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T1: Interacción gravitatoria
Campo y potencial gravitatorio
Problema
2022 · Extraordinaria · Titular
B1
Examen

En el punto (1,0) m(1, 0) \text{ m} del plano (x,y)(x, y) se encuentra una partícula A de masa mA=2 kgm_A = 2 \text{ kg}. Se sabe que para llevar una partícula B de masa mBm_B desde el origen de coordenadas al punto (0,2) m(0, 2) \text{ m} el trabajo realizado por la fuerza del campo gravitatorio creado por la masa mAm_A es −2,95⋅10−10 J-2,95 \cdot 10^{-10} \text{ J}.

a) ¿Cuál es el valor de la masa mBm_B?b) Calcule el valor del campo gravitatorio que crea la masa mAm_A en el punto (0,2) m(0, 2) \text{ m}.

Dato: Constante de Gravitación Universal, G=6,67⋅10−11 N⋅m2⋅kg−2G = 6,67 \cdot 10^{-11} \text{ N} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{kg}^{-2}.

Trabajo gravitatorioPotencial gravitatorioVector campo gravitatorio
a) Para calcular el valor de la masa mBm_B, utilizamos la definición de trabajo realizado por la fuerza gravitatoria. El trabajo realizado por una fuerza conservativa, como la gravitatoria, es igual a la disminución de la energía potencial gravitatoria del sistema:
Wgrav=−(Uf−Ui)=Ui−UfW_{grav} = -(U_f - U_i) = U_i - U_f

La energía potencial gravitatoria entre dos masas m1m_1 y m2m_2 separadas una distancia rr viene dada por la expresión:

U=−Gm1m2rU = -G \frac{m_1 m_2}{r}

La masa mA=2 kgm_A = 2 \text{ kg} se encuentra en el punto A=(1,0) mA = (1, 0) \text{ m}. La masa mBm_B se mueve desde el origen de coordenadas O=(0,0) mO = (0, 0) \text{ m} hasta el punto P=(0,2) mP = (0, 2) \text{ m}.Calculamos las distancias inicial y final entre mAm_A y mBm_B:

ri=∣r⃗OA∣=∣(1−0)i^+(0−0)j^∣=∣i^∣=1 mr_i = |\vec{r}_{OA}| = |(1-0)\hat{i} + (0-0)\hat{j}| = |\hat{i}| = 1 \text{ m}
rf=∣r⃗PA∣=∣(1−0)i^+(0−2)j^∣=∣i^−2j^∣=12+(−2)2=1+4=5 mr_f = |\vec{r}_{PA}| = |(1-0)\hat{i} + (0-2)\hat{j}| = |\hat{i} - 2\hat{j}| = \sqrt{1^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5} \text{ m}

Ahora, expresamos el trabajo gravitatorio:

Wgrav=−GmAmBri−(−GmAmBrf)=GmAmB(1rf−1ri)W_{grav} = -G \frac{m_A m_B}{r_i} - \left(-G \frac{m_A m_B}{r_f}\right) = G m_A m_B \left(\frac{1}{r_f} - \frac{1}{r_i}\right)

Despejamos mBm_B y sustituimos los valores conocidos:

mB=WgravGmA(1rf−1ri)m_B = \frac{W_{grav}}{G m_A \left(\frac{1}{r_f} - \frac{1}{r_i}\right)}
mB=−2.95⋅10−10 J(6.67⋅10−11 N⋅m2⋅kg−2)(2 kg)(15 m−11 m)m_B = \frac{-2.95 \cdot 10^{-10} \text{ J}}{(6.67 \cdot 10^{-11} \text{ N} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{kg}^{-2}) (2 \text{ kg}) \left(\frac{1}{\sqrt{5} \text{ m}} - \frac{1}{1 \text{ m}}\right)}
mB=−2.95⋅10−101.334⋅10−10(1−55) kgm_B = \frac{-2.95 \cdot 10^{-10}}{1.334 \cdot 10^{-10} \left(\frac{1 - \sqrt{5}}{\sqrt{5}}\right)} \text{ kg}
mB=−2.95⋅10−101.334⋅10−10(1−2.23606792.2360679) kgm_B = \frac{-2.95 \cdot 10^{-10}}{1.334 \cdot 10^{-10} \left(\frac{1 - 2.2360679}{2.2360679}\right)} \text{ kg}
mB=−2.95⋅10−101.334⋅10−10(−0.552786) kgm_B = \frac{-2.95 \cdot 10^{-10}}{1.334 \cdot 10^{-10} (-0.552786)} \text{ kg}
mB=−2.95⋅10−10−0.73708⋅10−10 kgm_B = \frac{-2.95 \cdot 10^{-10}}{-0.73708 \cdot 10^{-10}} \text{ kg}
mB≈4.00 kgm_B \approx 4.00 \text{ kg}
b) El campo gravitatorio g⃗\vec{g} creado por una masa mAm_A en un punto del espacio se define como la fuerza gravitatoria por unidad de masa que experimentaría una masa de prueba en ese punto. Su expresión vectorial es:
g⃗=−GmAr2u^r=−GmAr3r⃗\vec{g} = -G \frac{m_A}{r^2} \hat{u}_r = -G \frac{m_A}{r^3} \vec{r}

donde r⃗\vec{r} es el vector que va desde la masa fuente mAm_A hasta el punto donde se calcula el campo. La masa mA=2 kgm_A = 2 \text{ kg} se encuentra en A=(1,0) mA = (1, 0) \text{ m} y el punto de interés es P=(0,2) mP = (0, 2) \text{ m}.Calculamos el vector r⃗\vec{r} y su módulo:

r⃗=P−A=(0−1)i^+(2−0)j^=−1i^+2j^ m\vec{r} = P - A = (0-1)\hat{i} + (2-0)\hat{j} = -1\hat{i} + 2\hat{j} \text{ m}
r=∣r⃗∣=(−1)2+(2)2=1+4=5 mr = |\vec{r}| = \sqrt{(-1)^2 + (2)^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5} \text{ m}

Ahora sustituimos en la expresión del campo gravitatorio:

g⃗=−(6.67⋅10−11 N⋅m2⋅kg−2)2 kg(5 m)3(−1i^+2j^) m\vec{g} = -(6.67 \cdot 10^{-11} \text{ N} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{kg}^{-2}) \frac{2 \text{ kg}}{(\sqrt{5} \text{ m})^3} (-1\hat{i} + 2\hat{j}) \text{ m}
g⃗=−(6.67⋅10−11)255(−1i^+2j^) N/kg\vec{g} = -(6.67 \cdot 10^{-11}) \frac{2}{5\sqrt{5}} (-1\hat{i} + 2\hat{j}) \text{ N/kg}
g⃗=−(6.67⋅10−11)25⋅2.2360679(−1i^+2j^) N/kg\vec{g} = -(6.67 \cdot 10^{-11}) \frac{2}{5 \cdot 2.2360679} (-1\hat{i} + 2\hat{j}) \text{ N/kg}
g⃗=−(6.67⋅10−11)(0.178885)(−1i^+2j^) N/kg\vec{g} = -(6.67 \cdot 10^{-11}) (0.178885) (-1\hat{i} + 2\hat{j}) \text{ N/kg}
g⃗=(1.1929⋅10−11)(−1i^+2j^) N/kg\vec{g} = (1.1929 \cdot 10^{-11}) (-1\hat{i} + 2\hat{j}) \text{ N/kg}
g⃗=(1.19⋅10−11i^−2.39⋅10−11j^) N/kg\vec{g} = (1.19 \cdot 10^{-11}\hat{i} - 2.39 \cdot 10^{-11}\hat{j}) \text{ N/kg}