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T5: Física moderna
Física cuántica
Problema
2023 · Ordinaria · Suplente
A5
Examen

Una célula fotoeléctrica de magnesio, cuya longitud de onda umbral es de 339 nm339 \text{ nm}, se ilumina con un haz de luz de frecuencia 1,0⋅1015 Hz1,0 \cdot 10^{15} \text{ Hz}.

a) Calcule la energía cinética máxima de los electrones emitidos expresada en eV\text{eV}.b) A continuación, la célula se ilumina con un haz de luz de frecuencia desconocida, de manera que los electrones emitidos con la energía cinética máxima tienen una longitud de onda de de Broglie de 0,87 nm0,87 \text{ nm}. Halle la frecuencia de este segundo haz de luz.

Datos: Velocidad de la luz en el vacío, c=3⋅108 m⋅s−1c = 3 \cdot 10^{8} \text{ m} \cdot \text{s}^{-1}; Valor absoluto de la carga del electrón, e=1,6⋅10−19 Ce = 1,6 \cdot 10^{-19} \text{ C}; Constante de Planck, h=6,63⋅10−34 J⋅sh = 6,63 \cdot 10^{-34} \text{ J} \cdot \text{s}; Masa del electrón, m=9,1⋅10−31 kgm = 9,1 \cdot 10^{-31} \text{ kg}.

Efecto fotoeléctricoHipótesis de de BroglieDuality
a) Calcule la energía cinética máxima de los electrones emitidos expresada en eV\text{eV}.

Primero, calculamos la función de trabajo (energía umbral) W0W_0 a partir de la longitud de onda umbral λ0\lambda_0.

W0=hν0=hcλ0W_0 = h\nu_0 = h\frac{c}{\lambda_0}
W0=(6,63⋅10−34 J⋅s)3⋅108 m⋅s−1339⋅10−9 mW_0 = (6,63 \cdot 10^{-34} \text{ J} \cdot \text{s}) \frac{3 \cdot 10^{8} \text{ m} \cdot \text{s}^{-1}}{339 \cdot 10^{-9} \text{ m}}
W0=5,867⋅10−19 JW_0 = 5,867 \cdot 10^{-19} \text{ J}

A continuación, calculamos la energía de los fotones incidentes del primer haz de luz con frecuencia ν1\nu_1.

Efotoˊn=hν1E_{fotón} = h\nu_1
Efotoˊn=(6,63⋅10−34 J⋅s)(1,0⋅1015 Hz)E_{fotón} = (6,63 \cdot 10^{-34} \text{ J} \cdot \text{s}) (1,0 \cdot 10^{15} \text{ Hz})
Efotoˊn=6,63⋅10−19 JE_{fotón} = 6,63 \cdot 10^{-19} \text{ J}

Aplicamos la ecuación del efecto fotoeléctrico para calcular la energía cinética máxima de los electrones emitidos.

Ec,max=Efotoˊn−W0E_{c,max} = E_{fotón} - W_0
Ec,max=6,63⋅10−19 J−5,867⋅10−19 JE_{c,max} = 6,63 \cdot 10^{-19} \text{ J} - 5,867 \cdot 10^{-19} \text{ J}
Ec,max=7,63⋅10−20 JE_{c,max} = 7,63 \cdot 10^{-20} \text{ J}

Finalmente, convertimos la energía cinética máxima a electronVolts (eV\text{eV}). Utilizamos el factor de conversión 1 eV=1,6⋅10−19 J1 \text{ eV} = 1,6 \cdot 10^{-19} \text{ J}.

Ec,max=7,63⋅10−20 J⋅(1 eV1,6⋅10−19 J)E_{c,max} = 7,63 \cdot 10^{-20} \text{ J} \cdot \left(\frac{1 \text{ eV}}{1,6 \cdot 10^{-19} \text{ J}}\right)
Ec,max≈0,477 eVE_{c,max} \approx 0,477 \text{ eV}
b) Halle la frecuencia de este segundo haz de luz.

La longitud de onda de de Broglie de los electrones emitidos es λdB=0,87 nm\lambda_{dB} = 0,87 \text{ nm}. Usamos la relación de de Broglie para calcular la velocidad vv de los electrones.

λdB=hmv\lambda_{dB} = \frac{h}{mv}
v=hmλdBv = \frac{h}{m\lambda_{dB}}
v=6,63⋅10−34 J⋅s(9,1⋅10−31 kg)(0,87⋅10−9 m)v = \frac{6,63 \cdot 10^{-34} \text{ J} \cdot \text{s}}{(9,1 \cdot 10^{-31} \text{ kg}) (0,87 \cdot 10^{-9} \text{ m})}
v=835260 m⋅s−1v = 835260 \text{ m} \cdot \text{s}^{-1}

Con la velocidad de los electrones, calculamos su energía cinética máxima en este segundo caso (Ec,max,2E_{c,max,2}). Para simplificar, mantendré W0W_0 en Joules.

Ec,max,2=12mv2E_{c,max,2} = \frac{1}{2}mv^2
Ec,max,2=12(9,1⋅10−31 kg)(835260 m⋅s−1)2E_{c,max,2} = \frac{1}{2}(9,1 \cdot 10^{-31} \text{ kg})(835260 \text{ m} \cdot \text{s}^{-1})^2
Ec,max,2=3,176⋅10−19 JE_{c,max,2} = 3,176 \cdot 10^{-19} \text{ J}

Ahora aplicamos nuevamente la ecuación del efecto fotoeléctrico para la segunda iluminación para hallar la frecuencia ν2\nu_2.

Ec,max,2=hν2−W0E_{c,max,2} = h\nu_2 - W_0
ν2=Ec,max,2+W0h\nu_2 = \frac{E_{c,max,2} + W_0}{h}
ν2=3,176⋅10−19 J+5,867⋅10−19 J6,63⋅10−34 J⋅s\nu_2 = \frac{3,176 \cdot 10^{-19} \text{ J} + 5,867 \cdot 10^{-19} \text{ J}}{6,63 \cdot 10^{-34} \text{ J} \cdot \text{s}}
ν2=9,043⋅10−19 J6,63⋅10−34 J⋅s\nu_2 = \frac{9,043 \cdot 10^{-19} \text{ J}}{6,63 \cdot 10^{-34} \text{ J} \cdot \text{s}}
ν2≈1,364⋅1015 Hz\nu_2 \approx 1,364 \cdot 10^{15} \text{ Hz}