T2: Interacción electromagnética

Electrostática

Problema

2022 · Ordinaria · Titular

Una carga puntual positiva está situada en el punto $(3, 4) \text{ m}$ del plano $xy$ . En otro punto del plano se coloca una segunda carga puntual, también positiva y de magnitud el cuádruple de la primera, haciendo que el campo se anule en el origen de coordenadas.

a) Determine la posición de la segunda carga.b) Si el potencial en el origen de coordenadas vale

1,08 \cdot 10^4 \text{ V}

, encuentre el valor de las cargas.

Dato: Constante de la ley de Coulomb, $K = 9 \cdot 10^9 \text{ N} \cdot \text{m}^2 / \text{C}^2$ .

Campo eléctricoPotencial eléctricoCargas puntuales

a) Determine la posición de la segunda carga.

Las cargas son positivas. Para que el campo eléctrico se anule en el origen de coordenadas, $\vec{E}_1 + \vec{E}_2 = 0$ , los campos generados por cada carga deben ser de igual magnitud y dirección opuesta. Dado que ambas cargas son positivas, sus campos en el origen apuntarán alejándose de ellas. Esto significa que las cargas deben estar situadas en lados opuestos del origen y sobre la misma línea que pasa por él.La carga $q_1$ está en $P_1 = (3, 4) \text{ m}$ . La distancia de $q_1$ al origen es:

r_1 = \sqrt{(3 \text{ m})^2 + (4 \text{ m})^2} = \sqrt{9 + 16} \text{ m} = \sqrt{25} \text{ m} = 5 \text{ m}

El vector de posición de $q_1$ es $\vec{r}_1 = 3\hat{i} + 4\hat{j}$ . El vector desde $q_1$ hasta el origen es $\vec{d}_1 = \vec{0} - \vec{r}_1 = -3\hat{i} - 4\hat{j}$ . Como $q_1$ es positiva, el campo $\vec{E}_1$ en el origen apunta en la dirección de $\vec{d}_1$ (alejándose de $q_1$ ). Por lo tanto:

\vec{E}_1 = K \frac{q_1}{r_1^3} (\vec{0} - \vec{r}_1) = K \frac{q_1}{r_1^3} (-3\hat{i} - 4\hat{j})

Para que el campo total en el origen sea cero, el campo $\vec{E}_2$ debe ser opuesto a $\vec{E}_1$ :

\vec{E}_2 = -\vec{E}_1 = K \frac{q_1}{r_1^3} (3\hat{i} + 4\hat{j})

La carga $q_2$ también es positiva, por lo que su campo $\vec{E}_2$ en el origen debe apuntar alejándose de $q_2$ . Si $\vec{E}_2$ apunta en la dirección $(3\hat{i} + 4\hat{j})$ , entonces $q_2$ debe estar situada en la dirección opuesta, es decir, su vector de posición $\vec{r}_2$ debe ser de la forma $\vec{r}_2 = \lambda (-3\hat{i} - 4\hat{j})$ para alguna constante $\lambda > 0$ . Por lo tanto, $q_2$ se encuentra en la misma línea que $q_1$ y el origen, pero al lado opuesto del origen.

\vec{E}_2 = K \frac{q_2}{r_2^3} (\vec{0} - \vec{r}_2) = K \frac{q_2}{r_2^3} (-\vec{r}_2)

Igualando las expresiones para $\vec{E}_2$ y sabiendo que $q_2 = 4q_1$ :

K \frac{4q_1}{r_2^3} (-\vec{r}_2) = K \frac{q_1}{r_1^3} (3\hat{i} + 4\hat{j})

Cancelando $Kq_1$ y sustituyendo $\vec{r}_2 = \lambda (-3\hat{i} - 4\hat{j})$ y $r_2 = |\vec{r}_2| = \lambda |(-3\hat{i} - 4\hat{j})| = 5\lambda$ , y $r_1 = 5 \text{ m}$ :

\frac{4}{(5\lambda)^3} (-\lambda (-3\hat{i} - 4\hat{j})) = \frac{1}{5^3} (3\hat{i} + 4\hat{j})

\frac{4\lambda}{125\lambda^3} (3\hat{i} + 4\hat{j}) = \frac{1}{125} (3\hat{i} + 4\hat{j})

\frac{4}{125\lambda^2} = \frac{1}{125}

4 = \lambda^2 \implies \lambda = 2

Por lo tanto, la posición de la segunda carga $q_2$ es:

\vec{r}_2 = 2 (-3\hat{i} - 4\hat{j}) = -6\hat{i} - 8\hat{j} \text{ m}

Así, la posición de la segunda carga es $(-6, -8) \text{ m}$ . Su distancia al origen es $r_2 = \sqrt{(-6)^2 + (-8)^2} = \sqrt{36+64} = 10 \text{ m}$ .

b) Si el potencial en el origen de coordenadas vale

1,08 \cdot 10^4 \text{ V}

, encuentre el valor de las cargas.

El potencial eléctrico en el origen es la suma escalar de los potenciales creados por cada carga:

V_O = K \frac{q_1}{r_1} + K \frac{q_2}{r_2}

Sustituimos los valores conocidos: $V_O = 1,08 \cdot 10^4 \text{ V}$ , $K = 9 \cdot 10^9 \text{ N} \cdot \text{m}^2 / \text{C}^2$ , $r_1 = 5 \text{ m}$ , $r_2 = 10 \text{ m}$ y $q_2 = 4q_1$ .

1,08 \cdot 10^4 \text{ V} = (9 \cdot 10^9 \text{ N} \cdot \text{m}^2 / \text{C}^2) \left( \frac{q_1}{5 \text{ m}} + \frac{4q_1}{10 \text{ m}} \right)

1,08 \cdot 10^4 = 9 \cdot 10^9 q_1 \left( \frac{1}{5} + \frac{4}{10} \right)

1,08 \cdot 10^4 = 9 \cdot 10^9 q_1 \left( \frac{1}{5} + \frac{2}{5} \right)

1,08 \cdot 10^4 = 9 \cdot 10^9 q_1 \left( \frac{3}{5} \right)

1,08 \cdot 10^4 = \frac{27}{5} \cdot 10^9 q_1

Despejamos $q_1$ :

q_1 = \frac{1,08 \cdot 10^4 \cdot 5}{27 \cdot 10^9} \text{ C}

q_1 = \frac{5,4 \cdot 10^4}{27 \cdot 10^9} \text{ C}

q_1 = 0,2 \cdot 10^{-5} \text{ C} = 2 \cdot 10^{-6} \text{ C}

Ahora calculamos $q_2$ :

q_2 = 4q_1 = 4 \cdot (2 \cdot 10^{-6} \text{ C}) = 8 \cdot 10^{-6} \text{ C}

Los valores de las cargas son $q_1 = 2 \cdot 10^{-6} \text{ C}$ y $q_2 = 8 \cdot 10^{-6} \text{ C}$ .