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T1: Interacción gravitatoria
Energía y potencial gravitatorio
Problema
2025 · Ordinaria · Titular
A1
Examen

La distancia del satélite Halimede a Neptuno, planeta alrededor del cual orbita, varía entre 1212 y 2121 millones de km\text{km}.

a) Calcule el trabajo realizado por la atracción gravitatoria de Neptuno sobre Halimede en el tránsito del punto más próximo al más distante de la órbita.b) Sabiendo que la energía mecánica de Halimede vale −2,5⋅1020 J-2,5 \cdot 10^{20} \text{ J}, determine la velocidad máxima que alcanza en su órbita.

Datos: Constante de Gravitación Universal, G=6,67⋅10−11 N⋅m2⋅kg−2G = 6,67 \cdot 10^{-11} \text{ N} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{kg}^{-2}; Masa de Halimede, MH=1,60⋅1015 kgM_H = 1,60 \cdot 10^{15} \text{ kg}; Masa de Neptuno, MN=1,02⋅1026 kgM_N = 1,02 \cdot 10^{26} \text{ kg}.

trabajo gravitatorioenergía mecánicavelocidad máxima
a) Calcule el trabajo realizado por la atracción gravitatoria de Neptuno sobre Halimede en el tránsito del punto más próximo al más distante de la órbita.

El trabajo realizado por una fuerza conservativa, como la fuerza gravitatoria, es igual al negativo del cambio en la energía potencial gravitatoria. También puede expresarse como la diferencia entre la energía potencial inicial y final.

W=−ΔEp=Ep,i−Ep,fW = -\Delta E_p = E_{p,i} - E_{p,f}

La energía potencial gravitatoria entre dos masas MNM_N (Neptuno) y MHM_H (Halimede) separadas por una distancia rr viene dada por:

Ep=−GMNMHrE_p = -G \frac{M_N M_H}{r}

Los radios inicial y final son:

ri=12⋅106 km=12⋅109 mr_i = 12 \cdot 10^6 \text{ km} = 12 \cdot 10^9 \text{ m}
rf=21⋅106 km=21⋅109 mr_f = 21 \cdot 10^6 \text{ km} = 21 \cdot 10^9 \text{ m}

Entonces, el trabajo es:

W=(−GMNMHri)−(−GMNMHrf)=GMNMH(1rf−1ri)W = \left(-G \frac{M_N M_H}{r_i}\right) - \left(-G \frac{M_N M_H}{r_f}\right) = G M_N M_H \left(\frac{1}{r_f} - \frac{1}{r_i}\right)

Sustituyendo los valores:

W=(6,67⋅10−11 N⋅m2⋅kg−2)⋅(1,02⋅1026 kg)⋅(1,60⋅1015 kg)⋅(121⋅109 m−112⋅109 m)W = (6,67 \cdot 10^{-11} \text{ N} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{kg}^{-2}) \cdot (1,02 \cdot 10^{26} \text{ kg}) \cdot (1,60 \cdot 10^{15} \text{ kg}) \cdot \left(\frac{1}{21 \cdot 10^9 \text{ m}} - \frac{1}{12 \cdot 10^9 \text{ m}}\right)
W=(1,088064⋅1031 J⋅m)⋅(1109 m(121−112))W = (1,088064 \cdot 10^{31} \text{ J} \cdot \text{m}) \cdot \left(\frac{1}{10^9 \text{ m}} \left(\frac{1}{21} - \frac{1}{12}\right)\right)
W=(1,088064⋅1031 J⋅m)⋅(1109 m(4−784))W = (1,088064 \cdot 10^{31} \text{ J} \cdot \text{m}) \cdot \left(\frac{1}{10^9 \text{ m}} \left(\frac{4 - 7}{84}\right)\right)
W=(1,088064⋅1031 J⋅m)⋅(−384⋅109 m)W = (1,088064 \cdot 10^{31} \text{ J} \cdot \text{m}) \cdot \left(-\frac{3}{84 \cdot 10^9 \text{ m}}\right)
W=(1,088064⋅1031 J⋅m)⋅(−128⋅109 m)W = (1,088064 \cdot 10^{31} \text{ J} \cdot \text{m}) \cdot \left(-\frac{1}{28 \cdot 10^9 \text{ m}}\right)
W≈−3,89⋅1020 JW \approx -3,89 \cdot 10^{20} \text{ J}
b) Sabiendo que la energía mecánica de Halimede vale −2,5⋅1020 J-2,5 \cdot 10^{20} \text{ J}, determine la velocidad máxima que alcanza en su órbita.
NeptunoHalimedeFgv

La energía mecánica total EME_M de Halimede se conserva en su órbita y es la suma de su energía cinética EcE_c y su energía potencial gravitatoria EpE_p.

EM=Ec+Ep=12MHv2−GMNMHrE_M = E_c + E_p = \frac{1}{2} M_H v^2 - G \frac{M_N M_H}{r}

La velocidad máxima en una órbita elíptica se alcanza en el punto de menor distancia al cuerpo central (periapsis), que en este caso es rmin=12⋅109 mr_{min} = 12 \cdot 10^9 \text{ m}.La energía potencial en el punto de mínima distancia es:

Ep,min=−GMNMHrminE_{p,min} = -G \frac{M_N M_H}{r_{min}}
Ep,min=−(6,67⋅10−11 N⋅m2⋅kg−2)(1,02⋅1026 kg)⋅(1,60⋅1015 kg)12⋅109 mE_{p,min} = -(6,67 \cdot 10^{-11} \text{ N} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{kg}^{-2}) \frac{(1,02 \cdot 10^{26} \text{ kg}) \cdot (1,60 \cdot 10^{15} \text{ kg})}{12 \cdot 10^9 \text{ m}}
Ep,min=−1,088064⋅1031 J⋅m12⋅109 mE_{p,min} = -\frac{1,088064 \cdot 10^{31} \text{ J} \cdot \text{m}}{12 \cdot 10^9 \text{ m}}
Ep,min≈−9,0672⋅1020 JE_{p,min} \approx -9,0672 \cdot 10^{20} \text{ J}

Ahora, usamos la conservación de la energía mecánica para encontrar la velocidad máxima vmaxv_{max}:

EM=12MHvmax2+Ep,minE_M = \frac{1}{2} M_H v_{max}^2 + E_{p,min}
12MHvmax2=EM−Ep,min\frac{1}{2} M_H v_{max}^2 = E_M - E_{p,min}
12(1,60⋅1015 kg)vmax2=(−2,5⋅1020 J)−(−9,0672⋅1020 J)\frac{1}{2} (1,60 \cdot 10^{15} \text{ kg}) v_{max}^2 = (-2,5 \cdot 10^{20} \text{ J}) - (-9,0672 \cdot 10^{20} \text{ J})
0,80⋅1015 kg⋅vmax2=(9,0672−2,5)⋅1020 J0,80 \cdot 10^{15} \text{ kg} \cdot v_{max}^2 = (9,0672 - 2,5) \cdot 10^{20} \text{ J}
0,80⋅1015 kg⋅vmax2=6,5672⋅1020 J0,80 \cdot 10^{15} \text{ kg} \cdot v_{max}^2 = 6,5672 \cdot 10^{20} \text{ J}
vmax2=6,5672⋅1020 J0,80⋅1015 kgv_{max}^2 = \frac{6,5672 \cdot 10^{20} \text{ J}}{0,80 \cdot 10^{15} \text{ kg}}
vmax2=8,209⋅105 m2⋅s−2v_{max}^2 = 8,209 \cdot 10^5 \text{ m}^2 \cdot \text{s}^{-2}
vmax=8,209⋅105 m2⋅s−2v_{max} = \sqrt{8,209 \cdot 10^5 \text{ m}^2 \cdot \text{s}^{-2}}
vmax≈906,0 m⋅s−1v_{max} \approx 906,0 \text{ m} \cdot \text{s}^{-1}