilos conductores paralelos se calcula mediante la fórmula:

\frac{F}{L} = \frac{\mu_0 I_1 I_2}{2\pi d}

Donde $\mu_0$ es la permeabilidad magnética del vacío, $I_1$ e $I_2$ son las intensidades de las corrientes y $d$ es la distancia entre los hilos.El campo magnético producido por un hilo conductor infinito a una distancia $r$ es:

B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r}

Sea el hilo 1 situado en el eje $z$ (es decir, en $x=0$ ) y el hilo 2 en $x = 5 \text{ cm} = 0.05 \text{ m}$ . El punto donde el campo magnético total se anula es $x = 10 \text{ cm} = 0.1 \text{ m}$ . En este punto, los campos magnéticos creados por cada hilo deben tener la misma magnitud y direcciones opuestas.La distancia del hilo 1 al punto de anulación es $d_1 = 0.1 \text{ m}$ . La distancia del hilo 2 al punto de anulación es $d_2 = (10 - 5) \text{ cm} = 5 \text{ cm} = 0.05 \text{ m}$ . Para que los campos se anulen en un punto externo a ambos hilos, las corrientes deben ser antiparalelas, lo cual es consistente con la repulsión.

B_1 = B_2 \implies \frac{\mu_0 I_1}{2\pi d_1} = \frac{\mu_0 I_2}{2\pi d_2}

\frac{I_1}{d_1} = \frac{I_2}{d_2} \implies \frac{I_1}{0.1 \text{ m}} = \frac{I_2}{0.05 \text{ m}}

I_1 = 2 I_2

Ahora usamos la información de la fuerza por unidad de longitud ( $F/L = 5 \cdot 10^{-5} \text{ N} \cdot \text{m}^{-1}$ ) y la distancia entre los hilos $d = 5 \text{ cm} = 0.05 \text{ m}$ :

5 \cdot 10^{-5} = \frac{\mu_0 I_1 I_2}{2\pi d}

Sustituimos $I_1 = 2 I_2$ y los valores conocidos:

5 \cdot 10^{-5} = \frac{(4\pi \cdot 10^{-7} \text{ T} \cdot \text{m} \cdot \text{A}^{-1}) (2 I_2) I_2}{2\pi (0.05 \text{ m})}

5 \cdot 10^{-5} = \frac{4\pi \cdot 10^{-7} \cdot 2 I_2^2}{2\pi \cdot 0.05}

5 \cdot 10^{-5} = \frac{4 \cdot 10^{-7} I_2^2}{0.05}

I_2^2 = \frac{5 \cdot 10^{-5} \cdot 0.05}{4 \cdot 10^{-7}} = \frac{2.5 \cdot 10^{-6}}{4 \cdot 10^{-7}} = 6.25

I_2 = \sqrt{6.25} = 2.5 \text{ A}

Y por lo tanto, la corriente del primer hilo es:

I_1 = 2 I_2 = 2 \cdot 2.5 \text{ A} = 5 \text{ A}

b) Determine el módulo del campo magnético en el punto

(-5, 0, 0) \text{ cm}

.

El punto de interés es $P = (-5, 0, 0) \text{ cm} = (-0.05, 0, 0) \text{ m}$ . El hilo 1 está en $x=0$ y el hilo 2 en $x=5 \text{ cm}$ . Las corrientes son antiparalelas. Asumamos que $I_1$ circula en el sentido positivo del eje $z$ y $I_2$ en el sentido negativo del eje $z$ .Distancia del hilo 1 a P: $r_1 = |-0.05 - 0| \text{ m} = 0.05 \text{ m}$ . Distancia del hilo 2 a P: $r_2 = |-0.05 - 0.05| \text{ m} = |-0.1| \text{ m} = 0.1 \text{ m}$ .Calculamos el módulo del campo magnético producido por cada hilo en el punto P:

B_1 = \frac{\mu_0 I_1}{2\pi r_1} = \frac{(4\pi \cdot 10^{-7} \text{ T} \cdot \text{m} \cdot \text{A}^{-1}) (5 \text{ A})}{2\pi (0.05 \text{ m})}

B_1 = \frac{2 \cdot 10^{-7} \cdot 5}{0.05} = \frac{10 \cdot 10^{-7}}{0.05} = 200 \cdot 10^{-7} \text{ T} = 2.0 \cdot 10^{-5} \text{ T}

B_2 = \frac{\mu_0 I_2}{2\pi r_2} = \frac{(4\pi \cdot 10^{-7} \text{ T} \cdot \text{m} \cdot \text{A}^{-1}) (2.5 \text{ A})}{2\pi (0.1 \text{ m})}

B_2 = \frac{2 \cdot 10^{-7} \cdot 2.5}{0.1} = \frac{5 \cdot 10^{-7}}{0.1} = 50 \cdot 10^{-7} \text{ T} = 5.0 \cdot 10^{-6} \text{ T}

Para determinar la dirección del campo total, aplicamos la regla de la mano derecha: Si $I_1$ (en $x=0$ ) va en $+z$ , el campo en $x < 0$ (como $P$ ) apunta en la dirección $-y$ . Si $I_2$ (en $x=5 \text{ cm}$ ) va en $-z$ , el campo en $x < 5 \text{ cm}$ (como $P$ ) también apunta en la dirección $-y$ . Dado que ambos campos apuntan en la misma dirección ( $-y$ ), el campo magnético total en el punto $P$ es la suma de los módulos:

B_{total} = B_1 + B_2

B_{total} = (2.0 \cdot 10^{-5} \text{ T}) + (5.0 \cdot 10^{-6} \text{ T})

B_{total} = (20 \cdot 10^{-6} \text{ T}) + (5 \cdot 10^{-6} \text{ T})

B_{total} = 25 \cdot 10^{-6} \text{ T} = 2.5 \cdot 10^{-5} \text{ T}

El módulo del campo magnético total en el punto $(-5, 0, 0) \text{ cm}$ es $2.5 \cdot 10^{-5} \text{ T}$ .

T4: Óptica

Óptica geométrica

Problema

2025 · Ordinaria · Titular

A4

Un objeto de $4 \text{ mm}$ de altura está situado $20 \text{ cm}$ a la izquierda de una lente delgada. La imagen que se forma es derecha y tiene una altura de $2 \text{ mm}$ .

a) Calcule la potencia de la lente e indique si es convergente o divergente.b) Elabore el trazado de rayos correspondiente a la situación descrita.

lentes delgadaslentes divergentespotencia de la lente+1

a) Calcule la potencia de la lente e indique si es convergente o divergente.

Dados los valores de la altura del objeto ( $h$ ), la distancia del objeto ( $s$ ), y la altura de la imagen ( $h'$ ), podemos calcular la magnificación lateral ( $M$ ). La distancia del objeto es negativa porque está a la izquierda de la lente.

h = 4 \text{ mm} = 0.004 \text{ m}
S = -20 \text{ cm} = -0.20 \text{ m}
h' = 2 \text{ mm} = 0.002 \text{ m}

La magnificación lateral se define como:

M = \frac{h'}{h} = \frac{s'}{s}

Sustituyendo los valores conocidos:

M = \frac{0.002 \text{ m}}{0.004 \text{ m}} = 0.5

Ahora, usamos la magnificación para encontrar la distancia de la imagen ( $s'$ ):

0.5 = \frac{s'}{-0.20 \text{ m}}
s' = 0.5 \times (-0.20 \text{ m}) = -0.10 \text{ m}

La distancia de la imagen es negativa, lo que indica que la imagen es virtual y se forma en el mismo lado que el objeto (a la izquierda de la lente).Para calcular la distancia focal ( $f$ ) de la lente, utilizamos la ecuación de la lente delgada:

\frac{1}{f} = \frac{1}{s'} - \frac{1}{s}

Sustituyendo los valores de $s'$ y $s$ :

\frac{1}{f} = \frac{1}{-0.10 \text{ m}} - \frac{1}{-0.20 \text{ m}}
\frac{1}{f} = -10 \text{ m}^{-1} + 5 \text{ m}^{-1}
\frac{1}{f} = -5 \text{ m}^{-1}
f = -0.20 \text{ m}

Como la distancia focal ( $f$ ) es negativa, la lente es divergente. Finalmente, la potencia de la lente ( $P$ ) se calcula como el inverso de la distancia focal en metros:

P = \frac{1}{f}
P = \frac{1}{-0.20 \text{ m}} = -5 \text{ D}

La potencia de la lente es $-5 \text{ D}$ y es una lente divergente.

b) Elabore el trazado de rayos correspondiente a la situación descrita.

Para elaborar el trazado de rayos, consideramos una lente divergente. El objeto está situado a $20 \text{ cm}$ a la izquierda de la lente ( $s = -0.20 \text{ m}$ ), y el foco principal de la lente divergente también está a $20 \text{ cm}$ a la izquierda ( $f = -0.20 \text{ m}$ ). La imagen virtual se forma a $10 \text{ cm}$ a la izquierda de la lente ( $s' = -0.10 \text{ m}$ ), es derecha y de menor tamaño.

T5: Física moderna

Efecto fotoeléctrico

Problema

2025 · Ordinaria · Titular

A5

Una placa de cobalto se expone a luz de una determinada intensidad y de frecuencia igual a $1,2$ veces la frecuencia umbral para el efecto fotoeléctrico en ese material. En estas condiciones, se registra un cierto potencial de frenado $V_1$ .

a) Si se duplica la frecuencia de la luz incidente, se registra un nuevo potencial de frenado

V_2

, que es

6 \text{ V}

mayor que

V_1

. Obtenga el trabajo de extracción para el cobalto y el valor de la frecuencia umbral.b) Si se mantiene la frecuencia inicial y se duplica la intensidad de la luz incidente, ¿cómo se modificará el potencial de frenado?

Datos: Valor absoluto de la carga del electrón, $e = 1,6 \cdot 10^{-19} \text{ C}$ ; Constante de Planck, $h = 6,63 \cdot 10^{-34} \text{ J} \cdot \text{s}$ .

efecto fotoeléctricopotencial de frenadofrecuencia umbral+1

a) Para el efecto fotoeléctrico, la ecuación de Einstein establece que la energía cinética máxima de los electrones emitidos es la diferencia entre la energía de los fotones incidentes y el trabajo de extracción del material:

E_k = hf - W_0

Además, la energía cinética máxima también se puede expresar en términos del potencial de frenado $V_s$ :

E_k = e V_s

El trabajo de extracción $W_0$ está relacionado con la frecuencia umbral $f_0$ por la expresión:

W_0 = hf_0

Sustituyendo estas relaciones en la primera ecuación, obtenemos:

e V_s = hf - hf_0

Para la primera situación, la frecuencia de la luz incidente es $f_1 = 1,2 f_0$ y el potencial de frenado es $V_1$ :

e V_1 = h (1,2 f_0) - hf_0 \ e V_1 = 0,2 hf_0 \ (1)

Para la segunda situación, la frecuencia se duplica a $f_2 = 2f_1 = 2(1,2 f_0) = 2,4 f_0$ . El nuevo potencial de frenado es $V_2 = V_1 + 6 \text{ V}$ :

e V_2 = hf_2 - hf_0 \ e (V_1 + 6 \text{ V}) = h (2,4 f_0) - hf_0 \ e V_1 + 6e = 1,4 hf_0 \ (2)

Sustituimos la expresión de $e V_1$ de la ecuación (1) en la ecuación (2):

0,2 hf_0 + 6e = 1,4 hf_0

Despejamos $f_0$ :

6e = 1,2 hf_0 \ f_0 = \frac{6e}{1,2h}

Sustituimos los valores de $e$ y $h$ :

f_0 = \frac{6 \cdot (1,6 \cdot 10^{-19} \text{ C})}{1,2 \cdot (6,63 \cdot 10^{-34} \text{ J} \cdot \text{s})} = \frac{9,6 \cdot 10^{-19}}{7,956 \cdot 10^{-34}} \text{ Hz}

Calculando el valor de la frecuencia umbral:

f_0 \approx 1,207 \cdot 10^{15} \text{ Hz}

Ahora podemos calcular el trabajo de extracción $W_0$ para el cobalto:

W_0 = hf_0

Sustituyendo los valores:

W_0 = (6,63 \cdot 10^{-34} \text{ J} \cdot \text{s}) \cdot (1,207 \cdot 10^{15} \text{ Hz})

Calculando el valor del trabajo de extracción:

W_0 \approx 8,001 \cdot 10^{-19} \text{ J}

b) El potencial de frenado (

V_s

) en el efecto fotoeléctrico depende únicamente de la frecuencia de la luz incidente y del trabajo de extracción del material, según la ecuación

e V_s = hf - W_0

. No depende de la intensidad de la luz.

Si se duplica la intensidad de la luz incidente mientras se mantiene la frecuencia inicial, el potencial de frenado no se modificará. Una mayor intensidad solo significa que inciden más fotones por unidad de tiempo, lo que resultará en una mayor cantidad de electrones emitidos (es decir, una mayor corriente fotoeléctrica), pero la energía cinética máxima de cada electrón individual no cambiará, y por lo tanto, el potencial de frenado tampoco.

T1: Interacción gravitatoria

Dinámica orbital

Problema

2025 · Ordinaria · Titular

B1

Un satélite de $200 \text{ kg}$ de masa se mueve en una órbita cerrada alrededor de la Tierra. En un determinado instante, es detectado a $630 \text{ km}$ de altura, moviéndose a $9,92 \text{ km s}^{-1}$ con velocidad perpendicular a la dirección radial.

a) Compare la velocidad del satélite con la correspondiente a una órbita circular de la altura dada y del resultado anterior, razone si la órbita es circular o elíptica.b) Calcule los módulos del momento angular y de la aceleración del satélite en el instante señalado.

Datos: Constante de Gravitación Universal, $G = 6,67 \cdot 10^{-11} \text{ N} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{kg}^{-2}$ ; Masa de la Tierra, $M_T = 5,97 \cdot 10^{24} \text{ kg}$ ; Radio de la Tierra, $R_T = 6,37 \cdot 10^6 \text{ m}$ .

momento angularaceleraciónórbita circular+1

Resolución del Ejercicio de Física

Primero, calculamos el radio de la órbita del satélite con respecto al centro de la Tierra, sumando el radio terrestre y la altura a la que se encuentra:

r = R_T + h

Sustituyendo los valores dados:

r = 6,37 \cdot 10^6 \text{ m} + 630 \cdot 10^3 \text{ m} = 6,37 \cdot 10^6 \text{ m} + 0,63 \cdot 10^6 \text{ m} = 7,00 \cdot 10^6 \text{ m}

a) Para comparar la velocidad del satélite con la correspondiente a una órbita circular, primero calculamos la velocidad que tendría un satélite en una órbita circular a esa misma altura. En una órbita circular, la fuerza gravitatoria actúa como fuerza centrípeta:

\frac{G M_T m}{r^2} = \frac{m v_c^2}{r} \implies v_c = \sqrt{\frac{G M_T}{r}}

Sustituimos los valores conocidos:

v_c = \sqrt{\frac{(6,67 \cdot 10^{-11} \text{ N} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{kg}^{-2}) \cdot (5,97 \cdot 10^{24} \text{ kg})}{7,00 \cdot 10^6 \text{ m}}}

v_c = \sqrt{\frac{3,98139 \cdot 10^{14}}{7,00 \cdot 10^6}} \text{ m} \cdot \text{s}^{-1} = \sqrt{5,6877 \cdot 10^7} \text{ m} \cdot \text{s}^{-1} \approx 7541,68 \text{ m} \cdot \text{s}^{-1}

Expresando la velocidad en $\text{km} \cdot \text{s}^{-1}$ :

v_c \approx 7,54 \text{ km} \cdot \text{s}^{-1}

La velocidad del satélite detectado es $v = 9,92 \text{ km} \cdot \text{s}^{-1}$ . Al comparar esta velocidad con la velocidad circular a la misma altura, observamos que $v > v_c$ ( $9,92 \text{ km} \cdot \text{s}^{-1} > 7,54 \text{ km} \cdot \text{s}^{-1}$ ). Además, la velocidad de escape a esta altura es $v_e = \sqrt{2} v_c \approx \sqrt{2} \cdot 7,54 \text{ km} \cdot \text{s}^{-1} \approx 10,66 \text{ km} \cdot \text{s}^{-1}$ . Dado que la velocidad del satélite está entre la velocidad circular y la velocidad de escape ( $v_c < v < v_e$ ), y se especifica que es una órbita cerrada, la órbita del satélite es elíptica. El hecho de que la velocidad sea perpendicular a la dirección radial en ese instante significa que el satélite se encuentra en el periapsis (punto más cercano a la Tierra), ya que en ese punto la velocidad es máxima.

b) Calculamos el módulo del momento angular y de la aceleración del satélite en el instante señalado.

El módulo del momento angular ( $L$ ) se calcula como el producto de la masa del satélite, su velocidad tangencial y la distancia al centro de giro. Dado que la velocidad es perpendicular a la dirección radial, toda la velocidad es tangencial:

L = m \cdot v \cdot r

Sustituyendo los valores:

L = (200 \text{ kg}) \cdot (9,92 \cdot 10^3 \text{ m} \cdot \text{s}^{-1}) \cdot (7,00 \cdot 10^6 \text{ m})

L = 13888 \cdot 10^9 \text{ kg} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{s}^{-1} = 1,39 \cdot 10^{13} \text{ kg} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{s}^{-1}

El módulo de la aceleración ( $a$ ) del satélite en ese instante es la aceleración gravitatoria que experimenta debido a la Tierra:

a = g = \frac{G M_T}{r^2}

Sustituyendo los valores:

a = \frac{(6,67 \cdot 10^{-11} \text{ N} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{kg}^{-2}) \cdot (5,97 \cdot 10^{24} \text{ kg})}{(7,00 \cdot 10^6 \text{ m})^2}

a = \frac{3,98139 \cdot 10^{14}}{49,00 \cdot 10^{12}} \text{ m} \cdot \text{s}^{-2} \approx 8,125 \text{ m} \cdot \text{s}^{-2}

T3: Vibraciones y ondas

Ondas sonoras

Problema

2025 · Ordinaria · Titular

B2

El campanario de una iglesia medieval, situado a $35 \text{ m}$ de altura, consta de $4$ campanas. Cada una de ellas emite $10 \text{ mW}$ de potencia sonora tras ser golpeada. Por otro lado, el límite de contaminación acústica en ese municipio está establecido en $55 \text{ dB}$ .

a) Determine el nivel de intensidad sonora que percibe una persona parada al pie de la torre del campanario cuando se toca una sola campana.b) ¿Podrán tocar las cuatro campanas a la vez si no se quiere sobrepasar el límite de contaminación acústica y la población está situada a más de

100

metros de la iglesia?

Dato: Intensidad umbral, $I_0 = 1 \cdot 10^{-12} \text{ W} \cdot \text{m}^{-2}$ .

intensidad sonoranivel de intensidadpotencia sonora+1

a) Determine el nivel de intensidad sonora que percibe una persona parada al pie de la torre del campanario cuando se toca una sola campana.

La potencia sonora emitida por una campana es $P = 10 \text{ mW} = 10 \times 10^{-3} \text{ W}$ . La distancia de la campana a la persona es $r = 35 \text{ m}$ . Suponiendo que el sonido se propaga uniformemente en todas direcciones, la intensidad sonora $I$ a una distancia $r$ de una fuente puntual se calcula como:

I = \frac{P}{4\pi r^2}

Sustituyendo los valores:

I = \frac{10 \times 10^{-3} \text{ W}}{4\pi (35 \text{ m})^2} = \frac{10 \times 10^{-3}}{4\pi \times 1225} \text{ W} \cdot \text{m}^{-2} \approx \frac{10 \times 10^{-3}}{15393.8} \text{ W} \cdot \text{m}^{-2} \approx 6.496 \times 10^{-7} \text{ W} \cdot \text{m}^{-2}

El nivel de intensidad sonora $\beta$ se calcula mediante la fórmula:

\beta = 10 \log_{10}\left(\frac{I}{I_0}\right)

Donde $I_0 = 1 \times 10^{-12} \text{ W} \cdot \text{m}^{-2}$ es la intensidad umbral.

\beta = 10 \log_{10}\left(\frac{6.496 \times 10^{-7} \text{ W} \cdot \text{m}^{-2}}{1 \times 10^{-12} \text{ W} \cdot \text{m}^{-2}}\right) = 10 \log_{10}(6.496 \times 10^5) \text{ dB}

\beta \approx 10 \times 5.8126 \text{ dB} \approx 58.13 \text{ dB}

El nivel de intensidad sonora percibido es de aproximadamente $58.13 \text{ dB}$ .

b) ¿Podrán tocar las cuatro campanas a la vez si no se quiere sobrepasar el límite de contaminación acústica y la población está situada a más de

100

metros de la iglesia?

Si tocan las cuatro campanas a la vez, la potencia sonora total emitida será la suma de las potencias de cada campana:

P_{total} = 4 \times 10 \text{ mW} = 40 \text{ mW} = 40 \times 10^{-3} \text{ W}

La distancia a la población es $r' = 100 \text{ m}$ . Calculamos la intensidad sonora $I'$ a esta distancia:

I' = \frac{P_{total}}{4\pi (r')^2} = \frac{40 \times 10^{-3} \text{ W}}{4\pi (100 \text{ m})^2} = \frac{40 \times 10^{-3}}{4\pi \times 10000} \text{ W} \cdot \text{m}^{-2}

I' \approx \frac{40 \times 10^{-3}}{125663.7} \text{ W} \cdot \text{m}^{-2} \approx 3.183 \times 10^{-7} \text{ W} \cdot \text{m}^{-2}

Ahora calculamos el nivel de intensidad sonora $\beta'$ a $100 \text{ m}$ :

\beta' = 10 \log_{10}\left(\frac{I'}{I_0}\right) = 10 \log_{10}\left(\frac{3.183 \times 10^{-7} \text{ W} \cdot \text{m}^{-2}}{1 \times 10^{-12} \text{ W} \cdot \text{m}^{-2}}\right)

\beta' = 10 \log_{10}(3.183 \times 10^5) \text{ dB} \approx 10 \times 5.5028 \text{ dB} \approx 55.03 \text{ dB}

El límite de contaminación acústica en el municipio es de $55 \text{ dB}$ . El nivel de intensidad sonora percibido a $100 \text{ m}$ con las cuatro campanas es de aproximadamente $55.03 \text{ dB}$ . Este valor es ligeramente superior al límite establecido.Por lo tanto, no podrán tocar las cuatro campanas a la vez sin sobrepasar el límite de contaminación acústica establecido en el municipio.

T2: Interacción electromagnética

Electrostática

Problema

2025 · Ordinaria · Titular

B3

Dos partículas situadas en los puntos $(-6, 0) \text{ mm}$ y $(6, 0) \text{ mm}$ del plano $xy$ poseen cargas iguales de $+9 \text{ nC}$ . Obtenga el potencial eléctrico y el campo eléctrico en:

a) El origen de coordenadas.b) El punto

(0, 3) \text{ mm}

.

Dato: Constante de la ley de Coulomb, $K = 9 \cdot 10^9 \text{ N} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{C}^{-2}$ .

potencial eléctricocampo eléctricoley de Coulomb

Datos:

q_1 = q_2 = q = +9 \text{ nC} = 9 \cdot 10^{-9} \text{ C}

\vec{r}_1 = (-6, 0) \text{ mm} = (-6 \cdot 10^{-3}, 0) \text{ m}

\vec{r}_2 = (6, 0) \text{ mm} = (6 \cdot 10^{-3}, 0) \text{ m}

K = 9 \cdot 10^9 \text{ N} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{C}^{-2}

a) El origen de coordenadas

(0, 0) \text{ m}

El potencial eléctrico en un punto debido a una carga puntual se calcula con la fórmula $V = K \frac{q}{r}$ . Para un sistema de cargas, el potencial total es la suma algebraica de los potenciales individuales.

V_{total} = \sum V_i = V_1 + V_2

La distancia de ambas cargas al origen es la misma:

r_1 = |\vec{r}_1| = 6 \cdot 10^{-3} \text{ m}

r_2 = |\vec{r}_2| = 6 \cdot 10^{-3} \text{ m}

V_O = K \frac{q_1}{r_1} + K \frac{q_2}{r_2} = 2 K \frac{q}{r}

V_O = 2 \cdot (9 \cdot 10^9 \text{ N} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{C}^{-2}) \cdot \frac{9 \cdot 10^{-9} \text{ C}}{6 \cdot 10^{-3} \text{ m}}

V_O = 2 \cdot \frac{81}{6} \cdot 10^3 \text{ V} = 2 \cdot 13.5 \cdot 10^3 \text{ V} = 27000 \text{ V}

El campo eléctrico en un punto debido a una carga puntual se calcula con la fórmula $\vec{E} = K \frac{q}{r^2} \hat{r}$ , donde $\hat{r}$ es el vector unitario que apunta desde la carga hacia el punto de interés. Para un sistema de cargas, el campo eléctrico total es la suma vectorial de los campos individuales.

\vec{E}_{total} = \sum \vec{E}_i = \vec{E}_1 + \vec{E}_2

Para $q_1$ en $(-6 \cdot 10^{-3}, 0)$ y el punto de interés en $(0,0)$ :

\vec{r}_{1O} = (0 - (-6 \cdot 10^{-3})) \vec{i} = 6 \cdot 10^{-3} \vec{i} \text{ m}

\hat{r}_{1O} = \vec{i}

\vec{E}_1 = K \frac{q_1}{r_1^2} \hat{r}_{1O} = (9 \cdot 10^9) \frac{9 \cdot 10^{-9}}{(6 \cdot 10^{-3})^2} \vec{i} \text{ N/C}

\vec{E}_1 = \frac{81}{36 \cdot 10^{-6}} \vec{i} = 2.25 \cdot 10^6 \vec{i} \text{ N/C}

Para $q_2$ en $(6 \cdot 10^{-3}, 0)$ y el punto de interés en $(0,0)$ :

\vec{r}_{2O} = (0 - 6 \cdot 10^{-3}) \vec{i} = -6 \cdot 10^{-3} \vec{i} \text{ m}

\hat{r}_{2O} = -\vec{i}

\vec{E}_2 = K \frac{q_2}{r_2^2} \hat{r}_{2O} = (9 \cdot 10^9) \frac{9 \cdot 10^{-9}}{(6 \cdot 10^{-3})^2} (-\vec{i}) \text{ N/C}

\vec{E}_2 = -2.25 \cdot 10^6 \vec{i} \text{ N/C}

El campo eléctrico total en el origen es:

\vec{E}_O = \vec{E}_1 + \vec{E}_2 = (2.25 \cdot 10^6 \vec{i}) + (-2.25 \cdot 10^6 \vec{i}) = \vec{0} \text{ N/C}

b) El punto

(0, 3) \text{ mm}

Las cargas $q_1$ y $q_2$ están en $(-6,0)$ y $(6,0)$ mm, respectivamente. El punto de interés $P$ es $(0,3)$ mm.La distancia de ambas cargas al punto P es la misma, por simetría:

r_P = \sqrt{((0) - (-6 \cdot 10^{-3}))^2 + ((3 \cdot 10^{-3}) - 0)^2} = \sqrt{(6 \cdot 10^{-3})^2 + (3 \cdot 10^{-3})^2} \text{ m}

r_P = \sqrt{36 \cdot 10^{-6} + 9 \cdot 10^{-6}} = \sqrt{45 \cdot 10^{-6}} = \sqrt{45} \cdot 10^{-3} \text{ m}

El potencial eléctrico en el punto P es:

V_P = K \frac{q_1}{r_P} + K \frac{q_2}{r_P} = 2 K \frac{q}{r_P}

V_P = 2 \cdot (9 \cdot 10^9 \text{ N} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{C}^{-2}) \cdot \frac{9 \cdot 10^{-9} \text{ C}}{\sqrt{45} \cdot 10^{-3} \text{ m}}

V_P = \frac{162}{\sqrt{45}} \cdot 10^3 \text{ V} \approx 24150 \text{ V}

Para el campo eléctrico, necesitamos los vectores unitarios.

Vector desde $q_1$ a P:

\vec{r}_{1P} = (0 - (-6 \cdot 10^{-3})) \vec{i} + (3 \cdot 10^{-3} - 0) \vec{j} = (6 \cdot 10^{-3} \vec{i} + 3 \cdot 10^{-3} \vec{j}) \text{ m}

\hat{r}_{1P} = \frac{6 \cdot 10^{-3} \vec{i} + 3 \cdot 10^{-3} \vec{j}}{\sqrt{45} \cdot 10^{-3}} = \frac{6}{\sqrt{45}} \vec{i} + \frac{3}{\sqrt{45}} \vec{j}

\vec{E}_1 = K \frac{q_1}{r_P^2} \hat{r}_{1P} = (9 \cdot 10^9) \frac{9 \cdot 10^{-9}}{(\sqrt{45} \cdot 10^{-3})^2} \left( \frac{6}{\sqrt{45}} \vec{i} + \frac{3}{\sqrt{45}} \vec{j} \right) \text{ N/C}

\vec{E}_1 = \frac{81}{45 \cdot 10^{-6}} \left( \frac{6}{\sqrt{45}} \vec{i} + \frac{3}{\sqrt{45}} \vec{j} \right) = 1.8 \cdot 10^6 \left( \frac{6}{\sqrt{45}} \vec{i} + \frac{3}{\sqrt{45}} \vec{j} \right) \text{ N/C}

Vector desde $q_2$ a P:

\vec{r}_{2P} = (0 - 6 \cdot 10^{-3}) \vec{i} + (3 \cdot 10^{-3} - 0) \vec{j} = (-6 \cdot 10^{-3} \vec{i} + 3 \cdot 10^{-3} \vec{j}) \text{ m}

\hat{r}_{2P} = \frac{-6 \cdot 10^{-3} \vec{i} + 3 \cdot 10^{-3} \vec{j}}{\sqrt{45} \cdot 10^{-3}} = -\frac{6}{\sqrt{45}} \vec{i} + \frac{3}{\sqrt{45}} \vec{j}

\vec{E}_2 = K \frac{q_2}{r_P^2} \hat{r}_{2P} = (9 \cdot 10^9) \frac{9 \cdot 10^{-9}}{(\sqrt{45} \cdot 10^{-3})^2} \left( -\frac{6}{\sqrt{45}} \vec{i} + \frac{3}{\sqrt{45}} \vec{j} \right) \text{ N/C}

\vec{E}_2 = 1.8 \cdot 10^6 \left( -\frac{6}{\sqrt{45}} \vec{i} + \frac{3}{\sqrt{45}} \vec{j} \right) \text{ N/C}

El campo eléctrico total en el punto P es la suma vectorial de $\vec{E}_1$ y $\vec{E}_2$ :

\vec{E}_P = \vec{E}_1 + \vec{E}_2 = 1.8 \cdot 10^6 \left[ \left( \frac{6}{\sqrt{45}} \vec{i} + \frac{3}{\sqrt{45}} \vec{j} \right) + \left( -\frac{6}{\sqrt{45}} \vec{i} + \frac{3}{\sqrt{45}} \vec{j} \right) \right]

\vec{E}_P = 1.8 \cdot 10^6 \left[ \left( \frac{6}{\sqrt{45}} - \frac{6}{\sqrt{45}} \right) \vec{i} + \left( \frac{3}{\sqrt{45}} + \frac{3}{\sqrt{45}} \right) \vec{j} \right]

\vec{E}_P = 1.8 \cdot 10^6 \left[ 0 \cdot \vec{i} + \frac{6}{\sqrt{45}} \vec{j} \right] = 1.8 \cdot 10^6 \cdot \frac{6}{\sqrt{45}} \vec{j} \text{ N/C}

\vec{E}_P = \frac{10.8}{\sqrt{45}} \cdot 10^6 \vec{j} \text{ N/C}

\vec{E}_P \approx 1.61 \cdot 10^6 \vec{j} \text{ N/C}

T4: Óptica

Reflexión y refracción

Problema

2025 · Ordinaria · Titular

B4

El prisma de sección triangular mostrado en la figura está hecho de un material con índice de refracción $n_p$ . Se halla inmerso en aire, con índice de refracción igual a $1$ .

a) Determine el índice de refracción

n_p

si se sabe que el ángulo límite para la reflexión total en el paso del prisma al aire vale

45,58^\circ

.b) Considere un rayo de luz que incide perpendicularmente sobre la superficie del prisma desde el aire, en el punto P. Elabore un diagrama mostrando su recorrido en el interior del prisma hasta que vuelve a emerger al aire, y calcule el ángulo de refracción a la salida.

refracciónprisma ópticoreflexión total+1

a) Determine el índice de refracción

n_p

si se sabe que el ángulo límite para la reflexión total en el paso del prisma al aire vale

45,58^\circ

.

Para la reflexión total interna, el ángulo límite $\theta_L$ ocurre cuando el ángulo de refracción en el medio menos denso es $90^\circ$ . Aplicamos la Ley de Snell en la interfaz prisma-aire:

n_p \sin(\theta_L) = n_{aire} \sin(90^\circ)

Dado que $n_{aire} = 1$ y $\sin(90^\circ) = 1$ , la ecuación se simplifica a:

n_p = \frac{n_{aire}}{\sin(\theta_L)}

Sustituyendo el valor del ángulo límite $\theta_L = 45,58^\circ$ :

n_p = \frac{1}{\sin(45,58^\circ)} = \frac{1}{0,7142385} \approx 1,40

b) Considere un rayo de luz que incide perpendicularmente sobre la superficie del prisma desde el aire, en el punto P. Elabore un diagrama mostrando su recorrido en el interior del prisma hasta que vuelve a emerger al aire, y calcule el ángulo de refracción a la salida.

El prisma tiene ángulos internos de $30^\circ$ , $90^\circ$ y $60^\circ$ (el ángulo en el vértice superior es $30^\circ$ , el inferior derecho es $90^\circ$ y el inferior izquierdo es $60^\circ$ ). El rayo de luz incide perpendicularmente sobre la superficie vertical derecha (donde está el punto P). Esto significa que el ángulo de incidencia es $0^\circ$ , por lo que el rayo no se desvía y entra al prisma viajando horizontalmente hacia la izquierda.El rayo horizontal incide sobre la hipotenusa del prisma. Para determinar el ángulo de incidencia ( $\theta_{i2}$ ) en esta superficie, consideramos la geometría del prisma. La hipotenusa forma un ángulo de $60^\circ$ con la base horizontal del prisma (el ángulo inferior izquierdo es de $60^\circ$ ). El rayo incide horizontalmente (paralelo a la base). El ángulo de incidencia es el ángulo entre el rayo incidente y la normal a la superficie. Si la hipotenusa forma $60^\circ$ con la horizontal, su normal formará $90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$ con la horizontal.

\theta_{i2} = 30^\circ

Comparamos este ángulo de incidencia con el ángulo límite calculado en el apartado a) ( $\theta_L = 45,58^\circ$ ). Como $\theta_{i2} = 30^\circ < \theta_L = 45,58^\circ$ , el rayo se refractará al aire, no se producirá reflexión total interna.Aplicamos la Ley de Snell en la interfaz prisma-aire en la hipotenusa para calcular el ángulo de refracción a la salida ( $\theta_{r2}$ ):

n_p \sin(\theta_{i2}) = n_{aire} \sin(\theta_{r2})

Sustituyendo los valores: $n_p \approx 1,40$ , $\theta_{i2} = 30^\circ$ y $n_{aire} = 1$ .

1,4001 \sin(30^\circ) = 1 \cdot \sin(\theta_{r2})

1,4001 \cdot 0,5 = \sin(\theta_{r2})

\sin(\theta_{r2}) = 0,70005

\theta_{r2} = \arcsin(0,70005) \approx 44,42^\circ

El ángulo de refracción a la salida es aproximadamente $44,42^\circ$ .

T6: Física nuclear

Radiactividad

Problema

2025 · Ordinaria · Titular

B5

Dos muestras, cada una de un radioisótopo distinto (radioisótopo 1 y radioisótopo 2) contienen en el momento de su preparación la misma masa del radioisótopo correspondiente. Las medidas de actividad de las muestras 1 y 2 para el instante inicial ( $t = 0$ ) y al cabo de un día arrojan los siguientes valores: $\begin{array}{|l|l|l|} \hline & A_1 (\text{kBq}) & A_2 (\text{kBq}) \ \hline t = 0 & 10,00 & 11,70 \ \hline t = 1 \text{ d} & 8,90 & 10,77 \ \hline \end{array}$

a) Calcule el período de semidesintegración de cada radioisótopo.b) Si

M_1

y

M_2

denotan las respectivas masas atómicas de los radioisótopos, determine el cociente

M_2/M_1

.

actividad radiactivaperiodo de semidesintegraciónmasas atómicas

a) Para calcular el período de semidesintegración (

T_{1/2}

) de cada radioisótopo, utilizamos la ley de desintegración radiactiva, que relaciona la actividad inicial (

A_0

) con la actividad en un instante posterior (

A(t)

):

A(t) = A_0 e^{-\lambda t}

donde $\lambda$ es la constante de desintegración. El período de semidesintegración se relaciona con $\lambda$ mediante la expresión:

T_{1/2} = \frac{\ln 2}{\lambda}

Aplicamos estas fórmulas para cada radioisótopo.

Radioisótopo 1

Datos: $A_{01} = 10.00 \text{ kBq}$ , $A_1(t=1\text{ d}) = 8.90 \text{ kBq}$ , $t = 1 \text{ d}$ .Sustituyendo en la ecuación de actividad:

8.90 \text{ kBq} = 10.00 \text{ kBq} \cdot e^{-\lambda_1 (1 \text{ d})}

\frac{8.90}{10.00} = e^{-\lambda_1 (1 \text{ d})}

\ln(0.89) = -\lambda_1 (1 \text{ d})

\lambda_1 = -\frac{\ln(0.89)}{1 \text{ d}} \approx -\frac{-0.11653}{1 \text{ d}} \approx 0.11653 \text{ d}^{-1}

Ahora calculamos el período de semidesintegración para el radioisótopo 1:

T_{1/2, 1} = \frac{\ln 2}{\lambda_1} = \frac{0.693147}{0.11653 \text{ d}^{-1}} \approx 5.948 \text{ d}

Radioisótopo 2

Datos: $A_{02} = 11.70 \text{ kBq}$ , $A_2(t=1\text{ d}) = 10.77 \text{ kBq}$ , $t = 1 \text{ d}$ .Sustituyendo en la ecuación de actividad:

10.77 \text{ kBq} = 11.70 \text{ kBq} \cdot e^{-\lambda_2 (1 \text{ d})}

\frac{10.77}{11.70} = e^{-\lambda_2 (1 \text{ d})}

\ln\left(\frac{10.77}{11.70}\right) = -\lambda_2 (1 \text{ d})

\lambda_2 = -\frac{\ln(0.92051)}{1 \text{ d}} \approx -\frac{-0.08279}{1 \text{ d}} \approx 0.08279 \text{ d}^{-1}

Ahora calculamos el período de semidesintegración para el radioisótopo 2:

T_{1/2, 2} = \frac{\ln 2}{\lambda_2} = \frac{0.693147}{0.08279 \text{ d}^{-1}} \approx 8.372 \text{ d}

b) Para determinar el cociente

M_2/M_1

, utilizaremos la relación entre la actividad inicial, la masa del radioisótopo y su masa atómica.

La masa de un radioisótopo ( $m_0$ ) está relacionada con el número inicial de núcleos ( $N_0$ ) y su masa atómica ( $M$ ) mediante:

m_0 = N_0 \frac{M}{N_A} \implies N_0 = \frac{m_0 N_A}{M}

donde $N_A$ es el número de Avogadro.La actividad inicial ( $A_0$ ) se relaciona con $N_0$ y la constante de desintegración $\lambda$ por:

A_0 = \lambda N_0

Sustituyendo $N_0$ en la ecuación de actividad inicial:

A_0 = \lambda \frac{m_0 N_A}{M}

De esta expresión, podemos despejar el producto $m_0 N_A$ :

m_0 N_A = \frac{A_0 M}{\lambda}

Dado que las masas iniciales de ambos radioisótopos son iguales ( $m_{01} = m_{02}$ ), y $N_A$ es una constante, podemos igualar las expresiones para ambos radioisótopos:

\frac{A_{01} M_1}{\lambda_1} = \frac{A_{02} M_2}{\lambda_2}

Despejamos el cociente $M_2/M_1$ :

\frac{M_2}{M_1} = \frac{A_{01} \lambda_2}{A_{02} \lambda_1}

Sustituyendo $\lambda = \frac{\ln 2}{T_{1/2}}$ :

\frac{M_2}{M_1} = \frac{A_{01} (\ln 2 / T_{1/2, 2})}{A_{02} (\ln 2 / T_{1/2, 1})} = \frac{A_{01} T_{1/2, 1}}{A_{02} T_{1/2, 2}}

Ahora, sustituimos los valores conocidos:

A_{01} = 10.00 \text{ kBq}

T_{1/2, 1} = 5.948 \text{ d}

A_{02} = 11.70 \text{ kBq}

T_{1/2, 2} = 8.372 \text{ d}

Realizando el cálculo:

\frac{M_2}{M_1} = \frac{(10.00 \text{ kBq}) \cdot (5.948 \text{ d})}{(11.70 \text{ kBq}) \cdot (8.372 \text{ d})} = \frac{59.48}{97.9524} \approx 0.607