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T2: Interacción electromagnética
Interacción electrostática
Problema
2023 · Ordinaria · Suplente
B3
Examen

Dos cargas puntuales de −3 μC-3 \text{ } \mu\text{C} y +2 μC+2 \text{ } \mu\text{C} están situadas en los puntos (−2,0) m(-2, 0) \text{ m} y (3,0) m(3, 0) \text{ m} del plano xyxy, respectivamente. Calcule:

a) El trabajo que realiza el campo eléctrico para traer una carga de +4 μC+4 \text{ } \mu\text{C} desde el infinito al punto (0,4) m(0, 4) \text{ m} del plano xyxy.b) La fuerza total sobre la carga situada en el punto (0,4) m(0, 4) \text{ m} ejercida por las otras dos.

Dato: Constante de Coulomb, K=9⋅109 N⋅m2⋅C−2K = 9 \cdot 10^{9} \text{ N} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{C}^{-2}.

Campo eléctricoPotencial eléctricoFuerza eléctrica
a) El trabajo que realiza el campo eléctrico para traer una carga de +4 μC+4 \text{ } \mu\text{C} desde el infinito al punto (0,4) m(0, 4) \text{ m} del plano xyxy.

El trabajo realizado por el campo eléctrico para mover una carga q3q_3 desde el infinito (V∞=0V_\infty = 0) hasta un punto P es W∞→P=−q3VPW_{\infty \to P} = -q_3 V_P. Primero, calculamos el potencial eléctrico VPV_P en el punto (0,4) m(0, 4) \text{ m} debido a las cargas q1q_1 y q2q_2.Las cargas y sus posiciones son:q1=−3 μC=−3⋅10−6 Cq_1 = -3 \text{ } \mu\text{C} = -3 \cdot 10^{-6} \text{ C} en P1=(−2,0) mP_1 = (-2, 0) \text{ m} q2=+2 μC=+2⋅10−6 Cq_2 = +2 \text{ } \mu\text{C} = +2 \cdot 10^{-6} \text{ C} en P2=(3,0) mP_2 = (3, 0) \text{ m} La carga a mover es q3=+4 μC=+4⋅10−6 Cq_3 = +4 \text{ } \mu\text{C} = +4 \cdot 10^{-6} \text{ C} al punto P=(0,4) mP = (0, 4) \text{ m}.Calculamos las distancias r1r_1 y r2r_2 desde q1q_1 y q2q_2 al punto P:

r1=(0−(−2))2+(4−0)2=22+42=4+16=20 mr_1 = \sqrt{(0 - (-2))^2 + (4 - 0)^2} = \sqrt{2^2 + 4^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20} \text{ m}
r2=(0−3)2+(4−0)2=(−3)2+42=9+16=25=5 mr_2 = \sqrt{(0 - 3)^2 + (4 - 0)^2} = \sqrt{(-3)^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \text{ m}

El potencial eléctrico VPV_P en el punto (0,4) m(0, 4) \text{ m} es la suma de los potenciales creados por cada carga:

VP=Kq1r1+Kq2r2V_P = K \frac{q_1}{r_1} + K \frac{q_2}{r_2}
VP=(9⋅109 N⋅m2⋅C−2)(−3⋅10−6 C20 m++2⋅10−6 C5 m)V_P = (9 \cdot 10^{9} \text{ N} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{C}^{-2}) \left( \frac{-3 \cdot 10^{-6} \text{ C}}{\sqrt{20} \text{ m}} + \frac{+2 \cdot 10^{-6} \text{ C}}{5 \text{ m}} \right)
VP=9⋅103(−320+25) VV_P = 9 \cdot 10^3 \left( \frac{-3}{\sqrt{20}} + \frac{2}{5} \right) \text{ V}
VP=9⋅103(−0.6708+0.4) V=9⋅103(−0.2708) VV_P = 9 \cdot 10^3 \left( -0.6708 + 0.4 \right) \text{ V} = 9 \cdot 10^3 (-0.2708) \text{ V}
VP≈−2437.41 VV_P \approx -2437.41 \text{ V}

Ahora, calculamos el trabajo realizado por el campo eléctrico para traer la carga q3q_3 desde el infinito hasta el punto P:

W∞→P=−q3VPW_{\infty \to P} = -q_3 V_P
W∞→P=−(+4⋅10−6 C)(−2437.41 V)W_{\infty \to P} = -(+4 \cdot 10^{-6} \text{ C}) (-2437.41 \text{ V})
W∞→P≈9.75⋅10−3 JW_{\infty \to P} \approx 9.75 \cdot 10^{-3} \text{ J}
b) La fuerza total sobre la carga situada en el punto (0,4) m(0, 4) \text{ m} ejercida por las otras dos.

La fuerza total sobre la carga q3q_3 es la suma vectorial de las fuerzas individuales ejercidas por q1q_1 y q2q_2 sobre q3q_3.Calculamos la fuerza F⃗13\vec{F}_{13} ejercida por q1q_1 sobre q3q_3:El vector de posición de q1q_1 a q3q_3 es r⃗13=P−P1=(0−(−2))i^+(4−0)j^=2i^+4j^ m\vec{r}_{13} = P - P_1 = (0 - (-2))\hat{i} + (4 - 0)\hat{j} = 2\hat{i} + 4\hat{j} \text{ m}.La distancia r13=20 mr_{13} = \sqrt{20} \text{ m}. El vector unitario es r^13=2i^+4j^20\hat{r}_{13} = \frac{2\hat{i} + 4\hat{j}}{\sqrt{20}}.Como q1q_1 es negativa y q3q_3 es positiva, la fuerza es atractiva, apuntando en la dirección opuesta a r^13\hat{r}_{13}.

F⃗13=Kq1q3r132r^13\vec{F}_{13} = K \frac{q_1 q_3}{r_{13}^2} \hat{r}_{13}
F⃗13=(9⋅109)(−3⋅10−6)(+4⋅10−6)(20)2(2i^+4j^20) N\vec{F}_{13} = (9 \cdot 10^{9}) \frac{(-3 \cdot 10^{-6}) (+4 \cdot 10^{-6})}{(\sqrt{20})^2} \left( \frac{2\hat{i} + 4\hat{j}}{\sqrt{20}} \right) \text{ N}
F⃗13=(9⋅109)−12⋅10−1220(2i^+4j^20) N\vec{F}_{13} = (9 \cdot 10^{9}) \frac{-12 \cdot 10^{-12}}{20} \left( \frac{2\hat{i} + 4\hat{j}}{\sqrt{20}} \right) \text{ N}
F⃗13=−5.4⋅10−3(220i^+420j^) N\vec{F}_{13} = -5.4 \cdot 10^{-3} \left( \frac{2}{\sqrt{20}}\hat{i} + \frac{4}{\sqrt{20}}\hat{j} \right) \text{ N}
F⃗13≈−5.4⋅10−3(0.4472i^+0.8944j^) N\vec{F}_{13} \approx -5.4 \cdot 10^{-3} (0.4472\hat{i} + 0.8944\hat{j}) \text{ N}
F⃗13≈(−2.415⋅10−3i^−4.830⋅10−3j^) N\vec{F}_{13} \approx (-2.415 \cdot 10^{-3}\hat{i} - 4.830 \cdot 10^{-3}\hat{j}) \text{ N}

Calculamos la fuerza F⃗23\vec{F}_{23} ejercida por q2q_2 sobre q3q_3:El vector de posición de q2q_2 a q3q_3 es r⃗23=P−P2=(0−3)i^+(4−0)j^=−3i^+4j^ m\vec{r}_{23} = P - P_2 = (0 - 3)\hat{i} + (4 - 0)\hat{j} = -3\hat{i} + 4\hat{j} \text{ m}.La distancia r23=5 mr_{23} = 5 \text{ m}. El vector unitario es r^23=−3i^+4j^5\hat{r}_{23} = \frac{-3\hat{i} + 4\hat{j}}{5}.Como q2q_2 es positiva y q3q_3 es positiva, la fuerza es repulsiva, apuntando en la dirección de r^23\hat{r}_{23}.

F⃗23=Kq2q3r232r^23\vec{F}_{23} = K \frac{q_2 q_3}{r_{23}^2} \hat{r}_{23}
F⃗23=(9⋅109)(+2⋅10−6)(+4⋅10−6)(5)2(−3i^+4j^5) N\vec{F}_{23} = (9 \cdot 10^{9}) \frac{(+2 \cdot 10^{-6}) (+4 \cdot 10^{-6})}{(5)^2} \left( \frac{-3\hat{i} + 4\hat{j}}{5} \right) \text{ N}
F⃗23=(9⋅109)8⋅10−1225(−3i^+4j^5) N\vec{F}_{23} = (9 \cdot 10^{9}) \frac{8 \cdot 10^{-12}}{25} \left( \frac{-3\hat{i} + 4\hat{j}}{5} \right) \text{ N}
F⃗23=2.88⋅10−3(−0.6i^+0.8j^) N\vec{F}_{23} = 2.88 \cdot 10^{-3} (-0.6\hat{i} + 0.8\hat{j}) \text{ N}
F⃗23=(−1.728⋅10−3i^+2.304⋅10−3j^) N\vec{F}_{23} = (-1.728 \cdot 10^{-3}\hat{i} + 2.304 \cdot 10^{-3}\hat{j}) \text{ N}

La fuerza total es la suma vectorial de F⃗13\vec{F}_{13} y F⃗23\vec{F}_{23}:

F⃗total=F⃗13+F⃗23\vec{F}_{total} = \vec{F}_{13} + \vec{F}_{23}
F⃗total=(−2.415⋅10−3i^−4.830⋅10−3j^)+(−1.728⋅10−3i^+2.304⋅10−3j^)\vec{F}_{total} = (-2.415 \cdot 10^{-3}\hat{i} - 4.830 \cdot 10^{-3}\hat{j}) + (-1.728 \cdot 10^{-3}\hat{i} + 2.304 \cdot 10^{-3}\hat{j})
F⃗total=((−2.415−1.728)⋅10−3i^+(−4.830+2.304)⋅10−3j^) N\vec{F}_{total} = ((-2.415 - 1.728) \cdot 10^{-3}\hat{i} + (-4.830 + 2.304) \cdot 10^{-3}\hat{j}) \text{ N}
F⃗total=(−4.143⋅10−3i^−2.526⋅10−3j^) N\vec{F}_{total} = (-4.143 \cdot 10^{-3}\hat{i} - 2.526 \cdot 10^{-3}\hat{j}) \text{ N}