Interacción gravitatoria

El trabajo realizado por una fuerza conservativa, como la fuerza gravitatoria, es igual al negativo del cambio en la energía potencial gravitatoria. También puede expresarse como la diferencia entre la energía potencial inicial y final.

La energía potencial gravitatoria entre dos masas $M_N$ (Neptuno) y $M_H$ (Halimede) separadas por una distancia $r$ viene dada por:

Los radios inicial y final son:

Entonces, el trabajo es:

Sustituyendo los valores:

La energía mecánica total $E_M$ de Halimede se conserva en su órbita y es la suma de su energía cinética $E_c$ y su energía potencial gravitatoria $E_p$.

La velocidad máxima en una órbita elíptica se alcanza en el punto de menor distancia al cuerpo central (periapsis), que en este caso es $r_{min} = 12 \cdot 10^9 \text{ m}$.La energía potencial en el punto de mínima distancia es:

Ahora, usamos la conservación de la energía mecánica para encontrar la velocidad máxima $v_{max}$:

Primero, calculamos el radio de la órbita del satélite con respecto al centro de la Tierra, sumando el radio terrestre y la altura a la que se encuentra:

Sustituyendo los valores dados:

Sustituimos los valores conocidos:

Expresando la velocidad en $\text{km} \cdot \text{s}^{-1}$:

La velocidad del satélite detectado es $v = 9,92 \text{ km} \cdot \text{s}^{-1}$. Al comparar esta velocidad con la velocidad circular a la misma altura, observamos que $v > v_c$ ($9,92 \text{ km} \cdot \text{s}^{-1} > 7,54 \text{ km} \cdot \text{s}^{-1}$). Además, la velocidad de escape a esta altura es $v_e = \sqrt{2} v_c \approx \sqrt{2} \cdot 7,54 \text{ km} \cdot \text{s}^{-1} \approx 10,66 \text{ km} \cdot \text{s}^{-1}$. Dado que la velocidad del satélite está entre la velocidad circular y la velocidad de escape ($v_c < v < v_e$), y se especifica que es una órbita cerrada, la órbita del satélite es elíptica. El hecho de que la velocidad sea perpendicular a la dirección radial en ese instante significa que el satélite se encuentra en el periapsis (punto más cercano a la Tierra), ya que en ese punto la velocidad es máxima.

El módulo del momento angular ($L$) se calcula como el producto de la masa del satélite, su velocidad tangencial y la distancia al centro de giro. Dado que la velocidad es perpendicular a la dirección radial, toda la velocidad es tangencial:

Sustituyendo los valores:

El módulo de la aceleración ($a$) del satélite en ese instante es la aceleración gravitatoria que experimenta debido a la Tierra:

Sustituyendo los valores:

Primero, convertimos todos los datos a unidades del Sistema Internacional (SI):

La constante $G M_T$ es útil para simplificar cálculos:

Representamos el esquema de un satélite en órbita:

La distancia del apogeo al centro de la Tierra ($r_a$) es la suma del radio terrestre y la altura del apogeo:

Según la Tercera Ley de Kepler, el semi-eje mayor de la órbita ($a$) se relaciona con el periodo ($T$) mediante la expresión:

Despejamos $a$ y sustituimos los valores:

Para una órbita elíptica, la suma de las distancias al apogeo ($r_a$) y al perigeo ($r_p$) es igual a dos veces el semi-eje mayor ($2a$):

Sustituyendo los valores:

La altura sobre la superficie terrestre en el perigeo ($h_p$) es la diferencia entre el radio del perigeo y el radio terrestre:

Para determinar la relación entre las velocidades en el perigeo y el apogeo ($v_p/v_a$), utilizamos la conservación del momento angular. El momento angular ($L = mvr$) es constante en una órbita kepleriana:

Sustituyendo los valores de $r_a$ y $r_p$:

La velocidad del satélite en el perigeo ($v_p$) se puede calcular usando la ecuación de Vis-Viva para órbitas elípticas:

Para el perigeo ($r=r_p$):

Sustituyendo los valores:

Para que el satélite pase a una órbita circular con un radio igual a la distancia del perigeo ($r_c = r_p$), su velocidad ($v_c$) debe ser la velocidad orbital circular para ese radio. Esta velocidad se obtiene igualando la fuerza gravitatoria a la fuerza centrípeta:

Sustituyendo $r_c = r_p = 7,0946 \cdot 10^6 \text{ m}$:

Por lo tanto, la velocidad a la que habría que reducir el satélite para que entre en una órbita circular de radio igual al perigeo es de $7491 \text{ m/s}$.

Para el primer planeta, que sigue una órbita circular, la fuerza gravitatoria entre la estrella y el planeta proporciona la fuerza centrípeta necesaria para mantenerlo en órbita. Podemos igualar estas fuerzas para encontrar la masa de la estrella.

La velocidad orbital $v_1$ en una órbita circular se relaciona con el radio $R_1$ y el período $T_1$ como $v_1 = \frac{2 \pi R_1}{T_1}$. Sustituyendo esta expresión en la ecuación anterior:

Antes de sustituir los valores, convertimos el período $T_1$ a segundos:

Ahora, calculamos la masa de la estrella $M_S$:

Para el segundo planeta, que sigue una órbita elíptica, el semi-eje mayor $a_2$ se calcula como la mitad de la suma de la distancia más próxima ($r_p$) y la más lejana ($r_a$) a la estrella.

Aplicamos la Tercera Ley de Kepler, que establece que el cociente entre el cuadrado del período orbital y el cubo del semi-eje mayor es constante para todos los cuerpos que orbitan la misma estrella:

Calculamos el período $T_2$ del segundo planeta:

La velocidad orbital del primer planeta se puede calcular directamente con el radio de su órbita y su período:

Sustituyendo los valores:

La energía mecánica de un planeta en una órbita circular se define como:

Conocemos la energía mecánica del primer planeta ($E_{M1}$), la constante de gravitación $G$, la masa de la estrella $M_S$ (calculada en el apartado a), y el radio de la órbita $R_1$. Despejamos la masa del planeta $m$:

Sustituyendo los valores:

Dado que ambos planetas tienen masas iguales, la masa de los planetas es $m \approx 1,20 \cdot 10^{23} \text{ kg}$.

El trabajo realizado por una fuerza conservativa, como la fuerza gravitatoria, es igual al negativo del cambio de energía potencial gravitatoria, o lo que es lo mismo, el cambio de energía potencial desde la posición inicial a la final.

La energía potencial gravitatoria entre dos masas $M_N$ y $M_H$ separadas una distancia $r$ viene dada por:

Datos proporcionados:

Las distancias de la órbita son:

Calculamos las energías potenciales gravitatorias en el punto inicial ($r_i$) y en el punto final ($r_f$):

El trabajo realizado por la fuerza gravitatoria es:

La energía mecánica de un satélite en órbita es la suma de su energía cinética y su energía potencial gravitatoria:

La velocidad máxima en una órbita elíptica se alcanza en el punto de mayor proximidad al cuerpo central (periápside). Para Halimede y Neptuno, esta es la distancia $r_{min} = 12 \cdot 10^9 \text{ m}$.Tenemos los siguientes datos adicionales:

Podemos despejar la velocidad máxima $v_{max}$ de la ecuación de la energía mecánica:

Primero calculamos la energía potencial en el punto de mínima distancia $r_{min}$ (que coincide con $U_i$ del apartado a):

Ahora, sustituimos este valor en la ecuación de la energía mecánica para encontrar la energía cinética máxima:

Finalmente, calculamos la velocidad máxima utilizando la energía cinética máxima:

Los datos proporcionados son:

El radio de la órbita ($r$) se calcula sumando el radio de la Tierra y la altura del satélite:

Sustituyendo los valores numéricos:

Comparamos la velocidad del satélite detectada ($v = 9,92 \text{ km/s}$) con la velocidad para una órbita circular a esa altura ($v_c = 7,54 \text{ km/s}$). Se observa que $v > v_c$.Dado que la velocidad del satélite es perpendicular a la dirección radial en el instante dado, este punto de la órbita es un ápside (perigeo o apogeo). Si la velocidad del satélite ($v$) es mayor que la velocidad requerida para una órbita circular ($v_c$) a esa distancia, la órbita debe ser elíptica, y el punto detectado corresponde al perigeo (punto más cercano a la Tierra) de la elipse. Si $v < v_c$, sería el apogeo. Por lo tanto, la órbita es elíptica.

El módulo del momento angular ($\vec{L}$) de una partícula se define como el producto vectorial del vector de posición ($\vec{r}$) y el momento lineal ($\vec{p} = m\vec{v}$). Como la velocidad del satélite es perpendicular a la dirección radial en el instante dado ($\theta = 90^\circ$), el módulo se simplifica a:

Sustituyendo los valores numéricos:

La aceleración del satélite en ese instante es la aceleración gravitatoria debido a la Tierra.

Sustituyendo los valores numéricos:

Primero, convertimos las unidades dadas al Sistema Internacional:

Calculamos el radio de la órbita en el apogeo, que es la distancia desde el centro de la Tierra al satélite:

Para determinar la altura en el perigeo, necesitamos encontrar el semieje mayor ($a$) de la órbita elíptica. Utilizamos la Tercera Ley de Kepler:

Despejamos $a$:

Sustituimos los valores:

En una órbita elíptica, la relación entre el semieje mayor, el radio del apogeo ($r_a$) y el radio del perigeo ($r_p$) es $2a = r_a + r_p$. Despejamos $r_p$:

La altura sobre la superficie terrestre en el perigeo ($h_p$) se calcula como:

Para la relación entre las velocidades en el perigeo ($v_p$) y en el apogeo ($v_a$), aplicamos la conservación del momento angular. Dado que en estos puntos la velocidad es perpendicular al radiovector, la magnitud del momento angular es $L = mrv$:

Despejamos la relación $v_p/v_a$:

La velocidad del satélite en cualquier punto de una órbita elíptica se puede calcular con la siguiente fórmula, donde $r$ es la distancia desde el centro de fuerzas y $a$ es el semieje mayor:

Para la velocidad en el perigeo ($v_p$), donde $r = r_p$:

Calculamos $G M_T = (6,67 \cdot 10^{-11} \text{ N} \cdot \text{m}^2 / \text{kg}^2) \cdot (5,97 \cdot 10^{24} \text{ kg}) = 3,982 \cdot 10^{14} \text{ m}^3 / \text{s}^2$.

Para que el satélite pase a una órbita circular de radio igual a la distancia al perigeo ($r_p$), su velocidad debe ser la velocidad orbital circular ($v_{c,p}$) para ese radio: