T1: Interacción gravitatoria

Órbitas elípticas

Problema

2025 · Extraordinaria · Titular

Un satélite de comunicaciones orbita alrededor de la Tierra en una trayectoria elíptica cuyo apogeo se encuentra a $39700 \text{ km}$ de altitud sobre la superficie de la Tierra. Si el satélite da una vuelta completa cada $12 \text{ h}$ , determine:

a) La altura sobre la superficie terrestre a la que se encontrará el satélite en el perigeo de su trayectoria y la relación entre sus velocidades en el perigeo y en el apogeo (

v_p/v_a

).b) La velocidad del satélite en el perigeo y la velocidad hasta la que habría que reducir al satélite para que pasase de una órbita elíptica a una órbita circular de radio igual a la distancia al perigeo.

Datos: Constante de Gravitación Universal, $G = 6,67 \cdot 10^{-11} \text{ N} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{kg}^{-2}$ ; Masa de la Tierra, $M_T = 5,97 \cdot 10^{24} \text{ kg}$ ; Radio de la Tierra, $R_T = 6,37 \cdot 10^6 \text{ m}$ .

GravitaciónÓrbitasLeyes de Kepler

a) La altura sobre la superficie terrestre a la que se encontrará el satélite en el perigeo de su trayectoria y la relación entre sus velocidades en el perigeo y en el apogeo (

v_p/v_a

Primero, convertimos todos los datos a unidades del Sistema Internacional (SI):

R_T = 6,37 \cdot 10^6 \text{ m}

h_a = 39700 \text{ km} = 39700 \cdot 10^3 \text{ m} = 3,97 \cdot 10^7 \text{ m}

T = 12 \text{ h} = 12 \cdot 3600 \text{ s} = 43200 \text{ s}

G = 6,67 \cdot 10^{-11} \text{ N} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{kg}^{-2}

M_T = 5,97 \cdot 10^{24} \text{ kg}

La constante $G M_T$ es útil para simplificar cálculos:

G M_T = (6,67 \cdot 10^{-11} \text{ N} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{kg}^{-2})(5,97 \cdot 10^{24} \text{ kg}) = 3,98139 \cdot 10^{14} \text{ m}^3 \cdot \text{s}^{-2}

Representamos el esquema de un satélite en órbita:

La distancia del apogeo al centro de la Tierra ( $r_a$ ) es la suma del radio terrestre y la altura del apogeo:

r_a = R_T + h_a = 6,37 \cdot 10^6 \text{ m} + 3,97 \cdot 10^7 \text{ m} = 4,607 \cdot 10^7 \text{ m}

Según la Tercera Ley de Kepler, el semi-eje mayor de la órbita ( $a$ ) se relaciona con el periodo ( $T$ ) mediante la expresión:

T^2 = \frac{4\pi^2}{G M_T} a^3

Despejamos $a$ y sustituimos los valores:

a^3 = \frac{G M_T T^2}{4\pi^2} = \frac{(3,98139 \cdot 10^{14} \text{ m}^3 \cdot \text{s}^{-2})(43200 \text{ s})^2}{4\pi^2}

a^3 = \frac{(3,98139 \cdot 10^{14})(1,86624 \cdot 10^9)}{39,4784176} \approx 1,88219 \cdot 10^{22} \text{ m}^3

a = (1,88219 \cdot 10^{22})^{1/3} \text{ m} \approx 2,65823 \cdot 10^7 \text{ m}

Para una órbita elíptica, la suma de las distancias al apogeo ( $r_a$ ) y al perigeo ( $r_p$ ) es igual a dos veces el semi-eje mayor ( $2a$ ):

2a = r_a + r_p \Rightarrow r_p = 2a - r_a

Sustituyendo los valores:

r_p = 2(2,65823 \cdot 10^7 \text{ m}) - 4,607 \cdot 10^7 \text{ m}

r_p = 5,31646 \cdot 10^7 \text{ m} - 4,607 \cdot 10^7 \text{ m} = 0,70946 \cdot 10^7 \text{ m} = 7,0946 \cdot 10^6 \text{ m}

La altura sobre la superficie terrestre en el perigeo ( $h_p$ ) es la diferencia entre el radio del perigeo y el radio terrestre:

h_p = r_p - R_T = 7,0946 \cdot 10^6 \text{ m} - 6,37 \cdot 10^6 \text{ m} = 0,7246 \cdot 10^6 \text{ m} = 724,6 \text{ km} \approx 725 \text{ km}

Para determinar la relación entre las velocidades en el perigeo y el apogeo ( $v_p/v_a$ ), utilizamos la conservación del momento angular. El momento angular ( $L = mvr$ ) es constante en una órbita kepleriana:

L_p = L_a \Rightarrow m v_p r_p = m v_a r_a

\frac{v_p}{v_a} = \frac{r_a}{r_p}

Sustituyendo los valores de $r_a$ y $r_p$ :

\frac{v_p}{v_a} = \frac{4,607 \cdot 10^7 \text{ m}}{7,0946 \cdot 10^6 \text{ m}} \approx 6,494

b) La velocidad del satélite en el perigeo y la velocidad hasta la que habría que reducir al satélite para que pasase de una órbita elíptica a una órbita circular de radio igual a la distancia al perigeo.

La velocidad del satélite en el perigeo ( $v_p$ ) se puede calcular usando la ecuación de Vis-Viva para órbitas elípticas:

v^2 = G M_T \left( \frac{2}{r} - \frac{1}{a} \right)

Para el perigeo ( $r=r_p$ ):

v_p^2 = G M_T \left( \frac{2}{r_p} - \frac{1}{a} \right)

Sustituyendo los valores:

v_p^2 = (3,98139 \cdot 10^{14} \text{ m}^3 \cdot \text{s}^{-2}) \left( \frac{2}{7,0946 \cdot 10^6 \text{ m}} - \frac{1}{2,65823 \cdot 10^7 \text{ m}} \right)

v_p^2 = (3,98139 \cdot 10^{14}) \left( (2,8190 \cdot 10^{-7}) - (3,7619 \cdot 10^{-8}) \right) \text{ m}^2 \cdot \text{s}^{-2}

v_p^2 = (3,98139 \cdot 10^{14}) (2,44281 \cdot 10^{-7}) \text{ m}^2 \cdot \text{s}^{-2} \approx 9,7259 \cdot 10^7 \text{ m}^2 \cdot \text{s}^{-2}

v_p = \sqrt{9,7259 \cdot 10^7 \text{ m}^2 \cdot \text{s}^{-2}} \approx 9862 \text{ m/s}

Para que el satélite pase a una órbita circular con un radio igual a la distancia del perigeo ( $r_c = r_p$ ), su velocidad ( $v_c$ ) debe ser la velocidad orbital circular para ese radio. Esta velocidad se obtiene igualando la fuerza gravitatoria a la fuerza centrípeta:

\frac{G M_T m}{r_c^2} = \frac{m v_c^2}{r_c} \Rightarrow v_c = \sqrt{\frac{G M_T}{r_c}}

Sustituyendo $r_c = r_p = 7,0946 \cdot 10^6 \text{ m}$ :

v_c = \sqrt{\frac{3,98139 \cdot 10^{14} \text{ m}^3 \cdot \text{s}^{-2}}{7,0946 \cdot 10^6 \text{ m}}}

v_c = \sqrt{5,6119 \cdot 10^7 \text{ m}^2 \cdot \text{s}^{-2}} \approx 7491 \text{ m/s}

Por lo tanto, la velocidad a la que habría que reducir el satélite para que entre en una órbita circular de radio igual al perigeo es de $7491 \text{ m/s}$ .