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T1: Interacción gravitatoria
Energía potencial y trabajo gravitatorio
Problema
2024 · Ordinaria · Titular
A1
Examen

La distancia del satélite Halimede a Neptuno, planeta alrededor del cual orbita, varía entre 1212 y 2121 millones de km.

a) Calcule el trabajo realizado por la atracción gravitatoria de Neptuno sobre Halimede en el tránsito del punto más próximo al más distante de la órbita.b) Sabiendo que la energía mecánica de Halimede vale −2,5⋅1020 J-2,5 \cdot 10^{20} \text{ J}, determine la velocidad máxima que alcanza en su órbita.

Datos: Constante de Gravitación Universal, G=6,67⋅10−11 N⋅m2/kg2G = 6,67 \cdot 10^{-11} \text{ N} \cdot \text{m}^2 / \text{kg}^2; Masa de Halimede, MH=1,60⋅1015 kgM_H = 1,60 \cdot 10^{15} \text{ kg}; Masa de Neptuno, MN=1,02⋅1026 kgM_N = 1,02 \cdot 10^{26} \text{ kg}.

trabajo gravitatorioenergía mecánicavelocidad máxima
a) Calcule el trabajo realizado por la atracción gravitatoria de Neptuno sobre Halimede en el tránsito del punto más próximo al más distante de la órbita.

El trabajo realizado por una fuerza conservativa, como la fuerza gravitatoria, es igual al negativo del cambio de energía potencial gravitatoria, o lo que es lo mismo, el cambio de energía potencial desde la posición inicial a la final.

W=−ΔU=−(Uf−Ui)=Ui−UfW = -\Delta U = -(U_f - U_i) = U_i - U_f

La energía potencial gravitatoria entre dos masas MNM_N y MHM_H separadas una distancia rr viene dada por:

U=−GMNMHrU = -G \frac{M_N M_H}{r}

Datos proporcionados:

G=6,67⋅10−11 N⋅m2/kg2G = 6,67 \cdot 10^{-11} \text{ N} \cdot \text{m}^2 / \text{kg}^2
MH=1,60⋅1015 kgM_H = 1,60 \cdot 10^{15} \text{ kg}
MN=1,02⋅1026 kgM_N = 1,02 \cdot 10^{26} \text{ kg}

Las distancias de la órbita son:

ri=12⋅106 km=12⋅109 m(punto maˊs proˊximo)r_i = 12 \cdot 10^6 \text{ km} = 12 \cdot 10^9 \text{ m} \quad\text{(punto más próximo)}
rf=21⋅106 km=21⋅109 m(punto maˊs distante)r_f = 21 \cdot 10^6 \text{ km} = 21 \cdot 10^9 \text{ m} \quad\text{(punto más distante)}

Calculamos las energías potenciales gravitatorias en el punto inicial (rir_i) y en el punto final (rfr_f):

Ui=−6,67⋅10−11(1,02⋅1026 kg)⋅(1,60⋅1015 kg)12⋅109 mU_i = -6,67 \cdot 10^{-11} \frac{(1,02 \cdot 10^{26} \text{ kg}) \cdot (1,60 \cdot 10^{15} \text{ kg})}{12 \cdot 10^9 \text{ m}}
Ui=−9,0696⋅1020 JU_i = -9,0696 \cdot 10^{20} \text{ J}
Uf=−6,67⋅10−11(1,02⋅1026 kg)⋅(1,60⋅1015 kg)21⋅109 mU_f = -6,67 \cdot 10^{-11} \frac{(1,02 \cdot 10^{26} \text{ kg}) \cdot (1,60 \cdot 10^{15} \text{ kg})}{21 \cdot 10^9 \text{ m}}
Uf=−5,1826⋅1020 JU_f = -5,1826 \cdot 10^{20} \text{ J}

El trabajo realizado por la fuerza gravitatoria es:

W=Ui−Uf=(−9,0696⋅1020 J)−(−5,1826⋅1020 J)W = U_i - U_f = (-9,0696 \cdot 10^{20} \text{ J}) - (-5,1826 \cdot 10^{20} \text{ J})
W=−3,887⋅1020 JW = -3,887 \cdot 10^{20} \text{ J}
b) Sabiendo que la energía mecánica de Halimede vale −2,5⋅1020 J-2,5 \cdot 10^{20} \text{ J}, determine la velocidad máxima que alcanza en su órbita.

La energía mecánica de un satélite en órbita es la suma de su energía cinética y su energía potencial gravitatoria:

Em=Ec+U=12MHv2−GMNMHrE_m = E_c + U = \frac{1}{2} M_H v^2 - G \frac{M_N M_H}{r}

La velocidad máxima en una órbita elíptica se alcanza en el punto de mayor proximidad al cuerpo central (periápside). Para Halimede y Neptuno, esta es la distancia rmin=12⋅109 mr_{min} = 12 \cdot 10^9 \text{ m}.Tenemos los siguientes datos adicionales:

Em=−2,5⋅1020 JE_m = -2,5 \cdot 10^{20} \text{ J}
rmin=12⋅109 mr_{min} = 12 \cdot 10^9 \text{ m}

Podemos despejar la velocidad máxima vmaxv_{max} de la ecuación de la energía mecánica:

Em=12MHvmax2+UminE_m = \frac{1}{2} M_H v_{max}^2 + U_{min}
Em=12MHvmax2−GMNMHrminE_m = \frac{1}{2} M_H v_{max}^2 - G \frac{M_N M_H}{r_{min}}
12MHvmax2=Em+GMNMHrmin\frac{1}{2} M_H v_{max}^2 = E_m + G \frac{M_N M_H}{r_{min}}
vmax2=2MH(Em+GMNMHrmin)v_{max}^2 = \frac{2}{M_H} \left( E_m + G \frac{M_N M_H}{r_{min}} \right)
vmax=2MH(Em+GMNMHrmin)v_{max} = \sqrt{\frac{2}{M_H} \left( E_m + G \frac{M_N M_H}{r_{min}} \right)}

Primero calculamos la energía potencial en el punto de mínima distancia rminr_{min} (que coincide con UiU_i del apartado a):

Umin=−6,67⋅10−11(1,02⋅1026 kg)⋅(1,60⋅1015 kg)12⋅109 mU_{min} = -6,67 \cdot 10^{-11} \frac{(1,02 \cdot 10^{26} \text{ kg}) \cdot (1,60 \cdot 10^{15} \text{ kg})}{12 \cdot 10^9 \text{ m}}
Umin=−9,0696⋅1020 JU_{min} = -9,0696 \cdot 10^{20} \text{ J}

Ahora, sustituimos este valor en la ecuación de la energía mecánica para encontrar la energía cinética máxima:

E_c_{max} = E_m - U_{min}
E_c_{max} = (-2,5 \cdot 10^{20} \text{ J}) - (-9,0696 \cdot 10^{20} \text{ J})
E_c_{max} = 6,5696 \cdot 10^{20} \text{ J}

Finalmente, calculamos la velocidad máxima utilizando la energía cinética máxima:

E_c_{max} = \frac{1}{2} M_H v_{max}^2
v_{max} = \sqrt{\frac{2 E_c_{max}}{M_H}}
vmax=2⋅(6,5696⋅1020 J)1,60⋅1015 kgv_{max} = \sqrt{\frac{2 \cdot (6,5696 \cdot 10^{20} \text{ J})}{1,60 \cdot 10^{15} \text{ kg}}}
vmax=8,212⋅105 m2/s2v_{max} = \sqrt{8,212 \cdot 10^5 \text{ m}^2 / \text{s}^2}
vmax≈906,19 m/sv_{max} \approx 906,19 \text{ m/s}