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T1: Interacción gravitatoria
Velocidad de escape
Problema
2022 · Ordinaria · Titular
B1
Examen

Marte posee la décima parte de la masa de la Tierra y la mitad de su diámetro.

a) Encuentre la relación entre las velocidades de escape de Marte y de la Tierra desde sus respectivas superficies.b) Suponga que un objeto se lanza verticalmente desde la superficie terrestre, con una velocidad igual a la velocidad de escape de Marte. Si se desprecia el rozamiento, ¿qué altura máxima alcanzaría el objeto?

Dato: Radio de la Tierra, RT=6,37⋅106 mR_T = 6,37 \cdot 10^6 \text{ m}.

Velocidad de escapeEnergía mecánica
a) Para encontrar la relación entre las velocidades de escape de Marte y la Tierra, usaremos la fórmula de la velocidad de escape:
ve=2GMRv_e = \sqrt{\frac{2GM}{R}}

Donde GG es la constante de gravitación universal, MM es la masa del planeta y RR es su radio.Las relaciones dadas son:

MM=110MTyDM=12DT  ⟹  RM=12RTM_M = \frac{1}{10} M_T \quad \text{y} \quad D_M = \frac{1}{2} D_T \implies R_M = \frac{1}{2} R_T

La velocidad de escape para la Tierra es:

veT=2GMTRTv_{eT} = \sqrt{\frac{2GM_T}{R_T}}

La velocidad de escape para Marte es:

veM=2GMMRM=2G(110MT)(12RT)v_{eM} = \sqrt{\frac{2GM_M}{R_M}} = \sqrt{\frac{2G \left( \frac{1}{10} M_T \right)}{\left( \frac{1}{2} R_T \right)}}

Simplificando la expresión para veMv_{eM}:

veM=2G110MT12RT=152GMTRTv_{eM} = \sqrt{\frac{2G \frac{1}{10} M_T}{\frac{1}{2} R_T}} = \sqrt{\frac{1}{5} \frac{2GM_T}{R_T}}

Ahora, calculamos la relación entre las velocidades de escape:

veMveT=152GMTRT2GMTRT=15\frac{v_{eM}}{v_{eT}} = \frac{\sqrt{\frac{1}{5} \frac{2GM_T}{R_T}}}{\sqrt{\frac{2GM_T}{R_T}}} = \sqrt{\frac{1}{5}}

Por lo tanto, la relación es:

veMveT=15≈0,447\frac{v_{eM}}{v_{eT}} = \frac{1}{\sqrt{5}} \approx 0,447
b) Para determinar la altura máxima que alcanzaría el objeto, aplicamos el principio de conservación de la energía mecánica. El objeto se lanza desde la superficie terrestre con una velocidad v=veMv = v_{eM}.

La energía mecánica inicial (EiE_i) en la superficie terrestre es la suma de la energía cinética y la energía potencial gravitatoria:

Ei=12mv2−GMTmRTE_i = \frac{1}{2} m v^2 - \frac{GM_T m}{R_T}

En la altura máxima (hh), la velocidad del objeto es cero, por lo que la energía mecánica final (EfE_f) es solo energía potencial gravitatoria:

Ef=−GMTmRT+hE_f = - \frac{GM_T m}{R_T + h}

Según la conservación de la energía mecánica, Ei=EfE_i = E_f:

12mv2−GMTmRT=−GMTmRT+h\frac{1}{2} m v^2 - \frac{GM_T m}{R_T} = - \frac{GM_T m}{R_T + h}

Podemos dividir toda la ecuación por la masa mm del objeto:

12v2−GMTRT=−GMTRT+h\frac{1}{2} v^2 - \frac{GM_T}{R_T} = - \frac{GM_T}{R_T + h}

Sabemos que v=veMv = v_{eM}, y de la parte a), tenemos veM2=152GMTRTv_{eM}^2 = \frac{1}{5} \frac{2GM_T}{R_T}. Sustituimos este valor en la ecuación:

12(152GMTRT)−GMTRT=−GMTRT+h\frac{1}{2} \left( \frac{1}{5} \frac{2GM_T}{R_T} \right) - \frac{GM_T}{R_T} = - \frac{GM_T}{R_T + h}

Simplificamos la expresión:

15GMTRT−GMTRT=−GMTRT+h\frac{1}{5} \frac{GM_T}{R_T} - \frac{GM_T}{R_T} = - \frac{GM_T}{R_T + h}
(15−1)GMTRT=−GMTRT+h\left( \frac{1}{5} - 1 \right) \frac{GM_T}{R_T} = - \frac{GM_T}{R_T + h}
−45GMTRT=−GMTRT+h- \frac{4}{5} \frac{GM_T}{R_T} = - \frac{GM_T}{R_T + h}

Podemos cancelar −GMT-GM_T de ambos lados de la ecuación:

45RT=1RT+h\frac{4}{5R_T} = \frac{1}{R_T + h}

Despejamos hh:

4(RT+h)=5RT4(R_T + h) = 5R_T
4RT+4h=5RT4R_T + 4h = 5R_T
4h=RT4h = R_T
h=RT4h = \frac{R_T}{4}

Sustituimos el valor del radio de la Tierra, RT=6,37⋅106 mR_T = 6,37 \cdot 10^6 \text{ m}:

h=6,37⋅106 m4h = \frac{6,37 \cdot 10^6 \text{ m}}{4}
h=1,5925⋅106 mh = 1,5925 \cdot 10^6 \text{ m}

La altura máxima que alcanzaría el objeto es 1,5925⋅106 m1,5925 \cdot 10^6 \text{ m}.