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T2: Interacción electromagnética
Problema
2023 · Ordinaria · Titular
A3
Examen

Tres cargas −q,−q-q, -q y +2q+2q se encuentran situadas en los puntos del plano (−a,a),(a,a)(-a, a), (a, a) y (0,0)(0, 0), respectivamente, tal y como se describe en la figura. Determine, en función de la constante de Coulomb, KK, el valor de la carga, qq, y la distancia, aa:

Imagen del ejercicio
a) La expresión de la fuerza electrostática que se ejerce sobre la carga situada en la posición (a,a)(a, a) y la expresión del trabajo que habrá realizado esa fuerza electrostática para traer la carga −q-q desde el infinito a la posición (a,a)(a, a).b) El flujo del campo eléctrico a través de las superficies cerradas S1S_1 y S2S_2.

Dato: Permitividad eléctrica del vacío; ϵ0=1/(4πK)\epsilon_0 = 1 / (4 \pi K).

Fuerza electrostáticaTrabajo eléctricoFlujo eléctrico+1
a) La expresión de la fuerza electrostática que se ejerce sobre la carga situada en la posición (a,a)(a, a) y la expresión del trabajo que habrá realizado esa fuerza electrostática para traer la carga −q-q desde el infinito a la posición (a,a)(a, a).

Para determinar la fuerza electrostática sobre la carga q2=−qq_2 = -q situada en (a,a)(a, a), debemos calcular la suma vectorial de las fuerzas ejercidas por las otras dos cargas, q1=−qq_1 = -q en (−a,a)(-a, a) y q3=+2qq_3 = +2q en (0,0)(0, 0). Aplicaremos la Ley de Coulomb.

XY--q++2q-qE1E2E_neta

Cálculo de la fuerza F⃗12\vec{F}_{12} ejercida por q1=−qq_1 = -q en (−a,a)(-a, a) sobre q2=−qq_2 = -q en (a,a)(a, a):

\vec{r}_{12} = (a - (-a))\hat{i} + (a - a)\hat{j} = 2a\hat{i}
r12=2ar_{12} = 2a
\vec{F}_{12} = K \frac{q_1 q_2}{r_{12}^2} \hat{r}_{12} = K \frac{(-q)(-q)}{(2a)^2} \hat{i} = K \frac{q^2}{4a^2} \hat{i}

Cálculo de la fuerza F⃗32\vec{F}_{32} ejercida por q3=+2qq_3 = +2q en (0,0)(0, 0) sobre q2=−qq_2 = -q en (a,a)(a, a):

r⃗32=(a−0)i^+(a−0)j^=ai^+aj^\vec{r}_{32} = (a - 0)\hat{i} + (a - 0)\hat{j} = a\hat{i} + a\hat{j}
r32=a2+a2=2a2=a2r_{32} = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}
r^32=r⃗32r32=ai^+aj^a2=12i^+12j^\hat{r}_{32} = \frac{\vec{r}_{32}}{r_{32}} = \frac{a\hat{i} + a\hat{j}}{a\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}\hat{i} + \frac{1}{\sqrt{2}}\hat{j}
F⃗32=Kq3q2r322r^32=K(+2q)(−q)(a2)2(12i^+12j^)\vec{F}_{32} = K \frac{q_3 q_2}{r_{32}^2} \hat{r}_{32} = K \frac{(+2q)(-q)}{(a\sqrt{2})^2} \left( \frac{1}{\sqrt{2}}\hat{i} + \frac{1}{\sqrt{2}}\hat{j} \right)
F⃗32=K−2q22a2(12i^+12j^)=−Kq2a212(i^+j^)\vec{F}_{32} = K \frac{-2q^2}{2a^2} \left( \frac{1}{\sqrt{2}}\hat{i} + \frac{1}{\sqrt{2}}\hat{j} \right) = -K \frac{q^2}{a^2} \frac{1}{\sqrt{2}} (\hat{i} + \hat{j})

La fuerza electrostática total sobre la carga en (a,a)(a, a) es la suma vectorial:

F⃗total=F⃗12+F⃗32\vec{F}_{total} = \vec{F}_{12} + \vec{F}_{32}
F⃗total=Kq24a2i^−Kq2a212(i^+j^)\vec{F}_{total} = K \frac{q^2}{4a^2} \hat{i} - K \frac{q^2}{a^2} \frac{1}{\sqrt{2}} (\hat{i} + \hat{j})
F⃗total=Kq2a2[(14−12)i^−12j^]\vec{F}_{total} = K \frac{q^2}{a^2} \left[ \left(\frac{1}{4} - \frac{1}{\sqrt{2}}\right)\hat{i} - \frac{1}{\sqrt{2}}\hat{j} \right]
F⃗total=Kq2a2[(1−224)i^−22j^]\vec{F}_{total} = K \frac{q^2}{a^2} \left[ \left(\frac{1 - 2\sqrt{2}}{4}\right)\hat{i} - \frac{\sqrt{2}}{2}\hat{j} \right]

El trabajo realizado por la fuerza electrostática para traer la carga q2=−qq_2 = -q desde el infinito a la posición (a,a)(a, a) es Welec=−ΔU=U∞−UP=−UPW_{elec} = - \Delta U = U_{\infty} - U_P = -U_P, ya que el potencial en el infinito es cero. La energía potencial UPU_P de la carga q2q_2 en (a,a)(a, a) se calcula a partir del potencial eléctrico VPV_P creado por las otras cargas (q1q_1 y q3q_3) en esa posición.

VP=V1+V3V_P = V_1 + V_3

Potencial V1V_1 en (a,a)(a, a) debido a q1=−qq_1 = -q en (−a,a)(-a, a):

V1=Kq1r12=K−q2aV_1 = K \frac{q_1}{r_{12}} = K \frac{-q}{2a}

Potencial V3V_3 en (a,a)(a, a) debido a q3=+2qq_3 = +2q en (0,0)(0, 0):

V3=Kq3r32=K+2qa2=Kq2aV_3 = K \frac{q_3}{r_{32}} = K \frac{+2q}{a\sqrt{2}} = K \frac{q\sqrt{2}}{a}

El potencial total VPV_P en (a,a)(a, a) es:

VP=K−q2a+Kq2a=Kqa(−12+2)=Kqa(−1+222)V_P = K \frac{-q}{2a} + K \frac{q\sqrt{2}}{a} = K \frac{q}{a} \left( -\frac{1}{2} + \sqrt{2} \right) = K \frac{q}{a} \left( \frac{-1 + 2\sqrt{2}}{2} \right)

La energía potencial UPU_P de la carga q2=−qq_2 = -q en (a,a)(a, a) es:

UP=q2VP=(−q)[Kqa(−1+222)]=−Kq2a(−1+222)U_P = q_2 V_P = (-q) \left[ K \frac{q}{a} \left( \frac{-1 + 2\sqrt{2}}{2} \right) \right] = -K \frac{q^2}{a} \left( \frac{-1 + 2\sqrt{2}}{2} \right)
UP=Kq2a(1−222)U_P = K \frac{q^2}{a} \left( \frac{1 - 2\sqrt{2}}{2} \right)

El trabajo realizado por la fuerza electrostática es:

Welec=−UP=−Kq2a(1−222)W_{elec} = -U_P = - K \frac{q^2}{a} \left( \frac{1 - 2\sqrt{2}}{2} \right)
Welec=Kq2a(22−12)W_{elec} = K \frac{q^2}{a} \left( \frac{2\sqrt{2} - 1}{2} \right)
b) El flujo del campo eléctrico a través de las superficies cerradas S1S_1 y S2S_2.

Según la Ley de Gauss, el flujo eléctrico a través de una superficie cerrada es directamente proporcional a la carga neta encerrada por la superficie e inversamente proporcional a la permitividad eléctrica del vacío, ϵ0\epsilon_0.

ΦE=Qencϵ0\Phi_E = \frac{Q_{enc}}{\epsilon_0}

Dado que ϵ0=1/(4πK)\epsilon_0 = 1 / (4 \pi K), podemos expresar el flujo como:

ΦE=4πKQenc\Phi_E = 4 \pi K Q_{enc}

Flujo a través de la superficie S1S_1:Observando la figura, la superficie cerrada S1S_1 encierra las cargas q1=−qq_1 = -q (en (−a,a)(-a, a)) y q3=+2qq_3 = +2q (en (0,0)(0, 0)).

Qenc,S1=q1+q3=−q+2q=+qQ_{enc, S1} = q_1 + q_3 = -q + 2q = +q
ΦE,S1=qϵ0=4πKq\Phi_{E, S1} = \frac{q}{\epsilon_0} = 4 \pi K q

Flujo a través de la superficie S2S_2:Observando la figura, la superficie cerrada S2S_2 encierra las cargas q2=−qq_2 = -q (en (a,a)(a, a)) y q3=+2qq_3 = +2q (en (0,0)(0, 0)).

Qenc,S2=q2+q3=−q+2q=+qQ_{enc, S2} = q_2 + q_3 = -q + 2q = +q
ΦE,S2=qϵ0=4πKq\Phi_{E, S2} = \frac{q}{\epsilon_0} = 4 \pi K q