T1: Interacción gravitatoria

Órbitas planetarias

Problema

2024 · Ordinaria · Titular

Un satélite de $200 \text{ kg}$ de masa se mueve en una órbita cerrada alrededor de la Tierra. En un determinado instante, es detectado a $630 \text{ km}$ de altura, moviéndose a $9,92 \text{ km/s}$ con velocidad perpendicular a la dirección radial.

a) Compare la velocidad del satélite con la correspondiente a una órbita circular de la altura dada y del resultado anterior, razone si la órbita es circular o elíptica.b) Calcule los módulos del momento angular y de la aceleración del satélite en el instante señalado.

Datos: Constante de Gravitación Universal, $G = 6,67 \cdot 10^{-11} \text{ N} \cdot \text{m}^2 / \text{kg}^2$ ; Masa de la Tierra, $M_T = 5,97 \cdot 10^{24} \text{ kg}$ ; Radio de la Tierra, $R_T = 6,37 \cdot 10^6 \text{ m}$ .

órbitas elípticasvelocidad orbitalmomento angular+1

Los datos proporcionados son:

m = 200 \text{ kg}

h = 630 \text{ km} = 630 \cdot 10^3 \text{ m}

v = 9,92 \text{ km/s} = 9,92 \cdot 10^3 \text{ m/s}

G = 6,67 \cdot 10^{-11} \text{ N} \cdot \text{m}^2 / \text{kg}^2

M_T = 5,97 \cdot 10^{24} \text{ kg}

R_T = 6,37 \cdot 10^6 \text{ m}

El radio de la órbita ( $r$ ) se calcula sumando el radio de la Tierra y la altura del satélite:

r = R_T + h = 6,37 \cdot 10^6 \text{ m} + 630 \cdot 10^3 \text{ m} = 7,00 \cdot 10^6 \text{ m}

a) Para comparar la velocidad del satélite con la de una órbita circular, calculamos esta última. En una órbita circular, la fuerza gravitatoria proporciona la fuerza centrípeta.

F_g = F_c \Rightarrow G \frac{M_T m}{r^2} = \frac{m v_c^2}{r}

Despejando la velocidad de órbita circular, $v_c$:

v_c = \sqrt{G \frac{M_T}{r}}

Sustituyendo los valores numéricos:

v_c = \sqrt{6,67 \cdot 10^{-11} \text{ N} \cdot \text{m}^2 / \text{kg}^2 \cdot \frac{5,97 \cdot 10^{24} \text{ kg}}{7,00 \cdot 10^6 \text{ m}}}

v_c \approx 7542,7 \text{ m/s} \approx 7,54 \text{ km/s}

Comparamos la velocidad del satélite detectada ( $v = 9,92 \text{ km/s}$ ) con la velocidad para una órbita circular a esa altura ( $v_c = 7,54 \text{ km/s}$ ). Se observa que $v > v_c$ .Dado que la velocidad del satélite es perpendicular a la dirección radial en el instante dado, este punto de la órbita es un ápside (perigeo o apogeo). Si la velocidad del satélite ( $v$ ) es mayor que la velocidad requerida para una órbita circular ( $v_c$ ) a esa distancia, la órbita debe ser elíptica, y el punto detectado corresponde al perigeo (punto más cercano a la Tierra) de la elipse. Si $v < v_c$ , sería el apogeo. Por lo tanto, la órbita es elíptica.

b) Cálculo de los módulos del momento angular y de la aceleración del satélite en el instante señalado.

El módulo del momento angular ( $\vec{L}$ ) de una partícula se define como el producto vectorial del vector de posición ( $\vec{r}$ ) y el momento lineal ( $\vec{p} = m\vec{v}$ ). Como la velocidad del satélite es perpendicular a la dirección radial en el instante dado ( $\theta = 90^\circ$ ), el módulo se simplifica a:

L = |\vec{r} \times m\vec{v}| = r m v \sin(\theta) = r m v \sin(90^\circ) = r m v

Sustituyendo los valores numéricos:

L = (7,00 \cdot 10^6 \text{ m}) \cdot (200 \text{ kg}) \cdot (9,92 \cdot 10^3 \text{ m/s})

L = 1,3888 \cdot 10^{13} \text{ kg} \cdot \text{m}^2 / \text{s}

La aceleración del satélite en ese instante es la aceleración gravitatoria debido a la Tierra.

a = g = G \frac{M_T}{r^2}

Sustituyendo los valores numéricos:

a = 6,67 \cdot 10^{-11} \text{ N} \cdot \text{m}^2 / \text{kg}^2 \cdot \frac{5,97 \cdot 10^{24} \text{ kg}}{(7,00 \cdot 10^6 \text{ m})^2}

a \approx 8,1265 \text{ m/s}^2