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T1: Interacción gravitatoria
Campo gravitatorio
Problema
2023 · Extraordinaria · Titular
B1
Examen

En su aproximación al planeta Fomalhaut II, el astronauta Rocannon avista Fomalhautillo, satélite natural de Fomalhaut II, según un ángulo α=53,13∘\alpha = 53,13^{\circ} con respecto de la radial hacia el planeta (eje yy). La fuerza total que estos dos cuerpos ejercen sobre Rocannon y su nave, cuya masa conjunta asciende a 8000 kg8000 \text{ kg}, vale en ese momento F⃗=(9,5i⃗−66,4j⃗) N\vec{F} = (9,5 \vec{i} - 66,4 \vec{j}) \text{ N}.

Imagen del ejercicio
a) ¿A qué distancia R′R' se encuentra Rocannon del satélite?b) ¿A qué distancia RR se encuentra Rocannon del planeta?

Datos: Masa del planeta, M=4⋅1023 kgM = 4 \cdot 10^{23} \text{ kg}; Masa del satélite, M′=2⋅1020 kgM' = 2 \cdot 10^{20} \text{ kg}; Constante de Gravitación Universal, G=6,67⋅10−11 N⋅m2⋅kg−2G = 6,67 \cdot 10^{-11} \text{ N} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{kg}^{-2}.

fuerza gravitatoriavectoressuperposición

La fuerza gravitatoria es una fuerza atractiva. Considerando el origen de coordenadas en la nave de Rocannon (masa mm), las fuerzas ejercidas por el planeta (masa MM) y el satélite (masa M′M') se pueden expresar vectorialmente.Según el diagrama, el planeta se encuentra en la dirección −j⃗-\vec{j} a una distancia RR, y el satélite se encuentra en el primer cuadrante. El ángulo α\alpha se mide desde el eje yy positivo hacia el eje xx positivo. Por lo tanto, las coordenadas del satélite respecto a Rocannon son (R′sin⁡α,R′cos⁡α)(R' \sin \alpha, R' \cos \alpha).La fuerza que el planeta ejerce sobre Rocannon es puramente atractiva y hacia abajo:

F⃗P=−GMmR2j⃗\vec{F}_P = -G \frac{M m}{R^2} \vec{j}

La fuerza que el satélite ejerce sobre Rocannon es atractiva y apunta hacia la posición del satélite:

F⃗S=GM′m(R′)2(sin⁡αi⃗+cos⁡αj⃗)\vec{F}_S = G \frac{M' m}{(R')^2} (\sin \alpha \vec{i} + \cos \alpha \vec{j})

La fuerza total sobre Rocannon es la suma vectorial de estas dos fuerzas:

F⃗=F⃗S+F⃗P=(GM′m(R′)2sin⁡α)i⃗+(GM′m(R′)2cos⁡α−GMmR2)j⃗\vec{F} = \vec{F}_S + \vec{F}_P = \left( G \frac{M' m}{(R')^2} \sin \alpha \right) \vec{i} + \left( G \frac{M' m}{(R')^2} \cos \alpha - G \frac{M m}{R^2} \right) \vec{j}

Se nos da que la fuerza total es F⃗=(9,5i⃗−66,4j⃗) N\vec{F} = (9,5 \vec{i} - 66,4 \vec{j}) \text{ N}. Igualando las componentes, obtenemos:

Fx=GM′m(R′)2sin⁡α=9,5 NF_x = G \frac{M' m}{(R')^2} \sin \alpha = 9,5 \text{ N}
Fy=GM′m(R′)2cos⁡α−GMmR2=−66,4 NF_y = G \frac{M' m}{(R')^2} \cos \alpha - G \frac{M m}{R^2} = -66,4 \text{ N}
a) ¿A qué distancia R′R' se encuentra Rocannon del satélite?

Usamos la componente FxF_x de la fuerza total:

9,5=GM′m(R′)2sin⁡α9,5 = G \frac{M' m}{(R')^2} \sin \alpha

Despejamos (R′)2(R')^2:

(R′)2=GM′msin⁡α9,5(R')^2 = \frac{G M' m \sin \alpha}{9,5}

Sustituimos los valores numéricos:

R' = \sqrt{\frac{(6,67 \cdot 10^{-11} \text{ N} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{kg}^{-2}) \cdot (2 \cdot 10^{20} \text{ kg}) \cdot (8000 \text{ kg}) \cdot \sin(53,13^\circ)}{9,5 \text{ N}}}

Sabemos que sin⁡(53,13∘)≈0,8\sin(53,13^\circ) \approx 0,8. Realizando el cálculo:

R′=(6,67⋅10−11)⋅(2⋅1020)⋅8000⋅0,89,5 mR' = \sqrt{\frac{(6,67 \cdot 10^{-11}) \cdot (2 \cdot 10^{20}) \cdot 8000 \cdot 0,8}{9,5}} \text{ m}
R′=1,0672⋅10119,5 mR' = \sqrt{\frac{1,0672 \cdot 10^{11}}{9,5}} \text{ m}
R′=1,1233684⋅1010 mR' = \sqrt{1,1233684 \cdot 10^{10}} \text{ m}
R′≈105990,96 m≈1,06⋅105 mR' \approx 105990,96 \text{ m} \approx 1,06 \cdot 10^5 \text{ m}
b) ¿A qué distancia RR se encuentra Rocannon del planeta?

Usamos la componente FyF_y de la fuerza total:

−66,4=GM′m(R′)2cos⁡α−GMmR2-66,4 = G \frac{M' m}{(R')^2} \cos \alpha - G \frac{M m}{R^2}

Despejamos el término que contiene R2R^2:

GMmR2=66,4+GM′m(R′)2cos⁡αG \frac{M m}{R^2} = 66,4 + G \frac{M' m}{(R')^2} \cos \alpha

Del apartado a), sabemos que GM′m(R′)2sin⁡α=9,5G \frac{M' m}{(R')^2} \sin \alpha = 9,5, por lo que GM′m(R′)2=9,5sin⁡αG \frac{M' m}{(R')^2} = \frac{9,5}{\sin \alpha}. Sustituimos esto en la ecuación:

GMmR2=66,4+(9,5sin⁡α)cos⁡αG \frac{M m}{R^2} = 66,4 + \left( \frac{9,5}{\sin \alpha} \right) \cos \alpha
GMmR2=66,4+9,5cot⁡αG \frac{M m}{R^2} = 66,4 + 9,5 \cot \alpha

Despejamos R2R^2:

R2=GMm66,4+9,5cot⁡αR^2 = \frac{G M m}{66,4 + 9,5 \cot \alpha}

Sustituimos los valores numéricos. Sabemos que cot⁡(53,13∘)≈0,75\cot(53,13^\circ) \approx 0,75:

R=(6,67⋅10−11 N⋅m2⋅kg−2)⋅(4⋅1023 kg)⋅(8000 kg)66,4 N+9,5 N⋅0,75R = \sqrt{\frac{(6,67 \cdot 10^{-11} \text{ N} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{kg}^{-2}) \cdot (4 \cdot 10^{23} \text{ kg}) \cdot (8000 \text{ kg})}{66,4 \text{ N} + 9,5 \text{ N} \cdot 0,75}}
R=2,1344⋅101766,4+7,125 mR = \sqrt{\frac{2,1344 \cdot 10^{17}}{66,4 + 7,125}} \text{ m}
R=2,1344⋅101773,525 mR = \sqrt{\frac{2,1344 \cdot 10^{17}}{73,525}} \text{ m}
R=2,902889⋅1015 mR = \sqrt{2,902889 \cdot 10^{15}} \text{ m}
R≈53878461 m≈5,39⋅107 mR \approx 53878461 \text{ m} \approx 5,39 \cdot 10^7 \text{ m}

La siguiente figura representa el esquema de las fuerzas actuantes y la fuerza resultante.

XYmPlanetamSatéliteRocannong1g2g_neta