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T2: Interacción electromagnética
Inducción electromagnética
Problema
2022 · Ordinaria · Titular
A3
Examen

La figura representa una varilla metálica de 20 cm20 \text{ cm} de longitud, cuyos extremos deslizan sin rozamiento sobre unos raíles horizontales, paralelos al eje xx, metálicos y de resistencia despreciable. La varilla tiene resistencia despreciable y su velocidad es v⃗=2i⃗ m⋅s−1\vec{v} = 2 \vec{i} \text{ m} \cdot \text{s}^{-1}. Los raíles están conectados en x=0x = 0 por una resistencia de valor R=0,5 ΩR = 0,5 \, \Omega. En la región hay un campo magnético uniforme B⃗=−0,4k⃗ T\vec{B} = -0,4 \vec{k} \text{ T}. Calcule:

Imagen del ejercicio
a) La intensidad de la corriente en el circuito formado por la varilla, la resistencia y los tramos de raíl entre ellas.b) La fuerza F⃗\vec{F} que el campo magnético ejerce sobre la varilla.
Ley de FaradayFuerza magnéticaFuerza electromotriz
a) La intensidad de la corriente en el circuito formado por la varilla, la resistencia y los tramos de raíl entre ellas.

Los datos proporcionados son:

L=20 cm=0,20 mL = 20 \text{ cm} = 0,20 \text{ m}
v⃗=2i⃗ m⋅s−1\vec{v} = 2 \vec{i} \text{ m} \cdot \text{s}^{-1}
B⃗=−0,4k⃗ T\vec{B} = -0,4 \vec{k} \text{ T}
R=0,5 ΩR = 0,5 \, \Omega

La fuerza electromotriz (FEM) inducida en la varilla en movimiento dentro de un campo magnético se calcula mediante la expresión:

E=(v⃗×B⃗)⋅L⃗\mathcal{E} = (\vec{v} \times \vec{B}) \cdot \vec{L}

Primero, calculamos el producto vectorial v⃗×B⃗\vec{v} \times \vec{B}:

v⃗×B⃗=(2i⃗ m⋅s−1)×(−0,4k⃗ T)=−0,8(i⃗×k⃗) V⋅m−1\vec{v} \times \vec{B} = (2 \vec{i} \text{ m} \cdot \text{s}^{-1}) \times (-0,4 \vec{k} \text{ T}) = -0,8 (\vec{i} \times \vec{k}) \text{ V} \cdot \text{m}^{-1}

Dado que i⃗×k⃗=−j⃗\vec{i} \times \vec{k} = -\vec{j}:

v⃗×B⃗=−0,8(−j⃗)=0,8j⃗ V⋅m−1\vec{v} \times \vec{B} = -0,8 (-\vec{j}) = 0,8 \vec{j} \text{ V} \cdot \text{m}^{-1}

La dirección de la FEM inducida (y por lo tanto de la corriente) a lo largo de la varilla es en la dirección de v⃗×B⃗\vec{v} \times \vec{B}. Por lo tanto, el vector longitud de la varilla se considera L⃗=Lj⃗\vec{L} = L \vec{j}. Sustituyendo los valores:

E=(0,8j⃗ V⋅m−1)⋅(0,20j⃗ m)=0,8×0,20(j⃗⋅j⃗) V\mathcal{E} = (0,8 \vec{j} \text{ V} \cdot \text{m}^{-1}) \cdot (0,20 \vec{j} \text{ m}) = 0,8 \times 0,20 (\vec{j} \cdot \vec{j}) \text{ V}
E=0,16 V\mathcal{E} = 0,16 \text{ V}

De acuerdo con la Ley de Ohm, la intensidad de la corriente II en el circuito es:

I=ERI = \frac{\mathcal{E}}{R}
I=0,16 V0,5 Ω=0,32 AI = \frac{0,16 \text{ V}}{0,5 \, \Omega} = 0,32 \text{ A}

La corriente circula en sentido antihorario (de la parte inferior a la superior de la varilla, luego a través del raíl superior, la resistencia y el raíl inferior).

b) La fuerza F⃗\vec{F} que el campo magnético ejerce sobre la varilla.

La fuerza magnética F⃗\vec{F} que el campo magnético ejerce sobre un conductor por el que circula una corriente se calcula mediante la expresión:

F⃗=I(L⃗×B⃗)\vec{F} = I (\vec{L} \times \vec{B})

Sustituimos los valores conocidos:

F⃗=(0,32 A)×(0,20j⃗ m×(−0,4k⃗ T))\vec{F} = (0,32 \text{ A}) \times (0,20 \vec{j} \text{ m} \times (-0,4 \vec{k} \text{ T}))
F⃗=(0,32×0,20×(−0,4))(j⃗×k⃗) N\vec{F} = (0,32 \times 0,20 \times (-0,4)) (\vec{j} \times \vec{k}) \text{ N}

Dado que j⃗×k⃗=i⃗\vec{j} \times \vec{k} = \vec{i}:

F⃗=−0,0256i⃗ N\vec{F} = -0,0256 \vec{i} \text{ N}

Esta fuerza se opone al movimiento de la varilla, lo cual es consistente con la Ley de Lenz.