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T1: Interacción gravitatoria
Campo gravitatorio y energía potencial
Problema
2022 · Ordinaria · Titular
A1
Examen

Una partícula de masa 20 kg20 \text{ kg} permanece fija en el origen de coordenadas.

a) Calcule el campo gravitatorio generado por la masa en el punto (8,6) m(8, 6) \text{ m} y la fuerza que experimentará una segunda partícula de masa 3 kg3 \text{ kg} situada en dicho punto.b) Con el objetivo de alejar la segunda partícula, se le transmite una velocidad de 1,2⋅10−5 m⋅s−11,2 \cdot 10^{-5} \text{ m} \cdot \text{s}^{-1} en la dirección de la recta que une ambas partículas. Halle el punto más alejado del origen que alcanzará dicha partícula.

Datos: Constante de Gravitación Universal, G=6,67⋅10−11 N⋅m2/kg2G = 6,67 \cdot 10^{-11} \text{ N} \cdot \text{m}^2 / \text{kg}^2.

Campo gravitatorioFuerza gravitatoriaConservación de la energía
a) Calcule el campo gravitatorio generado por la masa en el punto (8,6) m(8, 6) \text{ m} y la fuerza que experimentará una segunda partícula de masa 3 kg3 \text{ kg} situada en dicho punto.

La masa M=20 kgM = 20 \text{ kg} está situada en el origen (0,0)(0,0). El punto de interés PP está en (8,6) m(8, 6) \text{ m}. El vector de posición desde la masa fuente al punto es:

r⃗=(8i^+6j^) m\vec{r} = (8\hat{i} + 6\hat{j}) \text{ m}

La distancia rr desde la masa fuente hasta el punto PP es:

r=∣r⃗∣=82+62=64+36=100=10 mr = |\vec{r}| = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10 \text{ m}

El vector unitario u^r\hat{u}_r en la dirección de r⃗\vec{r} es:

u^r=r⃗r=8i^+6j^10=(0,8i^+0,6j^)\hat{u}_r = \frac{\vec{r}}{r} = \frac{8\hat{i} + 6\hat{j}}{10} = (0,8\hat{i} + 0,6\hat{j})

El campo gravitatorio g⃗\vec{g} en un punto debido a una masa MM en el origen viene dado por la fórmula:

g⃗=−GMr2u^r\vec{g} = -G \frac{M}{r^2} \hat{u}_r

Sustituyendo los valores:

g⃗=−6,67⋅10−11 N⋅m2/kg2⋅20 kg(10 m)2(0,8i^+0,6j^)\vec{g} = -6,67 \cdot 10^{-11} \text{ N} \cdot \text{m}^2 / \text{kg}^2 \cdot \frac{20 \text{ kg}}{(10 \text{ m})^2} (0,8\hat{i} + 0,6\hat{j})
g⃗=−6,67⋅10−11⋅20100(0,8i^+0,6j^)\vec{g} = -6,67 \cdot 10^{-11} \cdot \frac{20}{100} (0,8\hat{i} + 0,6\hat{j})
g⃗=−6,67⋅10−11⋅0,2(0,8i^+0,6j^)\vec{g} = -6,67 \cdot 10^{-11} \cdot 0,2 (0,8\hat{i} + 0,6\hat{j})
g⃗=(−1,0672⋅10−11i^−0,8004⋅10−11j^) N/kg\vec{g} = (-1,0672 \cdot 10^{-11}\hat{i} - 0,8004 \cdot 10^{-11}\hat{j}) \text{ N} / \text{kg}

La fuerza F⃗\vec{F} que experimentará una segunda partícula de masa m=3 kgm = 3 \text{ kg} en este punto se calcula como:

F⃗=mg⃗\vec{F} = m \vec{g}

Sustituyendo los valores:

F⃗=3 kg⋅(−1,0672⋅10−11i^−0,8004⋅10−11j^) N/kg\vec{F} = 3 \text{ kg} \cdot (-1,0672 \cdot 10^{-11}\hat{i} - 0,8004 \cdot 10^{-11}\hat{j}) \text{ N} / \text{kg}
F⃗=(−3,2016⋅10−11i^−2,4012⋅10−11j^) N\vec{F} = (-3,2016 \cdot 10^{-11}\hat{i} - 2,4012 \cdot 10^{-11}\hat{j}) \text{ N}
XYmMP(m)g1
b) Halle el punto más alejado del origen que alcanzará dicha partícula.

La energía mecánica de la segunda partícula se conserva, ya que la fuerza gravitatoria es conservativa. La energía mecánica total EE es la suma de la energía cinética KK y la energía potencial gravitatoria UU:

E=K+U=12mv2−GMmrE = K + U = \frac{1}{2}mv^2 - G\frac{Mm}{r}

Inicialmente, la partícula de masa m=3 kgm=3 \text{ kg} está a una distancia r1=10 mr_1 = 10 \text{ m} del origen (calculado en el apartado a)) y se le transmite una velocidad v0=1,2⋅10−5 m⋅s−1v_0 = 1,2 \cdot 10^{-5} \text{ m} \cdot \text{s}^{-1}. Por lo tanto, la energía inicial es:

Einicial=12mv02−GMmr1E_{inicial} = \frac{1}{2}mv_0^2 - G\frac{Mm}{r_1}

En el punto más alejado del origen, la partícula se detiene momentáneamente, lo que significa que su velocidad final vf=0v_f = 0. Si r2r_2 es la distancia final, la energía final es:

Efinal=12m(0)2−GMmr2=−GMmr2E_{final} = \frac{1}{2}m(0)^2 - G\frac{Mm}{r_2} = - G\frac{Mm}{r_2}

Por el principio de conservación de la energía mecánica, Einicial=EfinalE_{inicial} = E_{final}:

12mv02−GMmr1=−GMmr2\frac{1}{2}mv_0^2 - G\frac{Mm}{r_1} = - G\frac{Mm}{r_2}

Dividiendo toda la ecuación por la masa mm de la segunda partícula (asumiendo m≠0m \neq 0):

12v02−GMr1=−GMr2\frac{1}{2}v_0^2 - G\frac{M}{r_1} = - G\frac{M}{r_2}

Despejamos 1/r21/r_2:

GMr2=GMr1−12v02G\frac{M}{r_2} = G\frac{M}{r_1} - \frac{1}{2}v_0^2
1r2=1r1−v022GM\frac{1}{r_2} = \frac{1}{r_1} - \frac{v_0^2}{2GM}

Sustituyendo los valores conocidos:

1r2=110 m−(1,2⋅10−5 m⋅s−1)22⋅(6,67⋅10−11 N⋅m2/kg2)⋅(20 kg)\frac{1}{r_2} = \frac{1}{10 \text{ m}} - \frac{(1,2 \cdot 10^{-5} \text{ m} \cdot \text{s}^{-1})^2}{2 \cdot (6,67 \cdot 10^{-11} \text{ N} \cdot \text{m}^2 / \text{kg}^2) \cdot (20 \text{ kg})}
1r2=0,1 m−1−1,44⋅10−10 m2⋅s−2266,8⋅10−11 m3⋅s−2\frac{1}{r_2} = 0,1 \text{ m}^{-1} - \frac{1,44 \cdot 10^{-10} \text{ m}^2 \cdot \text{s}^{-2}}{266,8 \cdot 10^{-11} \text{ m}^3 \cdot \text{s}^{-2}}
1r2=0,1 m−1−1,44⋅10−102,668⋅10−9 m−1\frac{1}{r_2} = 0,1 \text{ m}^{-1} - \frac{1,44 \cdot 10^{-10}}{2,668 \cdot 10^{-9}} \text{ m}^{-1}
1r2=0,1−0,053973 m−1\frac{1}{r_2} = 0,1 - 0,053973 \text{ m}^{-1}
1r2=0,046027 m−1\frac{1}{r_2} = 0,046027 \text{ m}^{-1}
r2=10,046027 m≈21,72 mr_2 = \frac{1}{0,046027} \text{ m} \approx 21,72 \text{ m}

El punto más alejado del origen que alcanzará la partícula será aproximadamente a 21,72 m21,72 \text{ m}.