T1: Interacción gravitatoria

Órbitas y energía

Problema

2022 · Extraordinaria · Titular

El satélite Sentinel-1, que forma parte del programa Copernicus, ha suministrado imágenes muy útiles para el estudio de la erupción del volcán de La Palma en 2021. Sentinel-1 tiene una masa de $2300 \text{ kg}$ y se encuentra en una órbita circular a $700 \text{ km}$ sobre la superficie terrestre.

a) Deduzca la expresión que relaciona el periodo del satélite,

T

, con el radio de su órbita,

r

, la constante de Gravitación Universal,

G

, y la masa de la Tierra,

M_T

. Calcule el tiempo que tarda Sentinel-1 en dar una vuelta completa en su órbita.b) Deduzca la expresión de la energía mecánica total de un satélite de masa

m

en una órbita circular de radio

r

, expresándola en función de

G

M_T

m

r

. Obtenga la energía mecánica total del satélite Sentinel-1.

Datos: Constante de Gravitación Universal, $G = 6,67 \cdot 10^{-11} \text{ N} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{kg}^{-2}$ ; Masa de la Tierra, $M_T = 5,97 \cdot 10^{24} \text{ kg}$ ; Radio de la Tierra, $R_T = 6,37 \cdot 10^6 \text{ m}$ .

GravitaciónSatélitesLeyes de Kepler+1

a) Deduzca la expresión que relaciona el periodo del satélite,

T

, con el radio de su órbita,

r

, la constante de Gravitación Universal,

G

, y la masa de la Tierra,

M_T

. Calcule el tiempo que tarda Sentinel-1 en dar una vuelta completa en su órbita.

Para un satélite en órbita circular, la fuerza gravitatoria entre la Tierra y el satélite proporciona la fuerza centrípeta necesaria para mantenerlo en órbita. La fuerza gravitatoria viene dada por la Ley de Gravitación Universal y la fuerza centrípeta por la Segunda Ley de Newton para un movimiento circular.

F_g = G \frac{M_T m_s}{r^2}

F_c = \frac{m_s v^2}{r}

Igualando ambas fuerzas:

G \frac{M_T m_s}{r^2} = \frac{m_s v^2}{r}

Simplificando la masa del satélite ( $m_s$ ) y el radio ( $r$ ):

v^2 = \frac{G M_T}{r}

La velocidad lineal, $v$ , en una órbita circular se relaciona con el periodo $T$ y el radio $r$ como:

v = \frac{2\pi r}{T}

Elevando al cuadrado la expresión de la velocidad y sustituyendo en la ecuación anterior:

\left(\frac{2\pi r}{T}\right)^2 = \frac{G M_T}{r}

\frac{4\pi^2 r^2}{T^2} = \frac{G M_T}{r}

Despejando el periodo $T$ :

T^2 = \frac{4\pi^2 r^3}{G M_T}

Finalmente, la expresión para el periodo es:

T = 2\pi \sqrt{\frac{r^3}{G M_T}}

Esta es la tercera Ley de Kepler.

Cálculo del tiempo que tarda Sentinel-1 en dar una vuelta completa (su periodo).El radio de la órbita ( $r$ ) es la suma del radio de la Tierra ( $R_T$ ) y la altura ( $h$ ) sobre la superficie terrestre:

r = R_T + h

r = 6,37 \cdot 10^6 \text{ m} + 700 \cdot 10^3 \text{ m} = 7,07 \cdot 10^6 \text{ m}

Sustituyendo los valores en la expresión del periodo:

T = 2\pi \sqrt{\frac{(7,07 \cdot 10^6 \text{ m})^3}{(6,67 \cdot 10^{-11} \text{ N} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{kg}^{-2})(5,97 \cdot 10^{24} \text{ kg})}}

T = 2\pi \sqrt{\frac{3,534 \cdot 10^{20} \text{ m}^3}{3,982 \cdot 10^{14} \text{ N} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{kg}^{-1}}}

T = 2\pi \sqrt{8,875 \cdot 10^5 \text{ s}^2}

T = 2\pi (942,07 \text{ s})

T = 5920,8 \text{ s}

Para expresarlo en minutos:

T = \frac{5920,8 \text{ s}}{60 \text{ s/min}} = 98,68 \text{ min}

b) Deduzca la expresión de la energía mecánica total de un satélite de masa

m

en una órbita circular de radio

r

, expresándola en función de

G

M_T

m

r

. Obtenga la energía mecánica total del satélite Sentinel-1.

La energía mecánica total ( $E_M$ ) de un satélite en órbita es la suma de su energía cinética ( $E_c$ ) y su energía potencial gravitatoria ( $E_p$ ).

E_M = E_c + E_p

La energía cinética se define como:

E_c = \frac{1}{2} m v^2

La energía potencial gravitatoria, con el cero de energía en el infinito, se define como:

E_p = -G \frac{M_T m}{r}

De la deducción del apartado a), sabemos que para una órbita circular, la velocidad tangencial satisface:

v^2 = \frac{G M_T}{r}

Sustituyendo $v^2$ en la expresión de la energía cinética:

E_c = \frac{1}{2} m \left(\frac{G M_T}{r}\right) = \frac{G M_T m}{2r}

Ahora, sumamos la energía cinética y la energía potencial para obtener la energía mecánica total:

E_M = \frac{G M_T m}{2r} - \frac{G M_T m}{r}

Combinando los términos:

E_M = \left(\frac{1}{2} - 1\right) \frac{G M_T m}{r}

La expresión de la energía mecánica total para un satélite en órbita circular es:

E_M = - \frac{G M_T m}{2r}

Cálculo de la energía mecánica total del satélite Sentinel-1.Datos:

G = 6,67 \cdot 10^{-11} \text{ N} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{kg}^{-2}

M_T = 5,97 \cdot 10^{24} \text{ kg}

m = 2300 \text{ kg}

r = 7,07 \cdot 10^6 \text{ m}

Sustituyendo los valores en la expresión de la energía mecánica total:

E_M = - \frac{(6,67 \cdot 10^{-11} \text{ N} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{kg}^{-2})(5,97 \cdot 10^{24} \text{ kg})(2300 \text{ kg})}{2(7,07 \cdot 10^6 \text{ m})}

E_M = - \frac{9,165 \cdot 10^{17} \text{ J} \cdot \text{m}}{1,414 \cdot 10^7 \text{ m}}

E_M = - 6,482 \cdot 10^{10} \text{ J}