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T5: Física moderna
Relatividad
Problema
2022 · Extraordinaria · Titular
A5
Examen

En el acelerador de partículas del CERN se tiene un protón moviéndose con una velocidad un 90%90 \% de la velocidad de la luz, siendo su masa relativista de 3,83⋅10−27 kg3,83 \cdot 10^{-27} \text{ kg}. Determine:

a) La masa en reposo del protón.b) La energía cinética que posee el protón, expresada en eV\text{eV}.

Datos: Velocidad de la luz en el vacío, c=3⋅108 m⋅s−1c = 3 \cdot 10^8 \text{ m} \cdot \text{s}^{-1}; Valor absoluto de la carga del electrón, e=1,6⋅10−19 Ce = 1,6 \cdot 10^{-19} \text{ C}.

Masa relativistaEnergía cinéticaCinemática relativista
a) Para determinar la masa en reposo del protón, utilizaremos la fórmula de la masa relativista:
m=m01−v2c2m = \frac{m_0}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}

Donde mm es la masa relativista, m0m_0 es la masa en reposo, vv es la velocidad de la partícula y cc es la velocidad de la luz en el vacío. Despejamos m0m_0:

m0=m⋅1−v2c2m_0 = m \cdot \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}

Dado que la velocidad del protón es v=0,90cv = 0,90c, podemos sustituir este valor en la ecuación:

m_0 = (3,83 \cdot 10^{-27} \text{ kg}) \cdot \sqrt{1 - \frac{(0,90c)^2}{c^2}}
m0=(3,83⋅10−27 kg)⋅1−0,902m_0 = (3,83 \cdot 10^{-27} \text{ kg}) \cdot \sqrt{1 - 0,90^2}
m0=(3,83⋅10−27 kg)⋅1−0,81m_0 = (3,83 \cdot 10^{-27} \text{ kg}) \cdot \sqrt{1 - 0,81}
m0=(3,83⋅10−27 kg)⋅0,19m_0 = (3,83 \cdot 10^{-27} \text{ kg}) \cdot \sqrt{0,19}
m0=(3,83⋅10−27 kg)⋅0,43588989m_0 = (3,83 \cdot 10^{-27} \text{ kg}) \cdot 0,43588989
m0≈1,67⋅10−27 kgm_0 \approx 1,67 \cdot 10^{-27} \text{ kg}
b) La energía cinética relativista de una partícula se define como la diferencia entre su energía total y su energía en reposo:
Ek=E−E0=mc2−m0c2=(m−m0)c2E_k = E - E_0 = mc^2 - m_0c^2 = (m - m_0)c^2

Sustituimos los valores de la masa relativista (mm), la masa en reposo (m0m_0) calculada en el apartado anterior y la velocidad de la luz (cc):

Ek=(3,83⋅10−27 kg−1,67⋅10−27 kg)⋅(3⋅108 m⋅s−1)2E_k = (3,83 \cdot 10^{-27} \text{ kg} - 1,67 \cdot 10^{-27} \text{ kg}) \cdot (3 \cdot 10^8 \text{ m} \cdot \text{s}^{-1})^2
Ek=(2,16⋅10−27 kg)⋅(9⋅1016 m2⋅s−2)E_k = (2,16 \cdot 10^{-27} \text{ kg}) \cdot (9 \cdot 10^{16} \text{ m}^2 \cdot \text{s}^{-2})
Ek=19,44⋅10−11 J=1,944⋅10−10 JE_k = 19,44 \cdot 10^{-11} \text{ J} = 1,944 \cdot 10^{-10} \text{ J}

Ahora, convertimos la energía cinética de julios (J\text{J}) a electronvoltios (eV\text{eV}), utilizando el valor absoluto de la carga del electrón e=1,6⋅10−19 Ce = 1,6 \cdot 10^{-19} \text{ C} (que es equivalente a 1 eV=1,6⋅10−19 J1 \text{ eV} = 1,6 \cdot 10^{-19} \text{ J}):

Ek=1,944⋅10−10 J1,6⋅10−19 J/eVE_k = \frac{1,944 \cdot 10^{-10} \text{ J}}{1,6 \cdot 10^{-19} \text{ J/eV}}
Ek≈1,22⋅109 eVE_k \approx 1,22 \cdot 10^9 \text{ eV}