T2: Interacción electromagnética

Electrostática

Problema

2023 · Extraordinaria · Titular

Una carga situada en un punto del plano $xy$ da lugar a un potencial de $54 \text{ V}$ y a un campo eléctrico $\vec{E} = -180 \vec{j} \text{ V/m}$ en el origen de coordenadas.

a) Determine el valor de la carga y su posición.b) Se trae una segunda carga desde el infinito hasta el origen de coordenadas, proceso en el que la fuerza ejercida por la primera carga realiza un trabajo de

-270 \text{ nJ}

. Determine el valor de la segunda carga.

Dato: Constante de la ley de Coulomb, $K = 9 \cdot 10^{9} \text{ N} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{C}^{-2}$ .

potencial eléctricocampo eléctricocarga puntual+1

a) Determine el valor de la carga y su posición.

El potencial $V$ y el campo eléctrico $\vec{E}$ creados por una carga puntual $q_1$ a una distancia $r$ vienen dados por las expresiones:

V = \frac{K q_1}{r}

\vec{E} = \frac{K q_1}{r^2} \hat{r}

donde $\hat{r}$ es el vector unitario que va desde la carga hasta el punto donde se mide el campo. En este caso, el punto de medida es el origen $(0,0)$ . Si la carga $q_1$ está en la posición $(x_1, y_1)$ , el vector desde la carga al origen es $\vec{r}_{origen} - \vec{r}_{carga} = (0-x_1)\vec{i} + (0-y_1)\vec{j} = -x_1\vec{i} - y_1\vec{j}$ . La distancia es $r = \sqrt{x_1^2 + y_1^2}$ .El módulo del campo eléctrico $E$ y el potencial $V$ están relacionados por $E = |\vec{E}| = \frac{K|q_1|}{r^2}$ y $V = \frac{Kq_1}{r}$ . Por lo tanto, podemos relacionarlos como:

\begin{gathered} E = \frac{1}{r} \left( \frac{K|q_1|}{r} \right) \\ |V| = \frac{K|q_1|}{r} \end{gathered}

Si la carga es positiva, $V = \frac{Kq_1}{r}$ , y la relación es $E = \frac{V}{r}$ . Si la carga es negativa, $V = \frac{Kq_1}{r} < 0$ , y la relación es $E = \frac{|V|}{r}$ . Dado que $V = 54 \text{ V}$ es positivo, la carga $q_1$ debe ser positiva. Entonces, podemos usar:

r = \frac{V}{E}

Sustituyendo los valores dados:

r = \frac{54 \text{ V}}{180 \text{ V/m}} = 0.3 \text{ m}

Ahora podemos calcular el valor de la carga $q_1$ utilizando la expresión del potencial:

q_1 = \frac{V \cdot r}{K}

q_1 = \frac{54 \text{ V} \cdot 0.3 \text{ m}}{9 \cdot 10^9 \text{ N} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{C}^{-2}} = \frac{16.2 \text{ V} \cdot \text{m}}{9 \cdot 10^9 \text{ N} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{C}^{-2}} = 1.8 \cdot 10^{-9} \text{ C}

Por lo tanto, la carga es $q_1 = 1.8 \text{ nC}$ .Para determinar la posición de la carga $q_1$ , consideramos la dirección del campo eléctrico en el origen: $\vec{E} = -180 \vec{j} \text{ V/m}$ . Esto indica que el campo apunta en la dirección negativa del eje $y$ . Como la carga $q_1$ es positiva, el campo eléctrico que crea apunta alejándose de ella.Para que el campo en el origen apunte en la dirección $-\vec{j}$ , la carga $q_1$ debe estar situada en el eje $y$ positivo, por encima del origen, es decir, en $(0, y_1)$ con $y_1 > 0$ . La distancia $r$ calculada es $y_1$ .Así, la posición de la carga es $(0, 0.3 \text{ m})$ . El diagrama muestra la configuración.

b) Se trae una segunda carga desde el infinito hasta el origen de coordenadas, proceso en el que la fuerza ejercida por la primera carga realiza un trabajo de

-270 \text{ nJ}

. Determine el valor de la segunda carga.

El trabajo $W$ realizado por la fuerza eléctrica al mover una carga $q_2$ desde el infinito ( $V_\infty = 0$ ) hasta un punto donde el potencial es $V_{origen}$ viene dado por:

\begin{gathered} W = q_2 (V_{\infty} - V_{\text{origen}}) \\ W = q_2 (0 - V_{\text{origen}}) = -q_2 V_{\text{origen}} \end{gathered}

Donde $V_{\text{origen}}$ es el potencial creado por la carga $q_1$ en el origen, que ya conocemos ( $V_{\text{origen}} = 54 \text{ V}$ ). El trabajo realizado es $W = -270 \text{ nJ} = -270 \cdot 10^{-9} \text{ J}$ .Despejamos el valor de la segunda carga $q_2$ :

q_2 = -\frac{W}{V_{\text{origen}}}

q_2 = -\frac{-270 \cdot 10^{-9} \text{ J}}{54 \text{ V}} = \frac{270 \cdot 10^{-9} \text{ J}}{54 \text{ V}} = 5 \cdot 10^{-9} \text{ C}

Por lo tanto, la segunda carga es $q_2 = 5 \text{ nC}$ .