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T1: Interacción gravitatoria
Dinámica orbital
Problema
2025 · Ordinaria · Titular
B1
Examen

Un satélite de 200 kg200 \text{ kg} de masa se mueve en una órbita cerrada alrededor de la Tierra. En un determinado instante, es detectado a 630 km630 \text{ km} de altura, moviéndose a 9,92 km s−19,92 \text{ km s}^{-1} con velocidad perpendicular a la dirección radial.

a) Compare la velocidad del satélite con la correspondiente a una órbita circular de la altura dada y del resultado anterior, razone si la órbita es circular o elíptica.b) Calcule los módulos del momento angular y de la aceleración del satélite en el instante señalado.

Datos: Constante de Gravitación Universal, G=6,67⋅10−11 N⋅m2⋅kg−2G = 6,67 \cdot 10^{-11} \text{ N} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{kg}^{-2}; Masa de la Tierra, MT=5,97⋅1024 kgM_T = 5,97 \cdot 10^{24} \text{ kg}; Radio de la Tierra, RT=6,37⋅106 mR_T = 6,37 \cdot 10^6 \text{ m}.

momento angularaceleraciónórbita circular+1
Resolución del Ejercicio de Física

Primero, calculamos el radio de la órbita del satélite con respecto al centro de la Tierra, sumando el radio terrestre y la altura a la que se encuentra:

r=RT+hr = R_T + h

Sustituyendo los valores dados:

r=6,37⋅106 m+630⋅103 m=6,37⋅106 m+0,63⋅106 m=7,00⋅106 mr = 6,37 \cdot 10^6 \text{ m} + 630 \cdot 10^3 \text{ m} = 6,37 \cdot 10^6 \text{ m} + 0,63 \cdot 10^6 \text{ m} = 7,00 \cdot 10^6 \text{ m}
TierraSatéliteFgv
a) Para comparar la velocidad del satélite con la correspondiente a una órbita circular, primero calculamos la velocidad que tendría un satélite en una órbita circular a esa misma altura. En una órbita circular, la fuerza gravitatoria actúa como fuerza centrípeta:
GMTmr2=mvc2r  ⟹  vc=GMTr\frac{G M_T m}{r^2} = \frac{m v_c^2}{r} \implies v_c = \sqrt{\frac{G M_T}{r}}

Sustituimos los valores conocidos:

vc=(6,67⋅10−11 N⋅m2⋅kg−2)⋅(5,97⋅1024 kg)7,00⋅106 mv_c = \sqrt{\frac{(6,67 \cdot 10^{-11} \text{ N} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{kg}^{-2}) \cdot (5,97 \cdot 10^{24} \text{ kg})}{7,00 \cdot 10^6 \text{ m}}}
vc=3,98139⋅10147,00⋅106 m⋅s−1=5,6877⋅107 m⋅s−1≈7541,68 m⋅s−1v_c = \sqrt{\frac{3,98139 \cdot 10^{14}}{7,00 \cdot 10^6}} \text{ m} \cdot \text{s}^{-1} = \sqrt{5,6877 \cdot 10^7} \text{ m} \cdot \text{s}^{-1} \approx 7541,68 \text{ m} \cdot \text{s}^{-1}

Expresando la velocidad en km⋅s−1\text{km} \cdot \text{s}^{-1}:

vc≈7,54 km⋅s−1v_c \approx 7,54 \text{ km} \cdot \text{s}^{-1}

La velocidad del satélite detectado es v=9,92 km⋅s−1v = 9,92 \text{ km} \cdot \text{s}^{-1}. Al comparar esta velocidad con la velocidad circular a la misma altura, observamos que v>vcv > v_c (9,92 km⋅s−1>7,54 km⋅s−19,92 \text{ km} \cdot \text{s}^{-1} > 7,54 \text{ km} \cdot \text{s}^{-1}). Además, la velocidad de escape a esta altura es ve=2vc≈2⋅7,54 km⋅s−1≈10,66 km⋅s−1v_e = \sqrt{2} v_c \approx \sqrt{2} \cdot 7,54 \text{ km} \cdot \text{s}^{-1} \approx 10,66 \text{ km} \cdot \text{s}^{-1}. Dado que la velocidad del satélite está entre la velocidad circular y la velocidad de escape (vc<v<vev_c < v < v_e), y se especifica que es una órbita cerrada, la órbita del satélite es elíptica. El hecho de que la velocidad sea perpendicular a la dirección radial en ese instante significa que el satélite se encuentra en el periapsis (punto más cercano a la Tierra), ya que en ese punto la velocidad es máxima.

b) Calculamos el módulo del momento angular y de la aceleración del satélite en el instante señalado.

El módulo del momento angular (LL) se calcula como el producto de la masa del satélite, su velocidad tangencial y la distancia al centro de giro. Dado que la velocidad es perpendicular a la dirección radial, toda la velocidad es tangencial:

L=m⋅v⋅rL = m \cdot v \cdot r

Sustituyendo los valores:

L=(200 kg)⋅(9,92⋅103 m⋅s−1)⋅(7,00⋅106 m)L = (200 \text{ kg}) \cdot (9,92 \cdot 10^3 \text{ m} \cdot \text{s}^{-1}) \cdot (7,00 \cdot 10^6 \text{ m})
L=13888⋅109 kg⋅m2⋅s−1=1,39⋅1013 kg⋅m2⋅s−1L = 13888 \cdot 10^9 \text{ kg} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{s}^{-1} = 1,39 \cdot 10^{13} \text{ kg} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{s}^{-1}

El módulo de la aceleración (aa) del satélite en ese instante es la aceleración gravitatoria que experimenta debido a la Tierra:

a=g=GMTr2a = g = \frac{G M_T}{r^2}

Sustituyendo los valores:

a=(6,67⋅10−11 N⋅m2⋅kg−2)⋅(5,97⋅1024 kg)(7,00⋅106 m)2a = \frac{(6,67 \cdot 10^{-11} \text{ N} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{kg}^{-2}) \cdot (5,97 \cdot 10^{24} \text{ kg})}{(7,00 \cdot 10^6 \text{ m})^2}
a=3,98139⋅101449,00⋅1012 m⋅s−2≈8,125 m⋅s−2a = \frac{3,98139 \cdot 10^{14}}{49,00 \cdot 10^{12}} \text{ m} \cdot \text{s}^{-2} \approx 8,125 \text{ m} \cdot \text{s}^{-2}