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T1: Interacción gravitatoria
Problema
2023 · Ordinaria · Titular
A1
Examen

Un satélite de la constelación OneWeb®, de 150 kg150 \text{ kg} de masa, se encuentra en una órbita circular alrededor de la Tierra a una altura de 1200 km1200 \text{ km} sobre el nivel del mar. Determine:

a) Las energías potencial gravitatoria y cinética que tiene el satélite en su órbita.b) La energía que fue necesario comunicar al satélite para ponerlo en órbita desde la superficie de la Tierra.

Datos: Constante de Gravitación Universal, G=6,67⋅10−11 N⋅m2⋅kg−2G = 6,67 \cdot 10^{-11} \text{ N} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{kg}^{-2}; Masa de la Tierra, MT=5,97⋅1024 kgM_T = 5,97 \cdot 10^{24} \text{ kg}; Radio de la Tierra, RT=6,37⋅106 mR_T = 6,37 \cdot 10^6 \text{ m}.

Energía potencial gravitatoriaEnergía cinéticaÓrbita circular+1

Datos:

m=150 kgm = 150 \text{ kg}
h=1200 km=1,2⋅106 mh = 1200 \text{ km} = 1,2 \cdot 10^6 \text{ m}
G=6,67⋅10−11 N⋅m2⋅kg−2G = 6,67 \cdot 10^{-11} \text{ N} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{kg}^{-2}
MT=5,97⋅1024 kgM_T = 5,97 \cdot 10^{24} \text{ kg}
RT=6,37⋅106 mR_T = 6,37 \cdot 10^6 \text{ m}

El radio de la órbita del satélite es la suma del radio de la Tierra y la altura sobre su superficie:

r=RT+h=6,37⋅106 m+1,2⋅106 m=7,57⋅106 mr = R_T + h = 6,37 \cdot 10^6 \text{ m} + 1,2 \cdot 10^6 \text{ m} = 7,57 \cdot 10^6 \text{ m}
a) Las energías potencial gravitatoria y cinética que tiene el satélite en su órbita.

Para visualizar la situación del satélite en órbita, consideramos el siguiente diagrama:

TierraSatélite (m)Fgv

La energía potencial gravitatoria del satélite en órbita viene dada por la expresión:

Ep=−GMTmrE_p = -\frac{G M_T m}{r}
Ep=−(6,67⋅10−11 N⋅m2⋅kg−2)⋅(5,97⋅1024 kg)⋅(150 kg)7,57⋅106 mE_p = -\frac{(6,67 \cdot 10^{-11} \text{ N} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{kg}^{-2}) \cdot (5,97 \cdot 10^{24} \text{ kg}) \cdot (150 \text{ kg})}{7,57 \cdot 10^6 \text{ m}}
Ep=−7,889⋅109 JE_p = -7,889 \cdot 10^9 \text{ J}

Para calcular la energía cinética, primero necesitamos determinar la velocidad orbital del satélite. En una órbita circular, la fuerza gravitatoria actúa como fuerza centrípeta:

Fg=Fc  ⟹  GMTmr2=mv2rF_g = F_c \implies \frac{G M_T m}{r^2} = \frac{m v^2}{r}

De esta expresión, la velocidad al cuadrado es:

v2=GMTrv^2 = \frac{G M_T}{r}

La energía cinética se calcula como:

Ec=12mv2=12m(GMTr)=GMTm2rE_c = \frac{1}{2} m v^2 = \frac{1}{2} m \left(\frac{G M_T}{r}\right) = \frac{G M_T m}{2r}
Ec=(6,67⋅10−11 N⋅m2⋅kg−2)⋅(5,97⋅1024 kg)⋅(150 kg)2⋅(7,57⋅106 m)E_c = \frac{(6,67 \cdot 10^{-11} \text{ N} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{kg}^{-2}) \cdot (5,97 \cdot 10^{24} \text{ kg}) \cdot (150 \text{ kg})}{2 \cdot (7,57 \cdot 10^6 \text{ m})}
Ec=3,944⋅109 JE_c = 3,944 \cdot 10^9 \text{ J}
b) La energía que fue necesario comunicar al satélite para ponerlo en órbita desde la superficie de la Tierra.

La energía necesaria para poner el satélite en órbita desde la superficie de la Tierra es la diferencia entre la energía mecánica total en órbita y la energía mecánica total en la superficie de la Tierra (asumiendo que en la superficie el satélite está en reposo).Energía mecánica en órbita (Emec,oˊrbitaE_{mec,órbita}):

Emec,oˊrbita=Ep+Ec=−GMTmr+GMTm2r=−GMTm2rE_{mec,órbita} = E_p + E_c = -\frac{G M_T m}{r} + \frac{G M_T m}{2r} = -\frac{G M_T m}{2r}
Emec,oˊrbita=−3,944⋅109 JE_{mec,órbita} = -3,944 \cdot 10^9 \text{ J}

Energía mecánica en la superficie de la Tierra (Emec,superficieE_{mec,superficie}):En la superficie, la altura es h=0h=0, por lo que el radio es RTR_T. Además, se considera que el satélite parte del reposo (v=0v=0), por lo que su energía cinética inicial es cero.

Emec,superficie=Ep,superficie+Ec,superficie=−GMTmRT+0E_{mec,superficie} = E_{p,superficie} + E_{c,superficie} = -\frac{G M_T m}{R_T} + 0
Emec,superficie=−(6,67⋅10−11 N⋅m2⋅kg−2)⋅(5,97⋅1024 kg)⋅(150 kg)6,37⋅106 mE_{mec,superficie} = -\frac{(6,67 \cdot 10^{-11} \text{ N} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{kg}^{-2}) \cdot (5,97 \cdot 10^{24} \text{ kg}) \cdot (150 \text{ kg})}{6,37 \cdot 10^6 \text{ m}}
Emec,superficie=−9,375⋅109 JE_{mec,superficie} = -9,375 \cdot 10^9 \text{ J}

La energía necesaria comunicada al satélite es la diferencia de la energía mecánica:

ΔE=Emec,oˊrbita−Emec,superficie\Delta E = E_{mec,órbita} - E_{mec,superficie}
ΔE=(−3,944⋅109 J)−(−9,375⋅109 J)\Delta E = (-3,944 \cdot 10^9 \text{ J}) - (-9,375 \cdot 10^9 \text{ J})
ΔE=5,431⋅109 J\Delta E = 5,431 \cdot 10^9 \text{ J}