T3: Vibraciones y ondas

Ondas armónicas

Problema

2025 · Ordinaria · Titular

Por una cuerda tensa dispuesta a lo largo del eje $x$ se propaga, a una velocidad de $200 \text{ m s}^{-1}$ en el sentido positivo del eje, una onda armónica de $0,4 \text{ m}$ de longitud de onda. En el instante inicial y en el origen de coordenadas, la elongación es positiva y también lo es la velocidad de oscilación, que equivale a la mitad de su valor máximo. Obtenga:

a) El número de onda y la frecuencia de la onda.b) La fase inicial de la onda.

frecuencianúmero de ondafase inicial+1

a) El número de onda y la frecuencia de la onda.

Para calcular el número de onda ( $k$ ) utilizamos la relación con la longitud de onda ( $\lambda$ ).

k = \frac{2\pi}{\lambda}

k = \frac{2\pi}{0,4\text{ m}} = 5\pi\text{ rad/m} \approx 15,71\text{ rad/m}

Para calcular la frecuencia ( $f$ ), utilizamos la relación fundamental de las ondas que conecta la velocidad de propagación ( $v$ ), la longitud de onda ( $\lambda$ ) y la frecuencia ( $f$ ). También podemos calcular la frecuencia angular ( $\omega$ ) y luego la frecuencia.

v = \lambda f \implies f = \frac{v}{\lambda}

f = \frac{200\text{ m s}^{-1}}{0,4\text{ m}} = 500\text{ Hz}

Alternativamente, podemos calcular la frecuencia angular ( $\omega$ ) primero y luego la frecuencia ( $f$ ):

\omega = v k

\omega = (200\text{ m s}^{-1}) (5\pi\text{ rad/m}) = 1000\pi\text{ rad/s}

\omega = 2\pi f \implies f = \frac{\omega}{2\pi}

f = \frac{1000\pi\text{ rad/s}}{2\pi\text{ rad}} = 500\text{ Hz}

b) La fase inicial de la onda.

La ecuación general de una onda armónica que se propaga en el sentido positivo del eje $x$ es:

y(x,t) = A \sin(kx - \omega t + \phi_0)

La velocidad de oscilación de las partículas de la cuerda se obtiene derivando la elongación respecto al tiempo:

v_y(x,t) = \frac{\partial y}{\partial t} = -A\omega \cos(kx - \omega t + \phi_0)

El valor máximo de la velocidad de oscilación es $v_{y,max} = A\omega$ .En el instante inicial ( $t=0$ ) y en el origen de coordenadas ( $x=0$ ), las condiciones dadas son:

y(0,0) = A \sin(\phi_0) > 0

Esto implica que $\sin(\phi_0) > 0$ , lo que sitúa a $\phi_0$ en el primer o segundo cuadrante.

v_y(0,0) = -A\omega \cos(\phi_0)

Nos dicen que la velocidad de oscilación es positiva y equivale a la mitad de su valor máximo:

v_y(0,0) = \frac{1}{2} v_{y,max} = \frac{1}{2} A\omega

Igualando las expresiones para $v_y(0,0)$ :

-A\omega \cos(\phi_0) = \frac{1}{2} A\omega

Dividiendo por $A\omega$ (que es no nulo):

-\cos(\phi_0) = \frac{1}{2}

\cos(\phi_0) = -\frac{1}{2}

Esta condición implica que $\phi_0$ está en el segundo o tercer cuadrante.Combinando ambas condiciones:1. $\sin(\phi_0) > 0$ (primer o segundo cuadrante)2. $\cos(\phi_0) < 0$ (segundo o tercer cuadrante)Ambas condiciones se cumplen si $\phi_0$ está en el segundo cuadrante.El ángulo cuyo coseno es $-\frac{1}{2}$ en el segundo cuadrante es:

\phi_0 = \frac{2\pi}{3}\text{ rad}