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T2: Interacción electromagnética
Inducción electromagnética
Problema
2023 · Ordinaria · Suplente
A3
Examen

Una espira cuadrada gira con un período de 0,5 s0,5 \text{ s} en presencia de un campo magnético uniforme de 400 mT400 \text{ mT} perpendicular al eje de giro. Sabiendo que en el instante inicial su flujo magnético es máximo e igual a 1,6⋅10−2 T⋅m21,6 \cdot 10^{-2} \text{ T} \cdot \text{m}^2, determine:

Imagen del ejercicio
a) La longitud del lado de la espira y la expresión del flujo magnético que atraviesa la espira en función del tiempo.b) La expresión de la fuerza electromotriz (fem) inducida en función del tiempo y su valor en t=1 st = 1 \text{ s}.
Ley de Faraday-LenzFlujo magnéticoFuerza electromotriz
a) Para determinar la longitud del lado de la espira y la expresión del flujo magnético en función del tiempo, primero calculamos la velocidad angular ω\omega.
ω=2πT\omega = \frac{2\pi}{T}

Sustituyendo el período dado:

ω=2π0,5 s=4π rad/s\omega = \frac{2\pi}{0,5 \text{ s}} = 4\pi \text{ rad/s}

El flujo magnético máximo se define como Φmax=B⋅A\Phi_{max} = B \cdot A. A partir de esta relación, podemos calcular el área AA de la espira:

A=ΦmaxBA = \frac{\Phi_{max}}{B}

Sustituimos los valores conocidos, teniendo en cuenta que B=400 mT=0,4 TB = 400 \text{ mT} = 0,4 \text{ T}:

A=1,6⋅10−2 T⋅m20,4 T=4,0⋅10−2 m2A = \frac{1,6 \cdot 10^{-2} \text{ T} \cdot \text{m}^2}{0,4 \text{ T}} = 4,0 \cdot 10^{-2} \text{ m}^2

Como la espira es cuadrada, su área es A=L2A = L^2, donde LL es la longitud del lado. Por lo tanto:

L=A=4,0⋅10−2 m2=0,04 m2=0,2 mL = \sqrt{A} = \sqrt{4,0 \cdot 10^{-2} \text{ m}^2} = \sqrt{0,04 \text{ m}^2} = 0,2 \text{ m}

La longitud del lado de la espira es de 0,2 m0,2 \text{ m}.La expresión general del flujo magnético a través de una espira giratoria en un campo uniforme es Φ(t)=B⋅A⋅cos⁡(ωt+ϕ0)\Phi(t) = B \cdot A \cdot \cos(\omega t + \phi_0). Dado que en el instante inicial (t=0t=0) el flujo es máximo, el ángulo inicial ϕ0\phi_0 debe ser 00, de modo que cos⁡(0)=1\cos(0) = 1. Así, la expresión queda:

Φ(t)=Φmaxcos⁡(ωt)\Phi(t) = \Phi_{max} \cos(\omega t)

Sustituyendo los valores de Φmax\Phi_{max} y ω\omega:

Φ(t)=(1,6⋅10−2)cos⁡(4πt) T⋅m2\Phi(t) = (1,6 \cdot 10^{-2}) \cos(4\pi t) \text{ T} \cdot \text{m}^2
b) La fuerza electromotriz (fem) inducida se determina a partir de la Ley de Faraday-Lenz, que establece:
E(t)=−dΦdt\mathcal{E}(t) = -\frac{d\Phi}{dt}

Derivamos la expresión del flujo magnético obtenida en el apartado anterior respecto al tiempo:

dΦdt=ddt[Φmaxcos⁡(ωt)]=−Φmaxωsin⁡(ωt)\frac{d\Phi}{dt} = \frac{d}{dt} [\Phi_{max} \cos(\omega t)] = -\Phi_{max} \omega \sin(\omega t)

Ahora sustituimos esta derivada en la Ley de Faraday:

E(t)=−[−Φmaxωsin⁡(ωt)]=Φmaxωsin⁡(ωt)\mathcal{E}(t) = -[-\Phi_{max} \omega \sin(\omega t)] = \Phi_{max} \omega \sin(\omega t)

Sustituimos los valores de Φmax\Phi_{max} y ω\omega:

E(t)=(1,6⋅10−2 T⋅m2)(4π rad/s)sin⁡(4πt)\mathcal{E}(t) = (1,6 \cdot 10^{-2} \text{ T} \cdot \text{m}^2) (4\pi \text{ rad/s}) \sin(4\pi t)
E(t)=(6,4π⋅10−2)sin⁡(4πt) V\mathcal{E}(t) = (6,4\pi \cdot 10^{-2}) \sin(4\pi t) \text{ V}

Para calcular el valor de la fem inducida en t=1 st = 1 \text{ s}, sustituimos este valor en la expresión anterior:

E(1 s)=(6,4π⋅10−2)sin⁡(4π⋅1) V\mathcal{E}(1 \text{ s}) = (6,4\pi \cdot 10^{-2}) \sin(4\pi \cdot 1) \text{ V}
E(1 s)=(6,4π⋅10−2)sin⁡(4π) V\mathcal{E}(1 \text{ s}) = (6,4\pi \cdot 10^{-2}) \sin(4\pi) \text{ V}

Como sin⁡(4π)=0\sin(4\pi) = 0:

E(1 s)=0 V\mathcal{E}(1 \text{ s}) = 0 \text{ V}