T1: Interacción gravitatoria · Órbitas elípticas, leyes de Kepler y conservación de energía

Órbitas elípticas, leyes de Kepler y conservación de energía

Problema

2024 · Extraordinaria · Titular

Un satélite de comunicaciones orbita alrededor de la Tierra en una trayectoria elíptica cuyo apogeo se encuentra a $39700 \text{ km}$ de altitud sobre la superficie de la Tierra. Si el satélite da una vuelta completa cada $12 \text{ h}$ , determine:

a) La altura sobre la superficie terrestre a la que se encontrará el satélite en el perigeo de su trayectoria y la relación entre sus velocidades en el perigeo y en el apogeo (

v_p/v_a

).b) La velocidad del satélite en el perigeo y la velocidad hasta la que habría que reducir al satélite para que pasase de una órbita elíptica a una órbita circular de radio igual a la distancia al perigeo.

Datos: Constante de Gravitación Universal, $G = 6,67 \cdot 10^{-11} \text{ N} \cdot \text{m}^2 / \text{kg}^2$ ; Masa de la Tierra, $M_T = 5,97 \cdot 10^{24} \text{ kg}$ ; Radio de la Tierra, $R_T = 6,37 \cdot 10^6 \text{ m}$ .

GravedadÓrbitasKepler+1

a) La altura sobre la superficie terrestre a la que se encontrará el satélite en el perigeo de su trayectoria y la relación entre sus velocidades en el perigeo y en el apogeo (

v_p/v_a

Primero, convertimos las unidades dadas al Sistema Internacional:

R_T = 6,37 \cdot 10^6 \text{ m}

h_a = 39700 \text{ km} = 39700 \cdot 10^3 \text{ m} = 3,97 \cdot 10^7 \text{ m}

T = 12 \text{ h} = 12 \cdot 3600 \text{ s} = 43200 \text{ s}

Calculamos el radio de la órbita en el apogeo, que es la distancia desde el centro de la Tierra al satélite:

r_a = R_T + h_a = 6,37 \cdot 10^6 \text{ m} + 3,97 \cdot 10^7 \text{ m} = 4,607 \cdot 10^7 \text{ m}

Para determinar la altura en el perigeo, necesitamos encontrar el semieje mayor ( $a$ ) de la órbita elíptica. Utilizamos la Tercera Ley de Kepler:

T^2 = \frac{4\pi^2}{G M_T} a^3

Despejamos $a$ :

a = \left( \frac{G M_T T^2}{4\pi^2} \right)^{1/3}

Sustituimos los valores:

a = \left( \frac{(6,67 \cdot 10^{-11} \text{ N} \cdot \text{m}^2 / \text{kg}^2) \cdot (5,97 \cdot 10^{24} \text{ kg}) \cdot (43200 \text{ s})^2}{4\pi^2} \right)^{1/3}

a = \left( \frac{(3,982 \cdot 10^{14} \text{ m}^3 / \text{s}^2) \cdot (1,866 \cdot 10^9 \text{ s}^2)}{39,478} \right)^{1/3}

a = (1,882 \cdot 10^{22})^{1/3} \text{ m} \approx 2,659 \cdot 10^7 \text{ m}

En una órbita elíptica, la relación entre el semieje mayor, el radio del apogeo ( $r_a$ ) y el radio del perigeo ( $r_p$ ) es $2a = r_a + r_p$ . Despejamos $r_p$ :

r_p = 2a - r_a = 2 \cdot (2,659 \cdot 10^7 \text{ m}) - (4,607 \cdot 10^7 \text{ m})

r_p = 5,318 \cdot 10^7 \text{ m} - 4,607 \cdot 10^7 \text{ m} = 0,711 \cdot 10^7 \text{ m} = 7,11 \cdot 10^6 \text{ m}

La altura sobre la superficie terrestre en el perigeo ( $h_p$ ) se calcula como:

h_p = r_p - R_T = 7,11 \cdot 10^6 \text{ m} - 6,37 \cdot 10^6 \text{ m} = 0,74 \cdot 10^6 \text{ m}

h_p = 7,40 \cdot 10^5 \text{ m} = 740 \text{ km}

Para la relación entre las velocidades en el perigeo ( $v_p$ ) y en el apogeo ( $v_a$ ), aplicamos la conservación del momento angular. Dado que en estos puntos la velocidad es perpendicular al radiovector, la magnitud del momento angular es $L = mrv$ :

m r_p v_p = m r_a v_a

Despejamos la relación $v_p/v_a$ :

\frac{v_p}{v_a} = \frac{r_a}{r_p} = \frac{4,607 \cdot 10^7 \text{ m}}{7,11 \cdot 10^6 \text{ m}} \approx 6,479

b) La velocidad del satélite en el perigeo y la velocidad hasta la que habría que reducir al satélite para que pasase de una órbita elíptica a una órbita circular de radio igual a la distancia al perigeo.

La velocidad del satélite en cualquier punto de una órbita elíptica se puede calcular con la siguiente fórmula, donde $r$ es la distancia desde el centro de fuerzas y $a$ es el semieje mayor:

v^2 = G M_T \left( \frac{2}{r} - \frac{1}{a} \right)

Para la velocidad en el perigeo ( $v_p$ ), donde $r = r_p$ :

v_p^2 = G M_T \left( \frac{2}{r_p} - \frac{1}{a} \right)

Calculamos $G M_T = (6,67 \cdot 10^{-11} \text{ N} \cdot \text{m}^2 / \text{kg}^2) \cdot (5,97 \cdot 10^{24} \text{ kg}) = 3,982 \cdot 10^{14} \text{ m}^3 / \text{s}^2$ .

v_p^2 = (3,982 \cdot 10^{14} \text{ m}^3 / \text{s}^2) \left( \frac{2}{7,11 \cdot 10^6 \text{ m}} - \frac{1}{2,659 \cdot 10^7 \text{ m}} \right)

v_p^2 = (3,982 \cdot 10^{14}) (0,2813 \cdot 10^{-6} \cdot 2 - 0,0376 \cdot 10^{-6}) \text{ m}^2 / \text{s}^2

v_p^2 = (3,982 \cdot 10^{14}) (0,5626 \cdot 10^{-6} - 0,0376 \cdot 10^{-6}) \text{ m}^2 / \text{s}^2

v_p^2 = (3,982 \cdot 10^{14}) (0,5250 \cdot 10^{-6}) \text{ m}^2 / \text{s}^2 = 2,090 \cdot 10^8 \text{ m}^2 / \text{s}^2

v_p = \sqrt{2,090 \cdot 10^8 \text{ m}^2 / \text{s}^2} \approx 14457 \text{ m/s} = 1,45 \cdot 10^4 \text{ m/s}

Para que el satélite pase a una órbita circular de radio igual a la distancia al perigeo ( $r_p$ ), su velocidad debe ser la velocidad orbital circular ( $v_{c,p}$ ) para ese radio:

v_{c,p} = \sqrt{\frac{G M_T}{r_p}}

v_{c,p} = \sqrt{\frac{3,982 \cdot 10^{14} \text{ m}^3 / \text{s}^2}{7,11 \cdot 10^6 \text{ m}}} \text{ m/s}

v_{c,p} = \sqrt{5,601 \cdot 10^7 \text{ m}^2 / \text{s}^2} \approx 7484 \text{ m/s} = 7,48 \cdot 10^3 \text{ m/s}

La velocidad hasta la que habría que reducir el satélite es la diferencia entre su velocidad en el perigeo ( $v_p$ ) y la velocidad circular ( $v_{c,p}$ ):

\Delta v = v_p - v_{c,p} = 14457 \text{ m/s} - 7484 \text{ m/s} = 6973 \text{ m/s}