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T1: Interacción gravitatoria
Leyes de Kepler
Problema
2025 · Extraordinaria · Titular
B1
Examen

Dos planetas de masas iguales orbitan en torno a una estrella de masa mucho mayor. El primero de los planetas tiene una órbita circular de radio 1,2⋅1011 m1,2 \cdot 10^{11} \text{ m} y un período de 33 años. El segundo planeta sigue una órbita elíptica tal que la distancia más próxima a la estrella es de 1,0⋅1011 m1,0 \cdot 10^{11} \text{ m} y la más lejana de 1,8⋅1011 m1,8 \cdot 10^{11} \text{ m}.

a) Determine la masa de la estrella y el período del segundo planeta.b) Calcule la velocidad orbital del primer planeta y, sabiendo que su energía mecánica en su órbita circular es de −3,8⋅1030 J-3,8 \cdot 10^{30} \text{ J}, halle la masa de los planetas.

Dato: Constante de Gravitación Universal, G=6,67⋅10−11 N⋅m2⋅kg−2G = 6,67 \cdot 10^{-11} \text{ N} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{kg}^{-2}.

GravitaciónEnergía mecánicaTercera ley de Kepler
a) Determinación de la masa de la estrella y el período del segundo planeta.

Para el primer planeta, que sigue una órbita circular, la fuerza gravitatoria entre la estrella y el planeta proporciona la fuerza centrípeta necesaria para mantenerlo en órbita. Podemos igualar estas fuerzas para encontrar la masa de la estrella.

Fg=FcGMSmR12=mv12R1F_g = F_c \\ G \frac{M_S m}{R_1^2} = m \frac{v_1^2}{R_1}

La velocidad orbital v1v_1 en una órbita circular se relaciona con el radio R1R_1 y el período T1T_1 como v1=2πR1T1v_1 = \frac{2 \pi R_1}{T_1}. Sustituyendo esta expresión en la ecuación anterior:

GMSR1=(2πR1T1)2GMSR1=4π2R12T12MS=4π2R13GT12G \frac{M_S}{R_1} = \left(\frac{2 \pi R_1}{T_1}\right)^2 \\ G \frac{M_S}{R_1} = \frac{4 \pi^2 R_1^2}{T_1^2} \\ M_S = \frac{4 \pi^2 R_1^3}{G T_1^2}

Antes de sustituir los valores, convertimos el período T1T_1 a segundos:

T1=3 an˜os×365,25 dıˊas1 an˜o×24 h1 dıˊa×3600 s1 h=9,46728⋅107 sT_1 = 3 \text{ años} \times \frac{365,25 \text{ días}}{1 \text{ año}} \times \frac{24 \text{ h}}{1 \text{ día}} \times \frac{3600 \text{ s}}{1 \text{ h}} = 9,46728 \cdot 10^7 \text{ s}

Ahora, calculamos la masa de la estrella MSM_S:

MS=4π2(1,2⋅1011 m)3(6,67⋅10−11 N⋅m2⋅kg−2)(9,46728⋅107 s)2MS=4π2(1,728⋅1033 m3)(6,67⋅10−11 N⋅m2⋅kg−2)(8,96894⋅1015 s2)MS≈1,14⋅1029 kgM_S = \frac{4 \pi^2 (1,2 \cdot 10^{11} \text{ m})^3}{(6,67 \cdot 10^{-11} \text{ N} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{kg}^{-2}) (9,46728 \cdot 10^7 \text{ s})^2} \\ M_S = \frac{4 \pi^2 (1,728 \cdot 10^{33} \text{ m}^3)}{(6,67 \cdot 10^{-11} \text{ N} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{kg}^{-2}) (8,96894 \cdot 10^{15} \text{ s}^2)} \\ M_S \approx 1,14 \cdot 10^{29} \text{ kg}

Para el segundo planeta, que sigue una órbita elíptica, el semi-eje mayor a2a_2 se calcula como la mitad de la suma de la distancia más próxima (rpr_p) y la más lejana (rar_a) a la estrella.

a2=rp+ra2=1,0⋅1011 m+1,8⋅1011 m2=2,8⋅1011 m2=1,4⋅1011 ma_2 = \frac{r_p + r_a}{2} = \frac{1,0 \cdot 10^{11} \text{ m} + 1,8 \cdot 10^{11} \text{ m}}{2} = \frac{2,8 \cdot 10^{11} \text{ m}}{2} = 1,4 \cdot 10^{11} \text{ m}

Aplicamos la Tercera Ley de Kepler, que establece que el cociente entre el cuadrado del período orbital y el cubo del semi-eje mayor es constante para todos los cuerpos que orbitan la misma estrella:

T12R13=T22a23T22=T12(a2R1)3T2=T1(a2R1)3/2\frac{T_1^2}{R_1^3} = \frac{T_2^2}{a_2^3} \\ T_2^2 = T_1^2 \left(\frac{a_2}{R_1}\right)^3 \\ T_2 = T_1 \left(\frac{a_2}{R_1}\right)^{3/2}

Calculamos el período T2T_2 del segundo planeta:

T2=(3 an˜os)(1,4⋅1011 m1,2⋅1011 m)3/2T2=(3 an˜os)(1,41,2)1,5T2≈(3 an˜os)(1,1667)1,5T2≈(3 an˜os)(1,2646)T2≈3,79 an˜osT_2 = (3 \text{ años}) \left(\frac{1,4 \cdot 10^{11} \text{ m}}{1,2 \cdot 10^{11} \text{ m}}\right)^{3/2} \\ T_2 = (3 \text{ años}) \left(\frac{1,4}{1,2}\right)^{1,5} \\ T_2 \approx (3 \text{ años}) (1,1667)^{1,5} \\ T_2 \approx (3 \text{ años}) (1,2646) \\ T_2 \approx 3,79 \text{ años}
b) Cálculo de la velocidad orbital del primer planeta y la masa de los planetas.

La velocidad orbital del primer planeta se puede calcular directamente con el radio de su órbita y su período:

v1=2πR1T1v_1 = \frac{2 \pi R_1}{T_1}

Sustituyendo los valores:

v1=2π(1,2⋅1011 m)9,46728⋅107 sv1≈7,96⋅104 m/sv_1 = \frac{2 \pi (1,2 \cdot 10^{11} \text{ m})}{9,46728 \cdot 10^7 \text{ s}} \\ v_1 \approx 7,96 \cdot 10^4 \text{ m/s}

La energía mecánica de un planeta en una órbita circular se define como:

EM=−GMSm2RE_M = -\frac{G M_S m}{2R}

Conocemos la energía mecánica del primer planeta (EM1E_{M1}), la constante de gravitación GG, la masa de la estrella MSM_S (calculada en el apartado a), y el radio de la órbita R1R_1. Despejamos la masa del planeta mm:

m=−2EM1R1GMSm = -\frac{2 E_{M1} R_1}{G M_S}

Sustituyendo los valores:

m=−2(−3,8⋅1030 J)(1,2⋅1011 m)(6,67⋅10−11 N⋅m2⋅kg−2)(1,1416⋅1029 kg)m=9,12⋅1041 J⋅m7,6146⋅1018 N⋅m2⋅kg−1m≈1,20⋅1023 kgm = -\frac{2 (-3,8 \cdot 10^{30} \text{ J}) (1,2 \cdot 10^{11} \text{ m})}{(6,67 \cdot 10^{-11} \text{ N} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{kg}^{-2}) (1,1416 \cdot 10^{29} \text{ kg})} \\ m = \frac{9,12 \cdot 10^{41} \text{ J} \cdot \text{m}}{7,6146 \cdot 10^{18} \text{ N} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{kg}^{-1}} \\ m \approx 1,20 \cdot 10^{23} \text{ kg}

Dado que ambos planetas tienen masas iguales, la masa de los planetas es m≈1,20⋅1023 kgm \approx 1,20 \cdot 10^{23} \text{ kg}.

Estrella M_SPlaneta mFgv