Un hilo conductor de longitud indefinida se extiende a lo largo del eje . Otro hilo de longitud indefinida paralelo al primero pasa por el punto . Los dos hilos se repelen con una fuerza por unidad de longitud de . El campo magnético total se anula a lo largo de la recta en el plano .
a) Explique si las corrientes en los hilos son paralelas o antiparalelas y calcule su magnitud.b) Determine el módulo del campo magnético en el punto .Dato: Permeabilidad magnética del vacío, .
La fuerza entre dos hilos conductores rectilíneos y paralelos es atractiva si las corrientes circulan en el mismo sentido (paralelas) y repulsiva si circulan en sentidos opuestos (antiparalelas). Dado que los dos hilos se repelen, las corrientes en los hilos deben ser antiparalelas.La fuerza por unidad de longitud entre dos hilos conductores paralelos se calcula mediante la fórmula:
Donde es la permeabilidad magnética del vacío, e son las intensidades de las corrientes y es la distancia entre los hilos.El campo magnético producido por un hilo conductor infinito a una distancia es:
Sea el hilo 1 situado en el eje (es decir, en ) y el hilo 2 en . El punto donde el campo magnético total se anula es . En este punto, los campos magnéticos creados por cada hilo deben tener la misma magnitud y direcciones opuestas.La distancia del hilo 1 al punto de anulación es . La distancia del hilo 2 al punto de anulación es . Para que los campos se anulen en un punto externo a ambos hilos, las corrientes deben ser antiparalelas, lo cual es consistente con la repulsión.
Ahora usamos la información de la fuerza por unidad de longitud () y la distancia entre los hilos :
Sustituimos y los valores conocidos:
Y por lo tanto, la corriente del primer hilo es:
El punto de interés es . El hilo 1 está en y el hilo 2 en . Las corrientes son antiparalelas. Asumamos que circula en el sentido positivo del eje y en el sentido negativo del eje .Distancia del hilo 1 a P: . Distancia del hilo 2 a P: .Calculamos el módulo del campo magnético producido por cada hilo en el punto P:
Para determinar la dirección del campo total, aplicamos la regla de la mano derecha: Si (en ) va en , el campo en (como ) apunta en la dirección . Si (en ) va en , el campo en (como ) también apunta en la dirección . Dado que ambos campos apuntan en la misma dirección (), el campo magnético total en el punto es la suma de los módulos:
El módulo del campo magnético total en el punto es .
Dos partículas situadas en los puntos y del plano poseen cargas iguales de . Obtenga el potencial eléctrico y el campo eléctrico en:
a) El origen de coordenadas.b) El punto .Dato: Constante de la ley de Coulomb, .
Datos:
El potencial eléctrico en un punto debido a una carga puntual se calcula con la fórmula . Para un sistema de cargas, el potencial total es la suma algebraica de los potenciales individuales.
La distancia de ambas cargas al origen es la misma:
El campo eléctrico en un punto debido a una carga puntual se calcula con la fórmula , donde es el vector unitario que apunta desde la carga hacia el punto de interés. Para un sistema de cargas, el campo eléctrico total es la suma vectorial de los campos individuales.
Para en y el punto de interés en :
Para en y el punto de interés en :
El campo eléctrico total en el origen es:
Las cargas y están en y mm, respectivamente. El punto de interés es mm.La distancia de ambas cargas al punto P es la misma, por simetría:
El potencial eléctrico en el punto P es:
Para el campo eléctrico, necesitamos los vectores unitarios.
Vector desde a P:
Vector desde a P:
El campo eléctrico total en el punto P es la suma vectorial de y :
Una partícula con carga está situada en el origen de coordenadas mientras que una segunda partícula con carga está situada en el punto del plano .
a) Obtenga el campo eléctrico generado por ambas cargas en el punto .b) Determine el punto situado entre ambas cargas en el que si situásemos un electrón la fuerza total sobre este sería nula. Obtenga el trabajo realizado por la fuerza electrostática para traer dicho electrón desde el infinito hasta el punto anterior.Datos: Constante de la ley de Coulomb, ; Valor absoluto de la carga del electrón, .
Las cargas son en el origen y en . El punto de interés es . La constante de Coulomb es . El campo eléctrico generado por una carga puntual en un punto con vector de posición respecto a la carga es:
Donde es el vector unitario que va de la carga al punto.Campo eléctrico debido a en :
Campo eléctrico debido a en :
El campo eléctrico total en el punto es la suma vectorial de y :
Para que la fuerza total sobre un electrón sea nula, el campo eléctrico total en ese punto debe ser nulo. Dado que ambas cargas ( y ) son positivas y están situadas en el eje , el punto donde el campo eléctrico es cero debe estar entre ellas en el eje . Sea este punto (con ). En este punto, los campos eléctricos generados por y deben tener la misma magnitud y dirección opuesta.
Resolviendo la ecuación cuadrática:
Para que el punto esté entre las cargas, . El valor positivo es:
El punto donde la fuerza es nula está en .El trabajo realizado por la fuerza electrostática para traer un electrón desde el infinito hasta este punto es:
Donde y el potencial en el infinito . Por lo tanto, .Primero calculamos el potencial en el punto debido a ambas cargas:
Racionalizando los denominadores:
Finalmente, el trabajo realizado por la fuerza electrostática:
Dos hilos indefinidos paralelos al eje llevan intensidades iguales y cortan el plano en los puntos y , respectivamente. Si el primer hilo, el que pasa por el origen, lleva su intensidad en el sentido positivo del eje y el segundo en sentido negativo, determine el campo magnético en los puntos:
a) .b) .Dato: Permeabilidad magnética del vacío, .
La expresión para el campo magnético producido por un hilo conductor rectilíneo e indefinido que transporta una corriente y que se encuentra a una distancia del punto de interés, es:
La dirección del campo se determina mediante la regla de la mano derecha. Para un hilo paralelo al eje que pasa por el origen y lleva corriente en sentido , el campo en un punto es . Si la corriente es en sentido , el campo es . Datos: Calculamos el factor común: .
a) Campo magnético en el punto .El campo magnético total en A es la suma vectorial de los campos producidos por cada hilo: .Campo debido a (hilo 1 en , corriente en sentido ):La posición del punto A respecto al hilo 1 es . La distancia es . Usando la fórmula con corriente en sentido :
Campo debido a (hilo 2 en , corriente en sentido ):La posición del punto A respecto al hilo 2 es . La distancia es . Usando la fórmula con corriente en sentido :
Campo magnético total en A:
El campo magnético total en B es la suma vectorial de los campos producidos por cada hilo: .Campo debido a (hilo 1 en , corriente en sentido ):La posición del punto B respecto al hilo 1 es . La distancia es . Usando la fórmula con corriente en sentido :
Campo debido a (hilo 2 en , corriente en sentido ):La posición del punto B respecto al hilo 2 es . La distancia es . Usando la fórmula con corriente en sentido :
Campo magnético total en B:
Un hilo conductor de longitud indefinida se extiende a lo largo del eje . Otro hilo de longitud indefinida paralelo al primero pasa por el punto . Los dos hilos se repelen con una fuerza por unidad de longitud de . El campo magnético total se anula a lo largo de la recta en el plano .
a) Explique si las corrientes en los hilos son paralelas o antiparalelas y calcule su magnitud.b) Determine el módulo del campo magnético en el punto .Dato: Permeabilidad magnética del vacío, .
La fuerza entre dos hilos conductores rectilíneos y paralelos es de repulsión si las corrientes que circulan por ellos son antiparalelas (es decir, en sentidos opuestos). Si las corrientes fueran paralelas, la fuerza sería de atracción. Dado que los hilos se repelen, las corrientes deben ser antiparalelas.Denominemos a la corriente que circula por el hilo del eje (punto ) e a la corriente que circula por el hilo que pasa por . Sea la distancia entre los hilos. La fuerza por unidad de longitud entre dos hilos paralelos viene dada por la expresión:
Sustituyendo los valores conocidos:
El campo magnético total se anula en la recta en el plano . Sea este punto. Las distancias de los hilos a este punto son:
Para que el campo magnético total se anule en , los campos magnéticos creados por cada hilo deben tener el mismo módulo y direcciones opuestas. Si asumimos, por ejemplo, que circula en el sentido y en el sentido (ya que son antiparalelas):* El campo magnético generado por en (a la derecha de ) apunta en la dirección .* El campo magnético generado por en (a la derecha de ) apunta en la dirección . (Un campo magnético creado por una corriente en el sentido genera un campo horario; a la derecha de la corriente, apunta en ).Dado que las direcciones son opuestas, los campos pueden anularse si sus módulos son iguales. El módulo del campo magnético generado por un hilo infinito es . Para que , se debe cumplir que :
Ahora, resolvemos el sistema de ecuaciones (1) y (2):
Sea el punto de interés. Las distancias de los hilos a este punto son:
Calculamos el módulo de los campos magnéticos generados por cada hilo en el punto :
Ahora, determinamos la dirección de los campos en (asumiendo en e en ):* Para (en , en el origen), en (a la izquierda de ), el campo apunta en la dirección .* Para (en , en ), en (a la izquierda de ), el campo apunta en la dirección .El campo magnético total en es la suma vectorial de y :
El módulo del campo magnético total en el punto es:
Dos partículas situadas en los puntos y del plano poseen cargas iguales de . Obtenga el potencial eléctrico y el campo eléctrico en:
a) El origen de coordenadas.b) El punto .Dato: Constante de la ley de Coulomb, .
Datos del problema:
Sea el punto de interés. La distancia de cada carga al origen es la misma, .El potencial eléctrico es una magnitud escalar. El potencial total en el origen es la suma algebraica de los potenciales creados por cada carga:
Dado que , tenemos:
El campo eléctrico es una magnitud vectorial. El campo total en el origen es la suma vectorial de los campos creados por cada carga. La carga está en el lado negativo del eje x y es positiva, por lo que su campo en el origen apunta en la dirección . La carga está en el lado positivo del eje x y es positiva, por lo que su campo en el origen apunta en la dirección . Las magnitudes de ambos campos son iguales debido a la simetría del problema ( y ). Por lo tanto, se anulan.
Sea el punto de interés. Primero calculamos la distancia de cada carga al punto . Dada la simetría del problema, ambas distancias son iguales.
El potencial eléctrico en el punto es la suma algebraica de los potenciales individuales:
Dado que , tenemos:
El campo eléctrico en el punto es la suma vectorial de los campos creados por cada carga. Los campos (debido a ) y (debido a ) tienen la misma magnitud y dirección tal que sus componentes en el eje se cancelan debido a la simetría, mientras que sus componentes en el eje se suman. El campo resultante estará dirigido a lo largo del eje positivo.La magnitud de cada campo es:
La componente de cada campo es , donde . El campo total es en la dirección .
Una partícula con carga está situada en el origen de coordenadas mientras que una segunda partícula con carga está situada en el punto del plano .
a) Obtenga el campo eléctrico generado por ambas cargas en el punto .b) Determine el punto situado entre ambas cargas en el que si situásemos un electrón la fuerza total sobre este sería nula. Obtenga el trabajo realizado por la fuerza electrostática para traer dicho electrón desde el infinito hasta el punto anterior.Datos: Constante de la ley de Coulomb, ; Valor absoluto de la carga del electrón, .
Las cargas son situada en el origen y situada en . El punto de interés es . La constante de Coulomb es .
El campo eléctrico generado por una carga puntual en un punto con vector de posición respecto a la carga es:
donde es el vector unitario en la dirección de . Calculamos los vectores de posición y sus módulos desde cada carga hasta el punto P.Para en al punto :
El campo eléctrico debido a es:
Para en al punto :
El campo eléctrico debido a es:
El campo eléctrico total en el punto P es la suma vectorial de y :
Sustituyendo los valores numéricos (, ):
Para que la fuerza total sobre un electrón () sea nula, el campo eléctrico total en ese punto debe ser cero. Las cargas y son positivas. Para que sus campos eléctricos se cancelen, el punto debe estar en la línea que las une y entre ellas. Sea la distancia desde el origen (donde está ) hasta este punto.El campo eléctrico debido a apunta en la dirección , y el campo eléctrico debido a apunta en la dirección . Sus magnitudes deben ser iguales:
Tomando la raíz cuadrada de ambos lados (considerando que debe ser positivo y menor que 6):
Para simplificar, multiplicamos por el conjugado:
Sustituyendo :
El punto está en .Ahora, determinamos el trabajo realizado por la fuerza electrostática para traer un electrón desde el infinito hasta este punto. El trabajo realizado por una fuerza conservativa es . Dado que , . Necesitamos calcular el potencial eléctrico en el punto donde el campo es nulo.
Sabemos que , entonces .
Racionalizando los denominadores:
Sustituyendo :
El trabajo realizado es:
Dos hilos indefinidos paralelos al eje llevan intensidades iguales y cortan el plano en los puntos y , respectivamente. Si el primer hilo, el que pasa por el origen, lleva su intensidad en el sentido positivo del eje y el segundo en sentido negativo, determine el campo magnético en los puntos:
a) .b) .Dato: Permeabilidad magnética del vacío, .
El campo magnético generado por un hilo conductor rectilíneo e indefinido que transporta una corriente a una distancia viene dado por la Ley de Ampère:
La dirección y sentido del campo magnético se determinan mediante la regla de la mano derecha. Para un hilo paralelo al eje con corriente en el sentido , el campo gira en sentido antihorario. Para corriente en el sentido , el campo gira en sentido horario.Consideremos los hilos:Hilo 1: Pasa por m, con corriente en sentido .Hilo 2: Pasa por m, con corriente en sentido .La permeabilidad magnética del vacío es .El campo magnético total en un punto será la suma vectorial de los campos generados por cada hilo: .
a) Campo magnético en el punto .Para el hilo 1 (en m, en ):La distancia del punto al hilo 1 es .La magnitud del campo es:
Aplicando la regla de la mano derecha (corriente en ), el campo en apunta en la dirección . Por lo tanto:
Para el hilo 2 (en m, en ):La distancia del punto al hilo 2 es .La magnitud del campo es:
Aplicando la regla de la mano derecha (corriente en ), el campo en tiene una componente en y otra en . El vector de posición relativa del hilo 2 al punto A es . Para una corriente en , el campo magnético está en la dirección perpendicular y en sentido horario. Un vector perpendicular a en sentido horario es . Normalizando y multiplicando por la magnitud:
El campo magnético total en el punto es la suma vectorial:
Para el hilo 1 (en m, en ):La distancia del punto al hilo 1 es .La magnitud del campo es:
El vector de posición relativa del hilo 1 al punto B es . Para una corriente en , el campo magnético está en la dirección perpendicular y en sentido antihorario. Un vector perpendicular a en sentido antihorario es . Normalizando y multiplicando por la magnitud:
Para el hilo 2 (en m, en ):La distancia del punto al hilo 2 es .La magnitud del campo es:
El vector de posición relativa del hilo 2 al punto B es . Para una corriente en , el campo magnético está en la dirección perpendicular y en sentido horario. Un vector perpendicular a en sentido horario es . Normalizando y multiplicando por la magnitud:
El campo magnético total en el punto es la suma vectorial:
Una espira cuadrada gira con un período de en presencia de un campo magnético uniforme de perpendicular al eje de giro. Sabiendo que en el instante inicial su flujo magnético es máximo e igual a , determine:
Sustituyendo el período dado:
El flujo magnético máximo se define como . A partir de esta relación, podemos calcular el área de la espira:
Sustituimos los valores conocidos, teniendo en cuenta que :
Como la espira es cuadrada, su área es , donde es la longitud del lado. Por lo tanto:
La longitud del lado de la espira es de .La expresión general del flujo magnético a través de una espira giratoria en un campo uniforme es . Dado que en el instante inicial () el flujo es máximo, el ángulo inicial debe ser , de modo que . Así, la expresión queda:
Sustituyendo los valores de y :
Derivamos la expresión del flujo magnético obtenida en el apartado anterior respecto al tiempo:
Ahora sustituimos esta derivada en la Ley de Faraday:
Sustituimos los valores de y :
Para calcular el valor de la fem inducida en , sustituimos este valor en la expresión anterior:
Como :
Dos cargas puntuales de y están situadas en los puntos y del plano , respectivamente. Calcule:
a) El trabajo que realiza el campo eléctrico para traer una carga de desde el infinito al punto del plano .b) La fuerza total sobre la carga situada en el punto ejercida por las otras dos.Dato: Constante de Coulomb, .
El trabajo realizado por el campo eléctrico para mover una carga desde el infinito () hasta un punto P es . Primero, calculamos el potencial eléctrico en el punto debido a las cargas y .Las cargas y sus posiciones son: en en La carga a mover es al punto .Calculamos las distancias y desde y al punto P:
El potencial eléctrico en el punto es la suma de los potenciales creados por cada carga:
Ahora, calculamos el trabajo realizado por el campo eléctrico para traer la carga desde el infinito hasta el punto P:
La fuerza total sobre la carga es la suma vectorial de las fuerzas individuales ejercidas por y sobre .Calculamos la fuerza ejercida por sobre :El vector de posición de a es .La distancia . El vector unitario es .Como es negativa y es positiva, la fuerza es atractiva, apuntando en la dirección opuesta a .
Calculamos la fuerza ejercida por sobre :El vector de posición de a es .La distancia . El vector unitario es .Como es positiva y es positiva, la fuerza es repulsiva, apuntando en la dirección de .
La fuerza total es la suma vectorial de y :
Tres cargas y se encuentran situadas en los puntos del plano y , respectivamente, tal y como se describe en la figura. Determine, en función de la constante de Coulomb, , el valor de la carga, , y la distancia, :
Dato: Permitividad eléctrica del vacío; .
Para determinar la fuerza electrostática sobre la carga situada en , debemos calcular la suma vectorial de las fuerzas ejercidas por las otras dos cargas, en y en . Aplicaremos la Ley de Coulomb.
Cálculo de la fuerza ejercida por en sobre en :
Cálculo de la fuerza ejercida por en sobre en :
La fuerza electrostática total sobre la carga en es la suma vectorial:
El trabajo realizado por la fuerza electrostática para traer la carga desde el infinito a la posición es , ya que el potencial en el infinito es cero. La energía potencial de la carga en se calcula a partir del potencial eléctrico creado por las otras cargas ( y ) en esa posición.
Potencial en debido a en :
Potencial en debido a en :
El potencial total en es:
La energía potencial de la carga en es:
El trabajo realizado por la fuerza electrostática es:
Según la Ley de Gauss, el flujo eléctrico a través de una superficie cerrada es directamente proporcional a la carga neta encerrada por la superficie e inversamente proporcional a la permitividad eléctrica del vacío, .
Dado que , podemos expresar el flujo como:
Flujo a través de la superficie :Observando la figura, la superficie cerrada encierra las cargas (en ) y (en ).
Flujo a través de la superficie :Observando la figura, la superficie cerrada encierra las cargas (en ) y (en ).
Un ion de se sitúa inicialmente en reposo dentro de una región del espacio donde existe un campo eléctrico homogéneo de que está dirigido a lo largo del eje .
a) Calcule la aceleración que experimenta el ion en el instante inicial.b) Determine la fuerza total sobre el ion si a los de ser depositado se aplica un campo magnético homogéneo de a lo largo del eje .Datos: Masa atómica del ion de , ; Número de Avogadro, ; Valor absoluto de la carga del electrón, .
Datos iniciales:
Primero, calculamos la masa del ion de en kilogramos:
La fuerza eléctrica que actúa sobre el ion viene dada por la expresión:
Sustituyendo los valores:
Según la segunda ley de Newton, la fuerza neta es igual al producto de la masa por la aceleración (). Por lo tanto, la aceleración es:
Sustituyendo los valores:
Primero, calculamos la velocidad que adquiere el ion a los debido a la aceleración constante. Como parte del reposo, .
Tiempo:
Ahora, se aplica un campo magnético . La fuerza total sobre el ion será la suma de la fuerza eléctrica y la fuerza magnética (Fuerza de Lorentz):
La fuerza eléctrica ya la hemos calculado en el apartado a):
La fuerza magnética se calcula con la expresión:
Calculamos el producto vectorial :
Ahora calculamos la fuerza magnética:
Finalmente, la fuerza total sobre el ion es la suma vectorial de ambas fuerzas:
Una carga situada en un punto del plano da lugar a un potencial de y a un campo eléctrico en el origen de coordenadas.
a) Determine el valor de la carga y su posición.b) Se trae una segunda carga desde el infinito hasta el origen de coordenadas, proceso en el que la fuerza ejercida por la primera carga realiza un trabajo de . Determine el valor de la segunda carga.Dato: Constante de la ley de Coulomb, .
El potencial y el campo eléctrico creados por una carga puntual a una distancia vienen dados por las expresiones:
donde es el vector unitario que va desde la carga hasta el punto donde se mide el campo. En este caso, el punto de medida es el origen . Si la carga está en la posición , el vector desde la carga al origen es . La distancia es .El módulo del campo eléctrico y el potencial están relacionados por y . Por lo tanto, podemos relacionarlos como:
Si la carga es positiva, , y la relación es . Si la carga es negativa, , y la relación es . Dado que es positivo, la carga debe ser positiva. Entonces, podemos usar:
Sustituyendo los valores dados:
Ahora podemos calcular el valor de la carga utilizando la expresión del potencial:
Por lo tanto, la carga es .Para determinar la posición de la carga , consideramos la dirección del campo eléctrico en el origen: . Esto indica que el campo apunta en la dirección negativa del eje . Como la carga es positiva, el campo eléctrico que crea apunta alejándose de ella.Para que el campo en el origen apunte en la dirección , la carga debe estar situada en el eje positivo, por encima del origen, es decir, en con . La distancia calculada es .Así, la posición de la carga es . El diagrama muestra la configuración.
b) Se trae una segunda carga desde el infinito hasta el origen de coordenadas, proceso en el que la fuerza ejercida por la primera carga realiza un trabajo de . Determine el valor de la segunda carga.El trabajo realizado por la fuerza eléctrica al mover una carga desde el infinito () hasta un punto donde el potencial es viene dado por:
Donde es el potencial creado por la carga en el origen, que ya conocemos (). El trabajo realizado es .Despejamos el valor de la segunda carga :
Por lo tanto, la segunda carga es .
Dos hilos rectilíneos indefinidos, paralelos al eje , están respectivamente situados en y . El primero de ellos conduce una corriente de en el sentido positivo del eje . Si un electrón viaja en línea recta con velocidad a lo largo de sin desviarse, calcule:
a) La intensidad de corriente en el segundo hilo, especificando su sentido.b) La fuerza que experimentaría un electrón que pasara por el origen de coordenadas con velocidad .Datos: Permeabilidad magnética del vacío, ; Valor absoluto de la carga del electrón, .
El campo magnético producido por un hilo rectilíneo indefinido por el que circula una corriente a una distancia viene dado por la ley de Ampère:
La dirección del campo magnético se determina mediante la regla de la mano derecha. Para que el electrón se mueva en línea recta sin desviarse a lo largo de , la fuerza magnética neta sobre él debe ser cero. Dado que la velocidad del electrón es y los campos magnéticos generados por los hilos (paralelos al eje ) estarán en el plano , la fuerza de Lorentz no sería cero a menos que . Por lo tanto, el campo magnético total en debe ser nulo.Primero, calculamos el campo magnético generado por el primer hilo en :El hilo 1 está en y conduce una corriente en el sentido positivo del eje ().La distancia desde el hilo 1 al punto es .Aplicando la regla de la mano derecha (pulgar en , punto de campo a la derecha del hilo), el campo magnético apunta en el sentido negativo del eje ().
Para que el campo total sea cero en , el campo generado por el segundo hilo debe ser igual y opuesto a :
Esto significa que debe apuntar en el sentido positivo del eje () en .El hilo 2 está en . La distancia desde el hilo 2 al punto es .El punto se encuentra a la derecha del hilo 2. Para que el campo magnético apunte en el sentido positivo de () en un punto a su derecha, la corriente debe circular en el sentido negativo del eje (hacia abajo), aplicando la regla de la mano derecha.Ahora calculamos la magnitud de :
La intensidad de corriente en el segundo hilo es de en el sentido negativo del eje .
b) La fuerza que experimentaría un electrón que pasara por el origen de coordenadas con velocidad .Primero, calculamos el campo magnético total en el origen de coordenadas .Campo magnético en el origen debido al hilo 1 ( en en ):La distancia es .El origen está a la derecha del hilo 1. Con en , apunta en el sentido positivo del eje ().
Campo magnético en el origen debido al hilo 2 ( en en ):La distancia es .El origen está a la izquierda del hilo 2. Con en , apunta en el sentido positivo del eje ().
El campo magnético total en el origen es la suma vectorial de ambos campos:
La fuerza que experimenta un electrón (carga ) que se mueve con velocidad en un campo magnético viene dada por la fuerza de Lorentz:
Sabiendo que :
La fuerza que experimentaría el electrón es de en el sentido negativo del eje .
La figura representa una varilla metálica de de longitud, cuyos extremos deslizan sin rozamiento sobre unos raíles horizontales, paralelos al eje , metálicos y de resistencia despreciable. La varilla tiene resistencia despreciable y su velocidad es . Los raíles están conectados en por una resistencia de valor . En la región hay un campo magnético uniforme . Calcule:
Los datos proporcionados son:
La fuerza electromotriz (FEM) inducida en la varilla en movimiento dentro de un campo magnético se calcula mediante la expresión:
Primero, calculamos el producto vectorial :
Dado que :
La dirección de la FEM inducida (y por lo tanto de la corriente) a lo largo de la varilla es en la dirección de . Por lo tanto, el vector longitud de la varilla se considera . Sustituyendo los valores:
De acuerdo con la Ley de Ohm, la intensidad de la corriente en el circuito es:
La corriente circula en sentido antihorario (de la parte inferior a la superior de la varilla, luego a través del raíl superior, la resistencia y el raíl inferior).
b) La fuerza que el campo magnético ejerce sobre la varilla.La fuerza magnética que el campo magnético ejerce sobre un conductor por el que circula una corriente se calcula mediante la expresión:
Sustituimos los valores conocidos:
Dado que :
Esta fuerza se opone al movimiento de la varilla, lo cual es consistente con la Ley de Lenz.
Una carga puntual positiva está situada en el punto del plano . En otro punto del plano se coloca una segunda carga puntual, también positiva y de magnitud el cuádruple de la primera, haciendo que el campo se anule en el origen de coordenadas.
a) Determine la posición de la segunda carga.b) Si el potencial en el origen de coordenadas vale , encuentre el valor de las cargas.Dato: Constante de la ley de Coulomb, .
Las cargas son positivas. Para que el campo eléctrico se anule en el origen de coordenadas, , los campos generados por cada carga deben ser de igual magnitud y dirección opuesta. Dado que ambas cargas son positivas, sus campos en el origen apuntarán alejándose de ellas. Esto significa que las cargas deben estar situadas en lados opuestos del origen y sobre la misma línea que pasa por él.La carga está en . La distancia de al origen es:
El vector de posición de es . El vector desde hasta el origen es . Como es positiva, el campo en el origen apunta en la dirección de (alejándose de ). Por lo tanto:
Para que el campo total en el origen sea cero, el campo debe ser opuesto a :
La carga también es positiva, por lo que su campo en el origen debe apuntar alejándose de . Si apunta en la dirección , entonces debe estar situada en la dirección opuesta, es decir, su vector de posición debe ser de la forma para alguna constante . Por lo tanto, se encuentra en la misma línea que y el origen, pero al lado opuesto del origen.
Igualando las expresiones para y sabiendo que :
Cancelando y sustituyendo y , y :
Por lo tanto, la posición de la segunda carga es:
Así, la posición de la segunda carga es . Su distancia al origen es .
b) Si el potencial en el origen de coordenadas vale , encuentre el valor de las cargas.El potencial eléctrico en el origen es la suma escalar de los potenciales creados por cada carga:
Sustituimos los valores conocidos: , , , y .
Despejamos :
Ahora calculamos :
Los valores de las cargas son y .
Dos cargas puntuales y se encuentran en el plano en los puntos y , respectivamente. Calcule:
a) El campo eléctrico creado por ambas cargas en el punto .b) Las coordenadas del punto del eje x situado a la izquierda de la carga () en el que el potencial electrostático creado por ambas cargas es cero.Dato: Constante de la ley de Coulomb, .
El campo eléctrico creado por una carga puntual en un punto se calcula mediante la fórmula:
donde es la constante de Coulomb, es la carga, es la distancia desde la carga al punto y es el vector posición desde la carga al punto. El campo eléctrico total es la suma vectorial de los campos creados por cada carga.Cargas y sus posiciones:
Punto de interés: . Constante de Coulomb: .Cálculo del campo eléctrico debido a :Vector posición desde a : .Módulo de : .
Cálculo del campo eléctrico debido a :Vector posición desde a : .Módulo de : .
Cálculo del campo eléctrico total :
Expresado numéricamente (aproximado a dos decimales):
El potencial electrostático creado por una carga puntual a una distancia es:
El potencial total en un punto es la suma algebraica de los potenciales creados por cada carga. Sea el punto en el eje x donde el potencial es cero, con la condición .Las distancias de las cargas al punto son:
El potencial total debe ser cero: .
Dividiendo por y sustituyendo las distancias y los valores de las cargas:
Dividimos toda la ecuación por :
Multiplicando en cruz:
Este valor cumple la condición de estar a la izquierda de (). Por lo tanto, las coordenadas del punto son .
Una espira cuadrada de de lado se somete a la acción de un campo magnético variable con el tiempo perpendicular al plano de la espira. Halle el flujo magnético y la fem inducida en la espira en el tiempo en los siguientes casos:
a) Cuando el campo magnético es , con igual a .b) Cuando el campo magnético es , donde está en y está en .Datos comunes para ambos apartados:
El campo magnético es perpendicular al plano de la espira, por lo tanto, el ángulo entre el vector campo magnético y el vector superficie es o . Asumiendo , el flujo magnético se calcula como:
La fuerza electromotriz (fem) inducida se calcula mediante la Ley de Faraday:
Calculamos el flujo magnético :
Ahora, evaluamos el flujo magnético en :
Calculamos la fem inducida derivando el flujo magnético respecto al tiempo:
La fem inducida es constante, por lo tanto, en es:
Calculamos el flujo magnético :
Ahora, evaluamos el flujo magnético en :
Calculamos la fem inducida derivando el flujo magnético respecto al tiempo. Recordamos que :
Ahora, evaluamos la fem inducida en :