T2: Interacción electromagnética

Electrostática, campo eléctrico y trabajo

Problema

2024 · Extraordinaria · Titular

Una partícula con carga $2 \text{ nC}$ está situada en el origen de coordenadas mientras que una segunda partícula con carga $4 \text{ nC}$ está situada en el punto $(6, 0) \text{ m}$ del plano $xy$ .

a) Obtenga el campo eléctrico generado por ambas cargas en el punto

(2, 2) \text{ m}

.b) Determine el punto situado entre ambas cargas en el que si situásemos un electrón la fuerza total sobre este sería nula. Obtenga el trabajo realizado por la fuerza electrostática para traer dicho electrón desde el infinito hasta el punto anterior.

Datos: Constante de la ley de Coulomb, $K = 9 \cdot 10^9 \text{ N} \cdot \text{m}^2 / \text{C}^2$ ; Valor absoluto de la carga del electrón, $e = 1,6 \cdot 10^{-19} \text{ C}$ .

Campo eléctricoPotencial eléctricoTrabajo electrostático

a) Obtención del campo eléctrico generado por ambas cargas en el punto

(2, 2) \text{ m}

Las cargas son $q_1 = 2 \text{ nC} = 2 \cdot 10^{-9} \text{ C}$ situada en el origen $(0, 0) \text{ m}$ y $q_2 = 4 \text{ nC} = 4 \cdot 10^{-9} \text{ C}$ situada en $(6, 0) \text{ m}$ . El punto de interés es $P(2, 2) \text{ m}$ . La constante de Coulomb es $K = 9 \cdot 10^9 \text{ N} \cdot \text{m}^2 / \text{C}^2$ .

El campo eléctrico $\vec{E}$ generado por una carga puntual $q$ en un punto con vector de posición $\vec{r}$ respecto a la carga es:

\vec{E} = K \frac{q}{r^2} \hat{u}_r

donde $\hat{u}_r$ es el vector unitario en la dirección de $\vec{r}$ . Calculamos los vectores de posición y sus módulos desde cada carga hasta el punto P.Para $q_1$ en $(0, 0)$ al punto $P(2, 2)$ :

\vec{r}_{P1} = (2-0, 2-0) \text{ m} = (2 \hat{i} + 2 \hat{j}) \text{ m}

r_{P1} = \sqrt{2^2 + 2^2} \text{ m} = \sqrt{8} \text{ m} = 2\sqrt{2} \text{ m}

\hat{u}_{P1} = \frac{\vec{r}_{P1}}{r_{P1}} = \frac{(2 \hat{i} + 2 \hat{j})}{2\sqrt{2}} = \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \hat{i} + \frac{1}{\sqrt{2}} \hat{j} \right) = \left( \frac{\sqrt{2}}{2} \hat{i} + \frac{\sqrt{2}}{2} \hat{j} \right)

El campo eléctrico $\vec{E}_1$ debido a $q_1$ es:

\vec{E}_1 = (9 \cdot 10^9 \text{ N} \cdot \text{m}^2 / \text{C}^2) \frac{2 \cdot 10^{-9} \text{ C}}{(2\sqrt{2} \text{ m})^2} \left( \frac{\sqrt{2}}{2} \hat{i} + \frac{\sqrt{2}}{2} \hat{j} \right)

\vec{E}_1 = \frac{18}{8} \left( \frac{\sqrt{2}}{2} \hat{i} + \frac{\sqrt{2}}{2} \hat{j} \right) = \left( \frac{9\sqrt{2}}{8} \hat{i} + \frac{9\sqrt{2}}{8} \hat{j} \right) \text{ N/C}

Para $q_2$ en $(6, 0)$ al punto $P(2, 2)$ :

\vec{r}_{P2} = (2-6, 2-0) \text{ m} = (-4 \hat{i} + 2 \hat{j}) \text{ m}

r_{P2} = \sqrt{(-4)^2 + 2^2} \text{ m} = \sqrt{16 + 4} \text{ m} = \sqrt{20} \text{ m} = 2\sqrt{5} \text{ m}

\hat{u}_{P2} = \frac{\vec{r}_{P2}}{r_{P2}} = \frac{(-4 \hat{i} + 2 \hat{j})}{2\sqrt{5}} = \left( -\frac{2}{\sqrt{5}} \hat{i} + \frac{1}{\sqrt{5}} \hat{j} \right) = \left( -\frac{2\sqrt{5}}{5} \hat{i} + \frac{\sqrt{5}}{5} \hat{j} \right)

El campo eléctrico $\vec{E}_2$ debido a $q_2$ es:

\vec{E}_2 = (9 \cdot 10^9 \text{ N} \cdot \text{m}^2 / \text{C}^2) \frac{4 \cdot 10^{-9} \text{ C}}{(2\sqrt{5} \text{ m})^2} \left( -\frac{2\sqrt{5}}{5} \hat{i} + \frac{\sqrt{5}}{5} \hat{j} \right)

\vec{E}_2 = \frac{36}{20} \left( -\frac{2\sqrt{5}}{5} \hat{i} + \frac{\sqrt{5}}{5} \hat{j} \right) = \left( -\frac{18\sqrt{5}}{25} \hat{i} + \frac{9\sqrt{5}}{25} \hat{j} \right) \text{ N/C}

El campo eléctrico total en el punto P es la suma vectorial de $\vec{E}_1$ y $\vec{E}_2$ :

\vec{E}_{total} = \vec{E}_1 + \vec{E}_2 = \left( \frac{9\sqrt{2}}{8} - \frac{18\sqrt{5}}{25} \right) \hat{i} + \left( \frac{9\sqrt{2}}{8} + \frac{9\sqrt{5}}{25} \right) \hat{j}

\vec{E}_{total} = \left( \frac{225\sqrt{2} - 144\sqrt{5}}{200} \right) \hat{i} + \left( \frac{225\sqrt{2} + 72\sqrt{5}}{200} \right) \hat{j}

Sustituyendo los valores numéricos ( $\sqrt{2} \approx 1.4142$ , $\sqrt{5} \approx 2.2361$ ):

\vec{E}_{total} \approx \left( \frac{225(1.4142) - 144(2.2361)}{200} \right) \hat{i} + \left( \frac{225(1.4142) + 72(2.2361)}{200} \right) \hat{j}

\vec{E}_{total} \approx \left( \frac{318.195 - 322.000}{200} \right) \hat{i} + \left( \frac{318.195 + 161.000}{200} \right) \hat{j}

\vec{E}_{total} \approx \left( -\frac{3.805}{200} \right) \hat{i} + \left( \frac{479.195}{200} \right) \hat{j}

\vec{E}_{total} \approx (-0.019 \hat{i} + 2.40 \hat{j}) \text{ N/C}

b) Determinación del punto entre ambas cargas donde la fuerza total sobre un electrón sería nula y el trabajo realizado para traer el electrón desde el infinito hasta dicho punto.

Para que la fuerza total sobre un electrón ( $q_e = -e$ ) sea nula, el campo eléctrico total en ese punto debe ser cero. Las cargas $q_1$ y $q_2$ son positivas. Para que sus campos eléctricos se cancelen, el punto debe estar en la línea que las une y entre ellas. Sea $x$ la distancia desde el origen (donde está $q_1$ ) hasta este punto.El campo eléctrico $\vec{E}_1$ debido a $q_1$ apunta en la dirección $+x$ , y el campo eléctrico $\vec{E}_2$ debido a $q_2$ apunta en la dirección $-x$ . Sus magnitudes deben ser iguales:

E_1 = E_2

K \frac{|q_1|}{x^2} = K \frac{|q_2|}{(6-x)^2}

\frac{2 \cdot 10^{-9} \text{ C}}{x^2} = \frac{4 \cdot 10^{-9} \text{ C}}{(6-x)^2}

\frac{1}{x^2} = \frac{2}{(6-x)^2}

(6-x)^2 = 2x^2

Tomando la raíz cuadrada de ambos lados (considerando que $x$ debe ser positivo y menor que 6):

6-x = \sqrt{2}x

6 = x + \sqrt{2}x

6 = x(1 + \sqrt{2})

x = \frac{6}{1 + \sqrt{2}}

Para simplificar, multiplicamos por el conjugado:

x = \frac{6}{1 + \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}-1} = \frac{6(\sqrt{2}-1)}{2-1} = 6(\sqrt{2}-1) \text{ m}

Sustituyendo $\sqrt{2} \approx 1.4142$ :

x = 6(1.4142 - 1) = 6(0.4142) \approx 2.485 \text{ m}

El punto está en $(2.485, 0) \text{ m}$ .Ahora, determinamos el trabajo realizado por la fuerza electrostática para traer un electrón desde el infinito hasta este punto. El trabajo realizado por una fuerza conservativa es $W = -\Delta U = -(U_f - U_i)$ . Dado que $U_i = U_\infty = 0$ , $W = -U_f = -q_e V_f$ . Necesitamos calcular el potencial eléctrico $V_f$ en el punto $x$ donde el campo es nulo.

V_f = K \frac{q_1}{x} + K \frac{q_2}{6-x}

Sabemos que $x = 6(\sqrt{2}-1) \text{ m}$ , entonces $6-x = 6 - 6(\sqrt{2}-1) = 6 - 6\sqrt{2} + 6 = 12 - 6\sqrt{2} = 6(2-\sqrt{2}) \text{ m}$ .

V_f = K \left( \frac{q_1}{6(\sqrt{2}-1)} + \frac{q_2}{6(2-\sqrt{2})} \right)

V_f = 9 \cdot 10^9 \text{ N} \cdot \text{m}^2 / \text{C}^2 \left( \frac{2 \cdot 10^{-9} \text{ C}}{6(\sqrt{2}-1) \text{ m}} + \frac{4 \cdot 10^{-9} \text{ C}}{6(2-\sqrt{2}) \text{ m}} \right)

V_f = \frac{9}{6} \left( \frac{2}{\sqrt{2}-1} + \frac{4}{2-\sqrt{2}} \right)

Racionalizando los denominadores:

\frac{2}{\sqrt{2}-1} = \frac{2(\sqrt{2}+1)}{(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)} = 2(\sqrt{2}+1)

\frac{4}{2-\sqrt{2}} = \frac{4(2+\sqrt{2})}{(2-\sqrt{2})(2+\sqrt{2})} = \frac{4(2+\sqrt{2})}{4-2} = 2(2+\sqrt{2})

V_f = \frac{3}{2} \left[ 2(\sqrt{2}+1) + 2(2+\sqrt{2}) \right]

V_f = 3 (\sqrt{2}+1 + 2+\sqrt{2}) = 3 (3 + 2\sqrt{2}) \text{ V}

V_f = (9 + 6\sqrt{2}) \text{ V}

Sustituyendo $\sqrt{2} \approx 1.4142$ :

V_f \approx (9 + 6 \cdot 1.4142) \text{ V} = (9 + 8.4852) \text{ V} = 17.4852 \text{ V}

El trabajo realizado es:

W = -q_e V_f = -(-1.6 \cdot 10^{-19} \text{ C}) (9 + 6\sqrt{2}) \text{ V}

W = (1.6 \cdot 10^{-19}) (9 + 6\sqrt{2}) \text{ J}

W \approx (1.6 \cdot 10^{-19}) (17.4852) \text{ J}

W \approx 2.798 \cdot 10^{-18} \text{ J}