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T5: Física moderna
Relatividad y física cuántica
Problema
2022 · Ordinaria · Titular
B5
Examen

Un electrón relativista ha llegado a adquirir una energía cinética equivalente a la energía de un fotón de 5⋅10−12 m5 \cdot 10^{-12} \text{ m} de longitud de onda en el vacío. Calcule:

a) La energía cinética del electrón, en eV.b) La velocidad del electrón.

Datos: Valor absoluto de la carga del electrón, e=1,6⋅10−19 Ce = 1,6 \cdot 10^{-19} \text{ C}; Constante de Planck, h=6,63⋅10−34 J⋅sh = 6,63 \cdot 10^{-34} \text{ J} \cdot \text{s}; Velocidad de la luz en el vacío, c=3⋅108 m⋅s−1c = 3 \cdot 10^8 \text{ m} \cdot \text{s}^{-1}; Masa del electrón en reposo, me=9,1⋅10−31 kgm_e = 9,1 \cdot 10^{-31} \text{ kg}.

Energía cinética relativistaFotónLongitud de onda
a) La energía cinética del electrón, en eV.

La energía cinética del electrón es equivalente a la energía de un fotón de longitud de onda λ\lambda. La energía de un fotón se calcula mediante la relación de Planck-Einstein:

Efotoˊn=hν=hcλE_{\text{fotón}} = h \nu = \frac{hc}{\lambda}

Sustituyendo los valores dados:

Efotoˊn=(6,63⋅10−34 J⋅s)⋅(3⋅108 m⋅s−1)5⋅10−12 mEfotoˊn=1,989⋅10−25 J⋅m5⋅10−12 mEfotoˊn=3,978⋅10−14 JE_{\text{fotón}} = \frac{(6,63 \cdot 10^{-34} \text{ J} \cdot \text{s}) \cdot (3 \cdot 10^8 \text{ m} \cdot \text{s}^{-1})}{5 \cdot 10^{-12} \text{ m}} \\ E_{\text{fotón}} = \frac{1,989 \cdot 10^{-25} \text{ J} \cdot \text{m}}{5 \cdot 10^{-12} \text{ m}} \\ E_{\text{fotón}} = 3,978 \cdot 10^{-14} \text{ J}

Esta es la energía cinética del electrón en Joules. Para expresarla en electronvoltios (eV), utilizamos la equivalencia 1 eV=1,6⋅10−19 J1 \text{ eV} = 1,6 \cdot 10^{-19} \text{ J}:

Ek=3,978⋅10−14 J1,6⋅10−19 J/eVEk=248625 eV≈2,49⋅105 eVE_k = \frac{3,978 \cdot 10^{-14} \text{ J}}{1,6 \cdot 10^{-19} \text{ J/eV}} \\ E_k = 248625 \text{ eV} \approx 2,49 \cdot 10^5 \text{ eV}
b) La velocidad del electrón.

Dado que el electrón es relativista, su energía cinética se expresa como:

Ek=(γ−1)mec2E_k = (\gamma - 1) m_e c^2

donde γ\gamma es el factor de Lorentz, mem_e es la masa en reposo del electrón y cc es la velocidad de la luz en el vacío. Despejamos el factor de Lorentz γ\gamma:

γ−1=Ekmec2γ=1+Ekmec2\gamma - 1 = \frac{E_k}{m_e c^2} \\ \gamma = 1 + \frac{E_k}{m_e c^2}

Primero calculamos la energía en reposo del electrón, mec2m_e c^2:

mec2=(9,1⋅10−31 kg)⋅(3⋅108 m⋅s−1)2mec2=(9,1⋅10−31)⋅(9⋅1016) Jmec2=8,19⋅10−14 Jm_e c^2 = (9,1 \cdot 10^{-31} \text{ kg}) \cdot (3 \cdot 10^8 \text{ m} \cdot \text{s}^{-1})^2 \\ m_e c^2 = (9,1 \cdot 10^{-31}) \cdot (9 \cdot 10^{16}) \text{ J} \\ m_e c^2 = 8,19 \cdot 10^{-14} \text{ J}

Ahora sustituimos EkE_k (en Joules) y mec2m_e c^2 para encontrar γ\gamma:

γ=1+3,978⋅10−14 J8,19⋅10−14 Jγ=1+0,485714γ=1,485714\gamma = 1 + \frac{3,978 \cdot 10^{-14} \text{ J}}{8,19 \cdot 10^{-14} \text{ J}} \\ \gamma = 1 + 0,485714 \\ \gamma = 1,485714

La relación entre el factor de Lorentz y la velocidad vv es:

γ=11−v2c2\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}

Despejamos la velocidad vv:

1γ2=1−v2c2v2c2=1−1γ2v=c1−1γ2\frac{1}{\gamma^2} = 1 - \frac{v^2}{c^2} \\ \frac{v^2}{c^2} = 1 - \frac{1}{\gamma^2} \\ v = c \sqrt{1 - \frac{1}{\gamma^2}}

Sustituyendo el valor de γ\gamma y cc:

v=(3⋅108 m⋅s−1)1−1(1,485714)2v=(3⋅108 m⋅s−1)1−12,207357v=(3⋅108 m⋅s−1)1−0,452930v=(3⋅108 m⋅s−1)0,547070v=(3⋅108 m⋅s−1)⋅0,739642v=2,2189⋅108 m⋅s−1≈2,22⋅108 m⋅s−1v = (3 \cdot 10^8 \text{ m} \cdot \text{s}^{-1}) \sqrt{1 - \frac{1}{(1,485714)^2}} \\ v = (3 \cdot 10^8 \text{ m} \cdot \text{s}^{-1}) \sqrt{1 - \frac{1}{2,207357}} \\ v = (3 \cdot 10^8 \text{ m} \cdot \text{s}^{-1}) \sqrt{1 - 0,452930} \\ v = (3 \cdot 10^8 \text{ m} \cdot \text{s}^{-1}) \sqrt{0,547070} \\ v = (3 \cdot 10^8 \text{ m} \cdot \text{s}^{-1}) \cdot 0,739642 \\ v = 2,2189 \cdot 10^8 \text{ m} \cdot \text{s}^{-1} \approx 2,22 \cdot 10^8 \text{ m} \cdot \text{s}^{-1}