T1: Interacción gravitatoria · Gravitación universal y energía mecánica

Gravitación universal y energía mecánica

Problema

2024 · Extraordinaria · Titular

Dos planetas de masas iguales orbitan en torno a una estrella de masa mucho mayor. El primero de los planetas tiene una órbita circular de radio $1,2 \cdot 10^{11} \text{ m}$ y un período de $3 \text{ años}$ . El segundo planeta sigue una órbita elíptica tal que la distancia más próxima a la estrella es de $1,0 \cdot 10^{11} \text{ m}$ y la más lejana de $1,8 \cdot 10^{11} \text{ m}$ .

a) Determine la masa de la estrella y el período del segundo planeta.b) Calcule la velocidad orbital del primer planeta y, sabiendo que su energía mecánica en su órbita circular es de

-3,8 \cdot 10^{30} \text{ J}

, halle la masa de los planetas.

Dato: Constante de Gravitación Universal, $G = 6,67 \cdot 10^{-11} \text{ N} \cdot \text{m}^2 / \text{kg}^2$ .

GravedadLeyes de KeplerEnergía mecánica

a) Determine la masa de la estrella y el período del segundo planeta.

Primero, convertimos el período del primer planeta a segundos:

T_1 = 3 \text{ años} \cdot \frac{365.25 \text{ días}}{1 \text{ año}} \cdot \frac{24 \text{ h}}{1 \text{ día}} \cdot \frac{3600 \text{ s}}{1 \text{ h}} = 9.46728 \cdot 10^7 \text{ s}

Para determinar la masa de la estrella ( $M_S$ ), aplicamos la Tercera Ley de Kepler para el primer planeta, que describe una órbita circular:

T_1^2 = \frac{4\pi^2}{G M_S} R_1^3

Despejamos $M_S$ :

M_S = \frac{4\pi^2 R_1^3}{G T_1^2}

M_S = \frac{4\pi^2 (1.2 \cdot 10^{11} \text{ m})^3}{(6.67 \cdot 10^{-11} \text{ N} \cdot \text{m}^2 / \text{kg}^2) (9.46728 \cdot 10^7 \text{ s})^2}

M_S = \frac{4\pi^2 (1.728 \cdot 10^{33} \text{ m}^3)}{(6.67 \cdot 10^{-11} \text{ N} \cdot \text{m}^2 / \text{kg}^2) (8.96395 \cdot 10^{15} \text{ s}^2)}

M_S = \frac{6.827 \cdot 10^{34}}{5.978 \cdot 10^5} \text{ kg} = 1.142 \cdot 10^{29} \text{ kg}

Para el segundo planeta con órbita elíptica, la Tercera Ley de Kepler utiliza el semieje mayor ( $a$ ). Calculamos $a$ a partir de la distancia más cercana ( $r_p$ ) y más lejana ( $r_a$ ):

a = \frac{r_p + r_a}{2} = \frac{1.0 \cdot 10^{11} \text{ m} + 1.8 \cdot 10^{11} \text{ m}}{2} = \frac{2.8 \cdot 10^{11} \text{ m}}{2} = 1.4 \cdot 10^{11} \text{ m}

Aplicamos la Tercera Ley de Kepler para el segundo planeta:

T_2^2 = \frac{4\pi^2}{G M_S} a^3

T_2^2 = \frac{4\pi^2}{(6.67 \cdot 10^{-11} \text{ N} \cdot \text{m}^2 / \text{kg}^2)(1.142 \cdot 10^{29} \text{ kg})} (1.4 \cdot 10^{11} \text{ m})^3

T_2^2 = \frac{4\pi^2}{(7.616 \cdot 10^{18})} (2.744 \cdot 10^{33})

T_2^2 = 1.422 \cdot 10^{16} \text{ s}^2

T_2 = \sqrt{1.422 \cdot 10^{16} \text{ s}^2} = 1.192 \cdot 10^8 \text{ s}

b) Calcule la velocidad orbital del primer planeta y, sabiendo que su energía mecánica en su órbita circular es de

-3,8 \cdot 10^{30} \text{ J}

, halle la masa de los planetas.

Para una órbita circular, la fuerza gravitatoria proporciona la fuerza centrípeta:

\frac{G M_S m_P}{R_1^2} = \frac{m_P v_1^2}{R_1}

Despejamos la velocidad orbital ( $v_1$ ):

v_1 = \sqrt{\frac{G M_S}{R_1}}

v_1 = \sqrt{\frac{(6.67 \cdot 10^{-11} \text{ N} \cdot \text{m}^2 / \text{kg}^2)(1.142 \cdot 10^{29} \text{ kg})}{1.2 \cdot 10^{11} \text{ m}}}

v_1 = \sqrt{\frac{7.616 \cdot 10^{18}}{1.2 \cdot 10^{11}}} \text{ m/s} = \sqrt{6.347 \cdot 10^7} \text{ m/s} = 7.967 \cdot 10^3 \text{ m/s}

La energía mecánica de un planeta en una órbita circular viene dada por la expresión:

E = -\frac{G M_S m_P}{2R_1}

Despejamos la masa de los planetas ( $m_P$ ):

m_P = -\frac{2R_1 E}{G M_S}

m_P = -\frac{2 (1.2 \cdot 10^{11} \text{ m}) (-3.8 \cdot 10^{30} \text{ J})}{(6.67 \cdot 10^{-11} \text{ N} \cdot \text{m}^2 / \text{kg}^2)(1.142 \cdot 10^{29} \text{ kg})}

m_P = \frac{9.12 \cdot 10^{41}}{7.616 \cdot 10^{18}} \text{ kg} = 1.197 \cdot 10^{23} \text{ kg}