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T2: Interacción electromagnética
Campo magnético
Problema
2025 · Extraordinaria · Titular
B3
Examen

Dos hilos indefinidos paralelos al eje zz llevan intensidades iguales I1=I2=2 AI_1 = I_2 = 2 \text{ A} y cortan el plano xyxy en los puntos (0,0) m(0, 0) \text{ m} y (4,0) m(4, 0) \text{ m}, respectivamente. Si el primer hilo, el que pasa por el origen, lleva su intensidad en el sentido positivo del eje zz y el segundo en sentido negativo, determine el campo magnético en los puntos:

a) A(0,3) mA (0, 3) \text{ m}.b) B(2,3) mB (2, 3) \text{ m}.

Dato: Permeabilidad magnética del vacío, μ0=4π⋅10−7 T⋅m⋅A−1\mu_0 = 4\pi \cdot 10^{-7} \text{ T} \cdot \text{m} \cdot \text{A}^{-1}.

Ley de Biot y SavartCables paralelosVector inducción magnética

La expresión para el campo magnético B⃗\vec{B} producido por un hilo conductor rectilíneo e indefinido que transporta una corriente II y que se encuentra a una distancia rr del punto de interés, es:

B=μ0I2πrB = \frac{\mu_0 I}{2\pi r}

La dirección del campo se determina mediante la regla de la mano derecha. Para un hilo paralelo al eje zz que pasa por el origen (0,0)(0,0) y lleva corriente en sentido +z+z, el campo en un punto (x,y)(x,y) es B⃗=μ0I2π(x2+y2)(−yi^+xj^)\vec{B} = \frac{\mu_0 I}{2\pi (x^2+y^2)} (-y\hat{i} + x\hat{j}). Si la corriente es en sentido −z-z, el campo es B⃗=μ0I2π(x2+y2)(yi^−xj^)\vec{B} = \frac{\mu_0 I}{2\pi (x^2+y^2)} (y\hat{i} - x\hat{j}). Datos: I1=I2=I=2 AI_1 = I_2 = I = 2 \text{ A} μ0=4π⋅10−7 T⋅m⋅A−1\mu_0 = 4\pi \cdot 10^{-7} \text{ T} \cdot \text{m} \cdot \text{A}^{-1} Calculamos el factor común: μ0I2π=4π⋅10−7 T⋅m⋅A−1⋅2 A2π=4⋅10−7⋅2=8⋅10−7 T⋅m\frac{\mu_0 I}{2\pi} = \frac{4\pi \cdot 10^{-7} \text{ T} \cdot \text{m} \cdot \text{A}^{-1} \cdot 2 \text{ A}}{2\pi} = 4 \cdot 10^{-7} \cdot 2 = 8 \cdot 10^{-7} \text{ T} \cdot \text{m}.

a) Campo magnético en el punto A(0,3) mA (0, 3) \text{ m}.

El campo magnético total en A es la suma vectorial de los campos producidos por cada hilo: BA⃗=B1⃗+B2⃗\vec{B_A} = \vec{B_1} + \vec{B_2}.Campo B1⃗\vec{B_1} debido a I1I_1 (hilo 1 en (0,0)(0,0), corriente en sentido +z+z):La posición del punto A respecto al hilo 1 es (xA−x1,yA−y1)=(0−0,3−0)=(0,3) m(x_A - x_1, y_A - y_1) = (0-0, 3-0) = (0, 3) \text{ m}. La distancia r1r_1 es r1=02+32=3 mr_1 = \sqrt{0^2 + 3^2} = 3 \text{ m}. Usando la fórmula con corriente en sentido +z+z:

B1⃗=μ0I12πr12(−yAi^+xAj^)=8⋅10−7 T⋅m(3 m)2(−3i^+0j^)=8⋅10−79(−3i^) T\vec{B_1} = \frac{\mu_0 I_1}{2\pi r_1^2} (-y_A \hat{i} + x_A \hat{j}) = \frac{8 \cdot 10^{-7} \text{ T} \cdot \text{m}}{(3 \text{ m})^2} (-3 \hat{i} + 0 \hat{j}) = \frac{8 \cdot 10^{-7}}{9} (-3 \hat{i}) \text{ T}
B1⃗=−249⋅10−7i^=−83⋅10−7i^≈−2.67⋅10−7i^ T\vec{B_1} = -\frac{24}{9} \cdot 10^{-7} \hat{i} = -\frac{8}{3} \cdot 10^{-7} \hat{i} \approx -2.67 \cdot 10^{-7} \hat{i} \text{ T}

Campo B2⃗\vec{B_2} debido a I2I_2 (hilo 2 en (4,0)(4,0), corriente en sentido −z-z):La posición del punto A respecto al hilo 2 es (xA−x2,yA−y2)=(0−4,3−0)=(−4,3) m(x_A - x_2, y_A - y_2) = (0-4, 3-0) = (-4, 3) \text{ m}. La distancia r2r_2 es r2=(−4)2+32=16+9=25=5 mr_2 = \sqrt{(-4)^2 + 3^2} = \sqrt{16+9} = \sqrt{25} = 5 \text{ m}. Usando la fórmula con corriente en sentido −z-z:

B2⃗=μ0I22πr22(yA′i^−xA′j^)=8⋅10−7 T⋅m(5 m)2(3i^−(−4)j^)=8⋅10−725(3i^+4j^) T\vec{B_2} = \frac{\mu_0 I_2}{2\pi r_2^2} (y_A' \hat{i} - x_A' \hat{j}) = \frac{8 \cdot 10^{-7} \text{ T} \cdot \text{m}}{(5 \text{ m})^2} (3 \hat{i} - (-4) \hat{j}) = \frac{8 \cdot 10^{-7}}{25} (3 \hat{i} + 4 \hat{j}) \text{ T}
B2⃗=(2425i^+3225j^)⋅10−7=(0.96i^+1.28j^)⋅10−7 T\vec{B_2} = (\frac{24}{25} \hat{i} + \frac{32}{25} \hat{j}) \cdot 10^{-7} = (0.96 \hat{i} + 1.28 \hat{j}) \cdot 10^{-7} \text{ T}

Campo magnético total en A:

BA⃗=B1⃗+B2⃗=(−2.6667⋅10−7i^)+(0.96⋅10−7i^+1.28⋅10−7j^)\vec{B_A} = \vec{B_1} + \vec{B_2} = (-2.6667 \cdot 10^{-7} \hat{i}) + (0.96 \cdot 10^{-7} \hat{i} + 1.28 \cdot 10^{-7} \hat{j})
BA⃗=(−2.6667+0.96)⋅10−7i^+1.28⋅10−7j^≈(−1.71i^+1.28j^)⋅10−7 T\vec{B_A} = (-2.6667 + 0.96) \cdot 10^{-7} \hat{i} + 1.28 \cdot 10^{-7} \hat{j} \approx (-1.71 \hat{i} + 1.28 \hat{j}) \cdot 10^{-7} \text{ T}
b) Campo magnético en el punto B(2,3) mB (2, 3) \text{ m}.

El campo magnético total en B es la suma vectorial de los campos producidos por cada hilo: BB⃗=B1⃗+B2⃗\vec{B_B} = \vec{B_1} + \vec{B_2}.Campo B1⃗\vec{B_1} debido a I1I_1 (hilo 1 en (0,0)(0,0), corriente en sentido +z+z):La posición del punto B respecto al hilo 1 es (xB−x1,yB−y1)=(2−0,3−0)=(2,3) m(x_B - x_1, y_B - y_1) = (2-0, 3-0) = (2, 3) \text{ m}. La distancia r1r_1 es r1=22+32=4+9=13 mr_1 = \sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{4+9} = \sqrt{13} \text{ m}. Usando la fórmula con corriente en sentido +z+z:

B1⃗=μ0I12πr12(−yBi^+xBj^)=8⋅10−7 T⋅m(13 m)2(−3i^+2j^)=8⋅10−713(−3i^+2j^) T\vec{B_1} = \frac{\mu_0 I_1}{2\pi r_1^2} (-y_B \hat{i} + x_B \hat{j}) = \frac{8 \cdot 10^{-7} \text{ T} \cdot \text{m}}{(\sqrt{13} \text{ m})^2} (-3 \hat{i} + 2 \hat{j}) = \frac{8 \cdot 10^{-7}}{13} (-3 \hat{i} + 2 \hat{j}) \text{ T}
B1⃗=(−2413i^+1613j^)⋅10−7≈(−1.846i^+1.231j^)⋅10−7 T\vec{B_1} = (-\frac{24}{13} \hat{i} + \frac{16}{13} \hat{j}) \cdot 10^{-7} \approx (-1.846 \hat{i} + 1.231 \hat{j}) \cdot 10^{-7} \text{ T}

Campo B2⃗\vec{B_2} debido a I2I_2 (hilo 2 en (4,0)(4,0), corriente en sentido −z-z):La posición del punto B respecto al hilo 2 es (xB−x2,yB−y2)=(2−4,3−0)=(−2,3) m(x_B - x_2, y_B - y_2) = (2-4, 3-0) = (-2, 3) \text{ m}. La distancia r2r_2 es r2=(−2)2+32=4+9=13 mr_2 = \sqrt{(-2)^2 + 3^2} = \sqrt{4+9} = \sqrt{13} \text{ m}. Usando la fórmula con corriente en sentido −z-z:

B2⃗=μ0I22πr22(yB′i^−xB′j^)=8⋅10−7 T⋅m(13 m)2(3i^−(−2)j^)=8⋅10−713(3i^+2j^) T\vec{B_2} = \frac{\mu_0 I_2}{2\pi r_2^2} (y_B' \hat{i} - x_B' \hat{j}) = \frac{8 \cdot 10^{-7} \text{ T} \cdot \text{m}}{(\sqrt{13} \text{ m})^2} (3 \hat{i} - (-2) \hat{j}) = \frac{8 \cdot 10^{-7}}{13} (3 \hat{i} + 2 \hat{j}) \text{ T}
B2⃗=(2413i^+1613j^)⋅10−7≈(1.846i^+1.231j^)⋅10−7 T\vec{B_2} = (\frac{24}{13} \hat{i} + \frac{16}{13} \hat{j}) \cdot 10^{-7} \approx (1.846 \hat{i} + 1.231 \hat{j}) \cdot 10^{-7} \text{ T}

Campo magnético total en B:

BB⃗=B1⃗+B2⃗=(−1.846⋅10−7i^+1.231⋅10−7j^)+(1.846⋅10−7i^+1.231⋅10−7j^)\vec{B_B} = \vec{B_1} + \vec{B_2} = (-1.846 \cdot 10^{-7} \hat{i} + 1.231 \cdot 10^{-7} \hat{j}) + (1.846 \cdot 10^{-7} \hat{i} + 1.231 \cdot 10^{-7} \hat{j})
BB⃗=(−1.846+1.846)⋅10−7i^+(1.231+1.231)⋅10−7j^\vec{B_B} = (-1.846 + 1.846) \cdot 10^{-7} \hat{i} + (1.231 + 1.231) \cdot 10^{-7} \hat{j}
BB⃗=0⋅10−7i^+2.462⋅10−7j^=2.462⋅10−7j^ T\vec{B_B} = 0 \cdot 10^{-7} \hat{i} + 2.462 \cdot 10^{-7} \hat{j} = 2.462 \cdot 10^{-7} \hat{j} \text{ T}