Física moderna

La ecuación del efecto fotoeléctrico, en términos del potencial de frenado $V$, es:

Esta ecuación es de la forma $V = mf + c$, donde la pendiente es $m = \frac{h}{e}$ y la ordenada en el origen es $c = -\frac{W_0}{e}$.Comparando con la ecuación dada en el enunciado:

Identificamos los valores:

La frecuencia umbral, $f_0$, es la frecuencia para la cual el potencial de frenado $V$ es cero (o la energía cinética máxima es cero).

El potencial de extracción, $W_0$, también conocido como función de trabajo, se obtiene de la ordenada en el origen:

Para expresarlo en eV, recordamos que $1 \text{ eV} = e \text{ J}$, por lo tanto, el potencial de extracción directamente en eV es el valor numérico en voltios de la ordenada en el origen (cambiando el signo si es el término $-W_0/e$):

La constante de Planck, $h$, se obtiene de la pendiente de la recta:

Recordando que $1 \text{ V} \cdot 1 \text{ C} = 1 \text{ J}$:

Además, la energía cinética máxima también se puede expresar en términos del potencial de frenado $V_s$:

El trabajo de extracción $W_0$ está relacionado con la frecuencia umbral $f_0$ por la expresión:

Sustituyendo estas relaciones en la primera ecuación, obtenemos:

Para la primera situación, la frecuencia de la luz incidente es $f_1 = 1,2 f_0$ y el potencial de frenado es $V_1$:

Para la segunda situación, la frecuencia se duplica a $f_2 = 2f_1 = 2(1,2 f_0) = 2,4 f_0$. El nuevo potencial de frenado es $V_2 = V_1 + 6 \text{ V}$:

Sustituimos la expresión de $e V_1$ de la ecuación (1) en la ecuación (2):

Despejamos $f_0$:

Sustituimos los valores de $e$ y $h$:

Calculando el valor de la frecuencia umbral:

Ahora podemos calcular el trabajo de extracción $W_0$ para el cobalto:

Sustituyendo los valores:

Calculando el valor del trabajo de extracción:

Si se duplica la intensidad de la luz incidente mientras se mantiene la frecuencia inicial, el potencial de frenado no se modificará. Una mayor intensidad solo significa que inciden más fotones por unidad de tiempo, lo que resultará en una mayor cantidad de electrones emitidos (es decir, una mayor corriente fotoeléctrica), pero la energía cinética máxima de cada electrón individual no cambiará, y por lo tanto, el potencial de frenado tampoco.

La ecuación del efecto fotoeléctrico relaciona la energía cinética máxima de los fotoelectrones con la frecuencia de los fotones incidentes y la función de trabajo del material:

Donde $h$ es la constante de Planck, $f$ es la frecuencia de los fotones incidentes y $W_0$ es la función de trabajo.El potencial de frenado, $V$, se relaciona con la energía cinética máxima por la expresión:

Sustituyendo la expresión de $E_{c}^{max}$ en la ecuación del potencial de frenado:

Despejando el potencial de frenado $V$:

Comparando esta ecuación con la ecuación dada en el problema $V(V) = 4,16 \cdot 10^{-15} f(\text{Hz}) - 2,16$, podemos identificar el coeficiente de la frecuencia y el término independiente.

La frecuencia umbral, $f_0$, es la frecuencia mínima necesaria para que se produzca el efecto fotoeléctrico. A esta frecuencia, la energía cinética máxima de los fotoelectrones es cero ($E_{c}^{max} = 0$), lo que implica que el potencial de frenado también es cero ($V=0$). Sustituyendo $V=0$ en la ecuación dada:

Despejando $f_0$:

El término independiente de la ecuación $V = \frac{h}{e} f - \frac{W_0}{e}$ es $-\frac{W_0}{e}$. Comparándolo con el término independiente de la ecuación dada:

Por lo tanto, $\frac{W_0}{e} = 2,16 \text{ V}$. Esto significa que la función de trabajo $W_0$ es $2,16$ veces la carga del electrón en julios, o, lo que es lo mismo, $2,16 \text{ eV}$.

El coeficiente de la frecuencia en la ecuación $V = \frac{h}{e} f - \frac{W_0}{e}$ es $\frac{h}{e}$. Comparándolo con el coeficiente de la frecuencia en la ecuación dada:

Despejando la constante de Planck $h$ y utilizando el valor de la carga del electrón $e = 1,6 \cdot 10^{-19} \text{ C}$:

Para la primera condición, la frecuencia es $f_1 = 1,2 f_0$, donde $f_0$ es la frecuencia umbral. El trabajo de extracción se define como $W_0 = h f_0$. Sustituyendo estos valores en la ecuación del efecto fotoeléctrico, obtenemos:

Para la segunda condición, la frecuencia se duplica, $f_2 = 2 f_1 = 2 (1,2 f_0) = 2,4 f_0$. El nuevo potencial de frenado es $V_2 = V_1 + 6 \text{ V}$. Sustituyendo estos valores en la ecuación del efecto fotoeléctrico:

Restando la ecuación (1) de la ecuación (2) para eliminar $e V_1$:

Sustituyendo los valores de $e$ y $h$:

El trabajo de extracción $W_0$ se calcula como:

Por lo tanto, si se mantiene la frecuencia inicial y se duplica la intensidad de la luz incidente, el potencial de frenado $V_1$ NO se modificará.

La energía de los fotones incidentes, $E_f$, se calcula a partir de la longitud de onda de la luz, $\lambda$, y las constantes de Planck ($h$) y la velocidad de la luz ($c$):

La energía cinética máxima de los fotoelectrones, $E_{c,max}$, está relacionada con el potencial de frenado, $V_s$, y la carga del electrón, $e$:

Según la ecuación del efecto fotoeléctrico de Einstein, el trabajo de extracción, $W_0$, se obtiene como la diferencia entre la energía del fotón incidente y la energía cinética máxima de los electrones:

Por lo tanto, el trabajo de extracción del metal es $3,37 \cdot 10^{-19} \text{ J}$.

La corriente eléctrica, $I$, está relacionada con el número de electrones que fluyen por unidad de tiempo. Si la corriente máxima es $15 \text{ nA}$, podemos calcular el número de electrones emitidos por segundo:

Si asumimos que cada fotón incidente genera un fotoelectrón, entonces el número de fotones incidentes por segundo es igual al número de electrones emitidos por segundo:

Para calcular la energía que recibe la placa en $1 \text{ hora}$, primero convertimos el tiempo a segundos:

Ahora calculamos el número total de fotones que inciden en $1 \text{ hora}$:

La energía total recibida por la placa es el producto del número total de fotones y la energía de un solo fotón (calculada en el apartado a):

La energía total que recibe la placa en el transcurso de $1 \text{ hora}$ es $1,68 \cdot 10^{-4} \text{ J}$.

Primero, calculamos la función de trabajo (energía umbral) $W_0$ a partir de la longitud de onda umbral $\lambda_0$.

A continuación, calculamos la energía de los fotones incidentes del primer haz de luz con frecuencia $\nu_1$.

Aplicamos la ecuación del efecto fotoeléctrico para calcular la energía cinética máxima de los electrones emitidos.

Finalmente, convertimos la energía cinética máxima a electronVolts ($\text{eV}$). Utilizamos el factor de conversión $1 \text{ eV} = 1,6 \cdot 10^{-19} \text{ J}$.

La longitud de onda de de Broglie de los electrones emitidos es $\lambda_{dB} = 0,87 \text{ nm}$. Usamos la relación de de Broglie para calcular la velocidad $v$ de los electrones.

Con la velocidad de los electrones, calculamos su energía cinética máxima en este segundo caso ($E_{c,max,2}$). Para simplificar, mantendré $W_0$ en Joules.

Ahora aplicamos nuevamente la ecuación del efecto fotoeléctrico para la segunda iluminación para hallar la frecuencia $\nu_2$.

La ecuación del efecto fotoeléctrico establece que la energía de los fotones incidentes se utiliza para superar la función de trabajo del metal ($W_0$) y para proporcionar energía cinética a los fotoelectrones emitidos. La energía cinética máxima de los fotoelectrones está relacionada con el potencial de frenado ($V_s$) por la expresión $E_{k,max} = e V_s$.

Aplicamos esta ecuación para las dos longitudes de onda y sus respectivos potenciales de frenado:

Restamos la ecuación (2) de la ecuación (1) para eliminar la función de trabajo $W_0$:

Despejamos la constante de Planck $h$:

Datos:

Sustituimos los valores:

1. Potencial de frenado ($V_s$): El potencial de frenado depende de la energía cinética máxima de los fotoelectrones, que a su vez está determinada por la frecuencia (o longitud de onda) de la luz incidente y la función de trabajo del metal. No depende de la intensidad de la luz. Por lo tanto, si la intensidad del haz de luz de $379 \text{ nm}$ se disminuye a la mitad, el potencial de frenado se mantendrá inalterado.

2. Intensidad de corriente máxima ($I_{max}$): La intensidad de corriente máxima (corriente de saturación) es directamente proporcional al número de fotoelectrones emitidos por unidad de tiempo, lo cual a su vez es directamente proporcional a la intensidad de la luz incidente (número de fotones por unidad de tiempo). Según la gráfica, para la luz de $379 \text{ nm}$, la intensidad de corriente máxima es de $10 \text{ pA}$. Si la intensidad del haz se disminuye a la mitad, la intensidad de corriente máxima también se reducirá a la mitad.

Donde $m$ es la masa relativista, $m_0$ es la masa en reposo, $v$ es la velocidad de la partícula y $c$ es la velocidad de la luz en el vacío. Despejamos $m_0$:

Dado que la velocidad del protón es $v = 0,90c$, podemos sustituir este valor en la ecuación:

Sustituimos los valores de la masa relativista ($m$), la masa en reposo ($m_0$) calculada en el apartado anterior y la velocidad de la luz ($c$):

Ahora, convertimos la energía cinética de julios ($\text{J}$) a electronvoltios ($\text{eV}$), utilizando el valor absoluto de la carga del electrón $e = 1,6 \cdot 10^{-19} \text{ C}$ (que es equivalente a $1 \text{ eV} = 1,6 \cdot 10^{-19} \text{ J}$):

La energía cinética del electrón es equivalente a la energía de un fotón de longitud de onda $\lambda$. La energía de un fotón se calcula mediante la relación de Planck-Einstein:

Sustituyendo los valores dados:

Esta es la energía cinética del electrón en Joules. Para expresarla en electronvoltios (eV), utilizamos la equivalencia $1 \text{ eV} = 1,6 \cdot 10^{-19} \text{ J}$:

Dado que el electrón es relativista, su energía cinética se expresa como:

donde $\gamma$ es el factor de Lorentz, $m_e$ es la masa en reposo del electrón y $c$ es la velocidad de la luz en el vacío. Despejamos el factor de Lorentz $\gamma$:

Primero calculamos la energía en reposo del electrón, $m_e c^2$:

Ahora sustituimos $E_k$ (en Joules) y $m_e c^2$ para encontrar $\gamma$:

La relación entre el factor de Lorentz y la velocidad $v$ es:

Despejamos la velocidad $v$:

Sustituyendo el valor de $\gamma$ y $c$: