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T2: Interacción electromagnética
Campo eléctrico
Problema
2025 · Extraordinaria · Titular
A3
Examen

Una partícula con carga 2 nC2 \text{ nC} está situada en el origen de coordenadas mientras que una segunda partícula con carga 4 nC4 \text{ nC} está situada en el punto (6,0) m(6, 0) \text{ m} del plano xyxy.

a) Obtenga el campo eléctrico generado por ambas cargas en el punto (2,2) m(2, 2) \text{ m}.b) Determine el punto situado entre ambas cargas en el que si situásemos un electrón la fuerza total sobre este sería nula. Obtenga el trabajo realizado por la fuerza electrostática para traer dicho electrón desde el infinito hasta el punto anterior.

Datos: Constante de la ley de Coulomb, K=9⋅109 N⋅m2⋅C−2K = 9 \cdot 10^9 \text{ N} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{C}^{-2}; Valor absoluto de la carga del electrón, e=1,6⋅10−19 Ce = 1,6 \cdot 10^{-19} \text{ C}.

Potencial eléctricoCarga puntualTrabajo eléctrico
a) Obtención del campo eléctrico generado por ambas cargas en el punto (2,2) m(2, 2) \text{ m}.

Las cargas son q1=2⋅10−9 Cq_1 = 2 \cdot 10^{-9} \text{ C} en el origen (0,0)(0,0) y q2=4⋅10−9 Cq_2 = 4 \cdot 10^{-9} \text{ C} en (6,0)(6,0). El punto de interés es P(2,2)P(2,2). La constante de Coulomb es K=9⋅109 N⋅m2⋅C−2K = 9 \cdot 10^9 \text{ N} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{C}^{-2}. El campo eléctrico E⃗\vec{E} generado por una carga puntual qq en un punto con vector de posición r⃗\vec{r} respecto a la carga es:

E⃗=Kqr2u^r\vec{E} = K \frac{q}{r^2} \hat{u}_r

Donde u^r\hat{u}_r es el vector unitario que va de la carga al punto.Campo eléctrico E⃗1\vec{E}_1 debido a q1q_1 en PP:

r⃗P1=(2−0)i^+(2−0)j^=(2i^+2j^) m\vec{r}_{P1} = (2-0)\hat{i} + (2-0)\hat{j} = (2\hat{i} + 2\hat{j}) \text{ m}
rP1=∣r⃗P1∣=22+22=8=22 mr_{P1} = |\vec{r}_{P1}| = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \text{ m}
u^P1=r⃗P1rP1=2i^+2j^22=12i^+12j^\hat{u}_{P1} = \frac{\vec{r}_{P1}}{r_{P1}} = \frac{2\hat{i} + 2\hat{j}}{2\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}\hat{i} + \frac{1}{\sqrt{2}}\hat{j}
E⃗1=(9⋅109 N⋅m2⋅C−2)2⋅10−9 C(22 m)2(12i^+12j^)\vec{E}_1 = (9 \cdot 10^9 \text{ N} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{C}^{-2}) \frac{2 \cdot 10^{-9} \text{ C}}{(2\sqrt{2} \text{ m})^2} \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\hat{i} + \frac{1}{\sqrt{2}}\hat{j}\right)
E⃗1=188(12i^+12j^) N/C=(942i^+942j^) N/C\vec{E}_1 = \frac{18}{8} \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\hat{i} + \frac{1}{\sqrt{2}}\hat{j}\right) \text{ N/C} = \left(\frac{9}{4\sqrt{2}}\hat{i} + \frac{9}{4\sqrt{2}}\hat{j}\right) \text{ N/C}
E⃗1≈(1.591i^+1.591j^) N/C\vec{E}_1 \approx (1.591\hat{i} + 1.591\hat{j}) \text{ N/C}

Campo eléctrico E⃗2\vec{E}_2 debido a q2q_2 en PP:

r⃗P2=(2−6)i^+(2−0)j^=(−4i^+2j^) m\vec{r}_{P2} = (2-6)\hat{i} + (2-0)\hat{j} = (-4\hat{i} + 2\hat{j}) \text{ m}
rP2=∣r⃗P2∣=(−4)2+22=16+4=20=25 mr_{P2} = |\vec{r}_{P2}| = \sqrt{(-4)^2 + 2^2} = \sqrt{16+4} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} \text{ m}
u^P2=r⃗P2rP2=−4i^+2j^25=(−25i^+15j^)\hat{u}_{P2} = \frac{\vec{r}_{P2}}{r_{P2}} = \frac{-4\hat{i} + 2\hat{j}}{2\sqrt{5}} = \left(-\frac{2}{\sqrt{5}}\hat{i} + \frac{1}{\sqrt{5}}\hat{j}\right)
E⃗2=(9⋅109 N⋅m2⋅C−2)4⋅10−9 C(25 m)2(−25i^+15j^)\vec{E}_2 = (9 \cdot 10^9 \text{ N} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{C}^{-2}) \frac{4 \cdot 10^{-9} \text{ C}}{(2\sqrt{5} \text{ m})^2} \left(-\frac{2}{\sqrt{5}}\hat{i} + \frac{1}{\sqrt{5}}\hat{j}\right)
E⃗2=3620(−25i^+15j^) N/C=(−1855i^+955j^) N/C\vec{E}_2 = \frac{36}{20} \left(-\frac{2}{\sqrt{5}}\hat{i} + \frac{1}{\sqrt{5}}\hat{j}\right) \text{ N/C} = \left(-\frac{18}{5\sqrt{5}}\hat{i} + \frac{9}{5\sqrt{5}}\hat{j}\right) \text{ N/C}
E⃗2≈(−1.610i^+0.805j^) N/C\vec{E}_2 \approx (-1.610\hat{i} + 0.805\hat{j}) \text{ N/C}

El campo eléctrico total E⃗\vec{E} en el punto PP es la suma vectorial de E⃗1\vec{E}_1 y E⃗2\vec{E}_2:

E⃗=E⃗1+E⃗2=(942−1855)i^+(942+955)j^\vec{E} = \vec{E}_1 + \vec{E}_2 = \left(\frac{9}{4\sqrt{2}} - \frac{18}{5\sqrt{5}}\right)\hat{i} + \left(\frac{9}{4\sqrt{2}} + \frac{9}{5\sqrt{5}}\right)\hat{j}
E⃗=(455−7222010)i^+(455+3622010)j^ N/C\vec{E} = \left(\frac{45\sqrt{5} - 72\sqrt{2}}{20\sqrt{10}}\right)\hat{i} + \left(\frac{45\sqrt{5} + 36\sqrt{2}}{20\sqrt{10}}\right)\hat{j} \text{ N/C}
E⃗≈(1.591−1.610)i^+(1.591+0.805)j^\vec{E} \approx (1.591 - 1.610)\hat{i} + (1.591 + 0.805)\hat{j}
E⃗≈(−0.019i^+2.396j^) N/C\vec{E} \approx (-0.019\hat{i} + 2.396\hat{j}) \text{ N/C}
b) Determinación del punto entre ambas cargas donde la fuerza total sobre un electrón sería nula y trabajo realizado.

Para que la fuerza total sobre un electrón sea nula, el campo eléctrico total en ese punto debe ser nulo. Dado que ambas cargas (q1q_1 y q2q_2) son positivas y están situadas en el eje xx, el punto donde el campo eléctrico es cero debe estar entre ellas en el eje xx. Sea este punto xx (con 0<x<60 < x < 6). En este punto, los campos eléctricos generados por q1q_1 y q2q_2 deben tener la misma magnitud y dirección opuesta.

E1=E2E_1 = E_2
Kq1x2=Kq2(6−x)2K \frac{q_1}{x^2} = K \frac{q_2}{(6-x)^2}
2⋅10−9 Cx2=4⋅10−9 C(6−x)2\frac{2 \cdot 10^{-9} \text{ C}}{x^2} = \frac{4 \cdot 10^{-9} \text{ C}}{(6-x)^2}
1x2=2(6−x)2\frac{1}{x^2} = \frac{2}{(6-x)^2}
(6−x)2=2x2(6-x)^2 = 2x^2
36−12x+x2=2x236 - 12x + x^2 = 2x^2
x2+12x−36=0x^2 + 12x - 36 = 0

Resolviendo la ecuación cuadrática:

x=−12±122−4(1)(−36)2(1)=−12±144+1442=−12±2882x = \frac{-12 \pm \sqrt{12^2 - 4(1)(-36)}}{2(1)} = \frac{-12 \pm \sqrt{144 + 144}}{2} = \frac{-12 \pm \sqrt{288}}{2}
x=−12±1222=−6±62 mx = \frac{-12 \pm 12\sqrt{2}}{2} = -6 \pm 6\sqrt{2} \text{ m}

Para que el punto esté entre las cargas, 0<x<60 < x < 6. El valor positivo es:

x=−6+62≈−6+6(1.4142)=−6+8.4852=2.4852 mx = -6 + 6\sqrt{2} \approx -6 + 6(1.4142) = -6 + 8.4852 = 2.4852 \text{ m}

El punto donde la fuerza es nula está en (2.4852,0) m(2.4852, 0) \text{ m}.El trabajo realizado por la fuerza electrostática para traer un electrón desde el infinito hasta este punto P′P' es:

W∞→P′=qe(V∞−VP′)W_{\infty \to P'} = q_e (V_{\infty} - V_{P'})

Donde qe=−e=−1.6⋅10−19 Cq_e = -e = -1.6 \cdot 10^{-19} \text{ C} y el potencial en el infinito V∞=0V_{\infty} = 0. Por lo tanto, W∞→P′=−qeVP′W_{\infty \to P'} = -q_e V_{P'}.Primero calculamos el potencial VP′V_{P'} en el punto x=6(2−1) mx = 6(\sqrt{2}-1) \text{ m} debido a ambas cargas:

VP′=Kq1x+Kq26−xV_{P'} = K \frac{q_1}{x} + K \frac{q_2}{6-x}
VP′=K(q16(2−1)+q26−6(2−1))V_{P'} = K \left( \frac{q_1}{6(\sqrt{2}-1)} + \frac{q_2}{6 - 6(\sqrt{2}-1)} \right)
VP′=K(2⋅10−96(2−1)+4⋅10−96(2−2))V_{P'} = K \left( \frac{2 \cdot 10^{-9}}{6(\sqrt{2}-1)} + \frac{4 \cdot 10^{-9}}{6(2-\sqrt{2})} \right)
VP′=9⋅109 N⋅m2⋅C−2⋅10−9 C(26(2−1)+46(2−2))V_{P'} = 9 \cdot 10^9 \text{ N} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{C}^{-2} \cdot 10^{-9} \text{ C} \left( \frac{2}{6(\sqrt{2}-1)} + \frac{4}{6(2-\sqrt{2})} \right)
VP′=9(13(2−1)+23(2−2)) VV_{P'} = 9 \left( \frac{1}{3(\sqrt{2}-1)} + \frac{2}{3(2-\sqrt{2})} \right) \text{ V}
VP′=3(12−1+22−2) VV_{P'} = 3 \left( \frac{1}{\sqrt{2}-1} + \frac{2}{2-\sqrt{2}} \right) \text{ V}

Racionalizando los denominadores:

12−1=2+12−1=2+1\frac{1}{\sqrt{2}-1} = \frac{\sqrt{2}+1}{2-1} = \sqrt{2}+1
22−2=2(2+2)4−2=2+2\frac{2}{2-\sqrt{2}} = \frac{2(2+\sqrt{2})}{4-2} = 2+\sqrt{2}
VP′=3((2+1)+(2+2))=3(3+22) VV_{P'} = 3 ((\sqrt{2}+1) + (2+\sqrt{2})) = 3(3+2\sqrt{2}) \text{ V}
VP′=(9+62) V≈(9+6⋅1.4142) V=(9+8.4852) V=17.4852 VV_{P'} = (9 + 6\sqrt{2}) \text{ V} \approx (9 + 6 \cdot 1.4142) \text{ V} = (9 + 8.4852) \text{ V} = 17.4852 \text{ V}

Finalmente, el trabajo realizado por la fuerza electrostática:

W∞→P′=−(−1.6⋅10−19 C)⋅(9+62) VW_{\infty \to P'} = -(-1.6 \cdot 10^{-19} \text{ C}) \cdot (9 + 6\sqrt{2}) \text{ V}
W∞→P′=(1.6⋅10−19)(9+62) JW_{\infty \to P'} = (1.6 \cdot 10^{-19}) (9 + 6\sqrt{2}) \text{ J}
W∞→P′≈(1.6⋅10−19)(17.4852) JW_{\infty \to P'} \approx (1.6 \cdot 10^{-19}) (17.4852) \text{ J}
W∞→P′≈2.7976⋅10−18 JW_{\infty \to P'} \approx 2.7976 \cdot 10^{-18} \text{ J}