T1: Interacción gravitatoria

Órbitas y energía

Problema

2023 · Ordinaria · Suplente

El astronauta Rocannon se ha situado en una órbita circular de $4,36 \text{ h}$ de período alrededor de Fomalhaut II, un planeta de $4 \cdot 10^{23} \text{ kg}$ de masa y $5000 \text{ km}$ de radio.

a) Obtenga la altura de la órbita sobre la superficie de Fomalhaut II.b) Rocannon dispone de

1,5 \cdot 10^{10} \text{ J}

para escapar de Fomalhaut II desde la órbita en que se halla. Determine el valor máximo que puede tener la masa conjunta de Rocannon y su nave para lograr escapar con esa energía.

Dato: Constante de Gravitación Universal, $G = 6,67 \cdot 10^{-11} \text{ N} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{kg}^{-2}$ .

Campo gravitatorioÓrbita circularVelocidad de escape

a) Obtenga la altura de la órbita sobre la superficie de Fomalhaut II.

Datos proporcionados:

T = 4,36 \text{ h}

M = 4 \cdot 10^{23} \text{ kg}

R_p = 5000 \text{ km}

G = 6,67 \cdot 10^{-11} \text{ N} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{kg}^{-2}

Primero, convertimos las unidades al Sistema Internacional:

T = 4,36 \text{ h} \cdot 3600 \text{ s/h} = 15696 \text{ s}

R_p = 5000 \text{ km} \cdot 1000 \text{ m/km} = 5 \cdot 10^6 \text{ m}

Para una órbita circular, la fuerza gravitatoria proporciona la fuerza centrípeta. La magnitud de la fuerza gravitatoria es $F_g = G \frac{M m}{r^2}$ y la fuerza centrípeta es $F_c = m \frac{v^2}{r}$ , donde $r$ es el radio de la órbita y $m$ es la masa del satélite.

F_g = F_c \implies G \frac{M m}{r^2} = m \frac{v^2}{r}

Simplificando la masa $m$ y un factor de $r$ :

G \frac{M}{r} = v^2

La velocidad orbital $v$ también se puede expresar en términos del período $T$ y el radio de la órbita $r$ : $v = \frac{2 \pi r}{T}$ .

G \frac{M}{r} = \left( \frac{2 \pi r}{T} \right)^2

G \frac{M}{r} = \frac{4 \pi^2 r^2}{T^2}

Despejamos el radio de la órbita $r$ :

r^3 = \frac{G M T^2}{4 \pi^2}

r = \sqrt[3]{\frac{G M T^2}{4 \pi^2}}

Sustituyendo los valores numéricos:

r = \sqrt[3]{\frac{(6,67 \cdot 10^{-11} \text{ N} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{kg}^{-2}) (4 \cdot 10^{23} \text{ kg}) (15696 \text{ s})^2}{4 \pi^2}}

r = \sqrt[3]{\frac{(6,67 \cdot 10^{-11}) (4 \cdot 10^{23}) (2,4636 \cdot 10^8)}{4 \pi^2}} \text{ m}

r = \sqrt[3]{\frac{6,5714 \cdot 10^{21}}{39,478}} \text{ m}

r = \sqrt[3]{1,6645 \cdot 10^{20}} \text{ m}

r = 5,502 \cdot 10^6 \text{ m}

La altura de la órbita $h$ sobre la superficie de Fomalhaut II es la diferencia entre el radio orbital y el radio del planeta:

h = r - R_p

h = 5,502 \cdot 10^6 \text{ m} - 5 \cdot 10^6 \text{ m}

h = 0,502 \cdot 10^6 \text{ m} = 502000 \text{ m}

h = 502 \text{ km}

b) Rocannon dispone de

1,5 \cdot 10^{10} \text{ J}

para escapar de Fomalhaut II desde la órbita en que se halla. Determine el valor máximo que puede tener la masa conjunta de Rocannon y su nave para lograr escapar con esa energía.

La energía total mecánica de un objeto de masa $m$ en una órbita circular de radio $r$ alrededor de un planeta de masa $M$ es la suma de su energía cinética y su energía potencial gravitatoria:

E_{total} = E_k + E_p = \frac{1}{2} m v^2 - G \frac{M m}{r}

Sabemos que para una órbita circular, la fuerza gravitatoria es igual a la fuerza centrípeta, lo que implica que $G \frac{M m}{r^2} = m \frac{v^2}{r}$ , de donde $v^2 = G \frac{M}{r}$ . Sustituyendo esta expresión en la energía cinética:

E_{total} = \frac{1}{2} m \left( G \frac{M}{r} \right) - G \frac{M m}{r}

E_{total} = \frac{1}{2} G \frac{M m}{r} - G \frac{M m}{r}

E_{total} = -\frac{1}{2} G \frac{M m}{r}

Para que Rocannon y su nave escapen de Fomalhaut II, su energía total final debe ser al menos cero. Por lo tanto, la energía necesaria para escapar desde la órbita actual es el valor absoluto de la energía total en órbita (la energía que se debe aportar para llevar el objeto a energía total cero).

\Delta E_{escape} = -E_{total} = \frac{1}{2} G \frac{M m}{r}

Se nos da la energía disponible para escapar, $\Delta E = 1,5 \cdot 10^{10} \text{ J}$ . Igualamos esta energía a la expresión de escape y despejamos la masa $m$ :

m = \frac{2 \Delta E r}{G M}

Sustituimos los valores conocidos, utilizando el radio orbital $r$ calculado en el apartado a):

m = \frac{2 (1,5 \cdot 10^{10} \text{ J}) (5,502 \cdot 10^6 \text{ m})}{(6,67 \cdot 10^{-11} \text{ N} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{kg}^{-2}) (4 \cdot 10^{23} \text{ kg})}

m = \frac{1,6506 \cdot 10^{17}}{2,668 \cdot 10^{13}} \text{ kg}

m = 6186,66 \text{ kg}

Por lo tanto, el valor máximo que puede tener la masa conjunta de Rocannon y su nave para lograr escapar es de $6186,66 \text{ kg}$ .