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T1: Interacción gravitatoria
Órbitas
Problema
2023 · Extraordinaria · Titular
A1
Examen

El satélite UPM-Sat2 se lanzó el día 3 de septiembre de 2020 a una órbita circular alrededor de la Tierra con un período de 5710 s5710 \text{ s}. Sabiendo que el satélite tiene una masa de 50 kg50 \text{ kg}, calcule:

a) La altura a la que orbita y la energía que hubo que transmitirle para ponerlo en órbita desde la superficie de la Tierra.b) La velocidad y la aceleración centrípeta en su órbita.

Datos: Constante de Gravitación Universal, G=6,67⋅10−11 N⋅m2⋅kg−2G = 6,67 \cdot 10^{-11} \text{ N} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{kg}^{-2}; Masa de la Tierra, MT=5,97⋅1024 kgM_T = 5,97 \cdot 10^{24} \text{ kg}; Radio de la Tierra, RT=6,37⋅106 mR_T = 6,37 \cdot 10^{6} \text{ m}.

campo gravitatorioórbita circularenergía orbital+1
a) La altura a la que orbita y la energía que hubo que transmitirle para ponerlo en órbita desde la superficie de la Tierra.

Para un satélite en órbita circular, la fuerza gravitatoria es la fuerza centrípeta. Aplicamos la segunda Ley de Kepler, que relaciona el periodo orbital TT con el radio de la órbita rr:

T2=4π2r3GMTT^2 = \frac{4 \pi^2 r^3}{G M_T}

Despejamos el radio de la órbita rr:

r=(GMTT24π2)1/3r = \left( \frac{G M_T T^2}{4 \pi^2} \right)^{1/3}

Sustituimos los valores dados:

r=((6,67⋅10−11 N⋅m2⋅kg−2)⋅(5,97⋅1024 kg)⋅(5710 s)24π2)1/3r = \left( \frac{(6,67 \cdot 10^{-11} \text{ N} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{kg}^{-2}) \cdot (5,97 \cdot 10^{24} \text{ kg}) \cdot (5710 \text{ s})^2}{4 \pi^2} \right)^{1/3}
r=(1,298⋅1022 m339,478)1/3=(3,288⋅1020 m3)1/3r = \left( \frac{1,298 \cdot 10^{22} \text{ m}^3}{39,478} \right)^{1/3} = (3,288 \cdot 10^{20} \text{ m}^3)^{1/3}
r≈6,903⋅106 mr \approx 6,903 \cdot 10^{6} \text{ m}

La altura hh a la que orbita se calcula como la diferencia entre el radio de la órbita y el radio de la Tierra:

h=r−RTh = r - R_T
h=6,903⋅106 m−6,37⋅106 mh = 6,903 \cdot 10^{6} \text{ m} - 6,37 \cdot 10^{6} \text{ m}
h=0,533⋅106 m=5,33⋅105 m=533 kmh = 0,533 \cdot 10^{6} \text{ m} = 5,33 \cdot 10^{5} \text{ m} = 533 \text{ km}

La energía que hubo que transmitirle para ponerlo en órbita (EtransmitE_{transmit}) es la diferencia entre la energía mecánica total en órbita (EoˊrbitaE_{órbita}) y la energía mecánica total en la superficie de la Tierra (EsuperficieE_{superficie}). Considerando que en la superficie el satélite parte del reposo y su energía cinética es nula:

Etransmit=Eoˊrbita−EsuperficieE_{transmit} = E_{órbita} - E_{superficie}

La energía mecánica en la superficie es solo energía potencial gravitatoria:

Esuperficie=−GMTmRTE_{superficie} = -G \frac{M_T m}{R_T}

La energía mecánica en una órbita circular es la mitad de la energía potencial gravitatoria (teorema del viríal):

Eoˊrbita=−12GMTmrE_{órbita} = - \frac{1}{2} G \frac{M_T m}{r}

Por lo tanto, la energía transmitida es:

Etransmit=−12GMTmr−(−GMTmRT)=GMTm(1RT−12r)E_{transmit} = - \frac{1}{2} G \frac{M_T m}{r} - \left(-G \frac{M_T m}{R_T}\right) = G M_T m \left( \frac{1}{R_T} - \frac{1}{2r} \right)

Sustituimos los valores:

Etransmit=(6,67⋅10−11 N⋅m2⋅kg−2)⋅(5,97⋅1024 kg)⋅(50 kg)⋅(16,37⋅106 m−12⋅6,903⋅106 m)E_{transmit} = (6,67 \cdot 10^{-11} \text{ N} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{kg}^{-2}) \cdot (5,97 \cdot 10^{24} \text{ kg}) \cdot (50 \text{ kg}) \cdot \left( \frac{1}{6,37 \cdot 10^{6} \text{ m}} - \frac{1}{2 \cdot 6,903 \cdot 10^{6} \text{ m}} \right)
Etransmit=(1,992⋅1016 N⋅m2)⋅(1,5698⋅10−7 m−1−0,7244⋅10−7 m−1)E_{transmit} = (1,992 \cdot 10^{16} \text{ N} \cdot \text{m}^2) \cdot (1,5698 \cdot 10^{-7} \text{ m}^{-1} - 0,7244 \cdot 10^{-7} \text{ m}^{-1})
Etransmit=(1,992⋅1016 N⋅m2)⋅(0,8454⋅10−7 m−1)E_{transmit} = (1,992 \cdot 10^{16} \text{ N} \cdot \text{m}^2) \cdot (0,8454 \cdot 10^{-7} \text{ m}^{-1})
Etransmit≈1,685⋅109 JE_{transmit} \approx 1,685 \cdot 10^{9} \text{ J}
b) La velocidad y la aceleración centrípeta en su órbita.

La velocidad del satélite en su órbita circular se puede calcular a partir del periodo y el radio orbital:

v=2πrTv = \frac{2 \pi r}{T}

Sustituimos los valores:

v=2π(6,903⋅106 m)5710 sv = \frac{2 \pi (6,903 \cdot 10^{6} \text{ m})}{5710 \text{ s}}
v≈7596 m/sv \approx 7596 \text{ m/s}

La aceleración centrípeta en la órbita se calcula como:

ac=v2ra_c = \frac{v^2}{r}

Sustituimos los valores:

ac=(7596 m/s)26,903⋅106 ma_c = \frac{(7596 \text{ m/s})^2}{6,903 \cdot 10^{6} \text{ m}}
ac=5,770⋅107 m2/s26,903⋅106 ma_c = \frac{5,770 \cdot 10^{7} \text{ m}^2/\text{s}^2}{6,903 \cdot 10^{6} \text{ m}}
ac≈8,359 m/s2a_c \approx 8,359 \text{ m/s}^2
TierraUPM-Sat2Fgv