T1: Interacción gravitatoria

Problema

2023 · Ordinaria · Titular

En la película Space Cowboys un amenazador satélite militar orbita alrededor de la Tierra a una altura de $1600 \text{ km}$ sobre la superficie terrestre.

a) Calcule la velocidad orbital del satélite y el tiempo que tarda en dar una vuelta completa alrededor de la Tierra. Desprecie en este apartado la interacción gravitatoria de la Luna.b) Para evitar que el satélite caiga a la Tierra se decide impulsarlo hacia la Luna. Determine la distancia

x

al centro de la Tierra, tal y como se muestra en la figura, a la que tendrá que llegar el satélite, para que el efecto del campo gravitatorio lunar sea superior al del campo gravitatorio terrestre.

Datos: Constante de Gravitación Universal, $G = 6,67 \cdot 10^{-11} \text{ N} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{kg}^{-2}$ ; Masa de la Tierra, $M_T = 5,97 \cdot 10^{24} \text{ kg}$ ; Radio de la Tierra; $R_T = 6,37 \cdot 10^3 \text{ km}$ ; Masa de la Luna, $M_L = 7,35 \cdot 10^{22} \text{ kg}$ ; Distancia de la Tierra a la Luna, $d = 3,84 \cdot 10^5 \text{ km}$ .

Velocidad orbitalPeriodo orbitalCampo gravitatorio+1

a) Calcule la velocidad orbital del satélite y el tiempo que tarda en dar una vuelta completa alrededor de la Tierra.

Para calcular la velocidad orbital ( $v$ ) y el periodo ( $T$ ) del satélite, primero determinamos el radio de la órbita ( $r$ ), que es la suma del radio de la Tierra ( $R_T$ ) y la altura ( $h$ ) sobre la superficie terrestre.

R_T = 6,37 \cdot 10^3 \text{ km} = 6,37 \cdot 10^6 \text{ m}

h = 1600 \text{ km} = 1,60 \cdot 10^6 \text{ m}

r = R_T + h = 6,37 \cdot 10^6 \text{ m} + 1,60 \cdot 10^6 \text{ m} = 7,97 \cdot 10^6 \text{ m}

La fuerza gravitatoria proporciona la fuerza centrípeta necesaria para mantener la órbita. Por tanto, igualamos ambas fuerzas:

F_G = F_c

G \frac{M_T m}{r^2} = \frac{m v^2}{r}

Despejamos la velocidad orbital ( $v$ ):

v = \sqrt{\frac{G M_T}{r}}

Sustituimos los valores:

v = \sqrt{\frac{(6,67 \cdot 10^{-11} \text{ N} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{kg}^{-2}) \cdot (5,97 \cdot 10^{24} \text{ kg})}{7,97 \cdot 10^6 \text{ m}}}

v \approx 7068,39 \text{ m/s}

Para calcular el tiempo que tarda en dar una vuelta completa (periodo $T$ ), utilizamos la relación entre la velocidad, la distancia recorrida en una órbita ( $2\pi r$ ) y el tiempo:

v = \frac{2 \pi r}{T}

Despejamos $T$ :

T = \frac{2 \pi r}{v}

Sustituimos los valores:

T = \frac{2 \pi (7,97 \cdot 10^6 \text{ m})}{7068,39 \text{ m/s}}

T \approx 7084,5 \text{ s}

Expresando el periodo en horas, minutos y segundos:

T = 7084,5 \text{ s} \cdot \frac{1 \text{ min}}{60 \text{ s}} \cdot \frac{1 \text{ h}}{60 \text{ min}} \approx 1,968 \text{ h}

T \approx 1 \text{ h } 58 \text{ min } 4,5 \text{ s}

b) Para evitar que el satélite caiga a la Tierra se decide impulsarlo hacia la Luna. Determine la distancia

x

al centro de la Tierra, tal y como se muestra en la figura, a la que tendrá que llegar el satélite, para que el efecto del campo gravitatorio lunar sea superior al del campo gravitatorio terrestre.

El efecto del campo gravitatorio lunar será superior al terrestre cuando la intensidad del campo gravitatorio generado por la Luna sea mayor que la generada por la Tierra. En el punto exacto donde el efecto de ambos sea igual, el satélite experimentaría una fuerza neta gravitatoria nula si se encontrara entre ambos cuerpos. Buscamos el punto de equilibrio donde ambas intensidades de campo gravitatorio son iguales:

g_T = g_L

La intensidad del campo gravitatorio ( $g$ ) se define como:

g = G \frac{M}{r^2}

Sea $x$ la distancia desde el centro de la Tierra al satélite. La distancia desde el centro de la Luna al satélite será $d-x$ , donde $d$ es la distancia Tierra-Luna. Igualamos las intensidades de campo:

G \frac{M_T}{x^2} = G \frac{M_L}{(d-x)^2}

Simplificamos $G$ y reordenamos:

\frac{M_T}{x^2} = \frac{M_L}{(d-x)^2}

M_T (d-x)^2 = M_L x^2

Tomamos la raíz cuadrada en ambos lados (considerando distancias positivas):

\sqrt{M_T} (d-x) = \sqrt{M_L} x

\sqrt{M_T} d - \sqrt{M_T} x = \sqrt{M_L} x

\sqrt{M_T} d = (\sqrt{M_L} + \sqrt{M_T}) x

Despejamos $x$ :

x = \frac{\sqrt{M_T} d}{\sqrt{M_L} + \sqrt{M_T}} = \frac{d}{1 + \sqrt{\frac{M_L}{M_T}}}

Sustituimos los valores:

M_T = 5,97 \cdot 10^{24} \text{ kg}

M_L = 7,35 \cdot 10^{22} \text{ kg}

d = 3,84 \cdot 10^5 \text{ km} = 3,84 \cdot 10^8 \text{ m}

\sqrt{\frac{M_L}{M_T}} = \sqrt{\frac{7,35 \cdot 10^{22} \text{ kg}}{5,97 \cdot 10^{24} \text{ kg}}} \approx \sqrt{0,01231} \approx 0,11095

x = \frac{3,84 \cdot 10^8 \text{ m}}{1 + 0,11095} = \frac{3,84 \cdot 10^8 \text{ m}}{1,11095}

x \approx 3,4565 \cdot 10^8 \text{ m}

Convertimos a kilómetros:

x \approx 3,4565 \cdot 10^5 \text{ km}

Para que el efecto del campo gravitatorio lunar sea superior al del terrestre, el satélite tendrá que llegar a una distancia $x$ mayor a la calculada desde el centro de la Tierra.