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T2: Interacción electromagnética
Inducción electromagnética
Problema
2022 · Extraordinaria · Titular
B3
Examen

Una espira cuadrada de 20 cm20 \text{ cm} de lado se somete a la acción de un campo magnético variable con el tiempo B(t)B(t) perpendicular al plano de la espira. Halle el flujo magnético y la fem inducida en la espira en el tiempo t=2 st = 2 \text{ s} en los siguientes casos:

a) Cuando el campo magnético es B(t)=KtB(t) = K t, con KK igual a 2⋅10−3 T⋅s−12 \cdot 10^{-3} \text{ T} \cdot \text{s}^{-1}.b) Cuando el campo magnético es B(t)=3⋅10−3cos⁡(3πt)B(t) = 3 \cdot 10^{-3} \cos(3\pi t), donde BB está en T\text{T} y tt está en s\text{s}.
Ley de FaradayFlujo magnéticoFuerza electromotriz inducida+1

Datos comunes para ambos apartados:

L=20 cm=0.20 mL = 20 \text{ cm} = 0.20 \text{ m}
A=L2=(0.20 m)2=0.04 m2A = L^2 = (0.20 \text{ m})^2 = 0.04 \text{ m}^2

El campo magnético es perpendicular al plano de la espira, por lo tanto, el ángulo entre el vector campo magnético B⃗\vec{B} y el vector superficie A⃗\vec{A} es θ=0∘\theta = 0^\circ o θ=180∘\theta = 180^\circ. Asumiendo cos⁡θ=1\cos\theta = 1, el flujo magnético se calcula como:

ΦB=BAcos⁡θ=BA\Phi_B = B A \cos\theta = B A

La fuerza electromotriz (fem) inducida se calcula mediante la Ley de Faraday:

ε=−dΦBdt\varepsilon = -\frac{d\Phi_B}{dt}
a) Cuando el campo magnético es B(t)=KtB(t) = K t, con K=2⋅10−3 T⋅s−1K = 2 \cdot 10^{-3} \text{ T} \cdot \text{s}^{-1}.

Calculamos el flujo magnético ΦB(t)\Phi_B(t):

ΦB(t)=B(t)A=(Kt)A=(2⋅10−3 T⋅s−1)t(0.04 m2)\Phi_B(t) = B(t) A = (K t) A = (2 \cdot 10^{-3} \text{ T} \cdot \text{s}^{-1}) t (0.04 \text{ m}^2)
ΦB(t)=(8⋅10−5)t Wb\Phi_B(t) = (8 \cdot 10^{-5}) t \text{ Wb}

Ahora, evaluamos el flujo magnético en t=2 st = 2 \text{ s}:

ΦB(2 s)=(8⋅10−5)(2 s) Wb\Phi_B(2 \text{ s}) = (8 \cdot 10^{-5}) (2 \text{ s}) \text{ Wb}
ΦB(2 s)=1.6⋅10−4 Wb\Phi_B(2 \text{ s}) = 1.6 \cdot 10^{-4} \text{ Wb}

Calculamos la fem inducida derivando el flujo magnético respecto al tiempo:

ε=−dΦBdt=−ddt[(8⋅10−5)t]\varepsilon = -\frac{d\Phi_B}{dt} = -\frac{d}{dt} [(8 \cdot 10^{-5}) t]
ε=−8⋅10−5 V\varepsilon = -8 \cdot 10^{-5} \text{ V}

La fem inducida es constante, por lo tanto, en t=2 st = 2 \text{ s} es:

ε(2 s)=−8⋅10−5 V\varepsilon(2 \text{ s}) = -8 \cdot 10^{-5} \text{ V}
b) Cuando el campo magnético es B(t)=3⋅10−3cos⁡(3πt)B(t) = 3 \cdot 10^{-3} \cos(3\pi t), donde BB está en T\text{T} y tt está en s\text{s}.

Calculamos el flujo magnético ΦB(t)\Phi_B(t):

ΦB(t)=B(t)A=(3⋅10−3cos⁡(3πt))(0.04 m2)\Phi_B(t) = B(t) A = (3 \cdot 10^{-3} \cos(3\pi t)) (0.04 \text{ m}^2)
ΦB(t)=1.2⋅10−4cos⁡(3πt) Wb\Phi_B(t) = 1.2 \cdot 10^{-4} \cos(3\pi t) \text{ Wb}

Ahora, evaluamos el flujo magnético en t=2 st = 2 \text{ s}:

ΦB(2 s)=1.2⋅10−4cos⁡(3π⋅2) Wb\Phi_B(2 \text{ s}) = 1.2 \cdot 10^{-4} \cos(3\pi \cdot 2) \text{ Wb}
ΦB(2 s)=1.2⋅10−4cos⁡(6π) Wb\Phi_B(2 \text{ s}) = 1.2 \cdot 10^{-4} \cos(6\pi) \text{ Wb}
ΦB(2 s)=1.2⋅10−4(1) Wb\Phi_B(2 \text{ s}) = 1.2 \cdot 10^{-4} (1) \text{ Wb}
ΦB(2 s)=1.2⋅10−4 Wb\Phi_B(2 \text{ s}) = 1.2 \cdot 10^{-4} \text{ Wb}

Calculamos la fem inducida derivando el flujo magnético respecto al tiempo. Recordamos que ddt(cos⁡(kt))=−ksin⁡(kt)\frac{d}{dt}(\cos(kt)) = -k\sin(kt):

ε=−dΦBdt=−ddt[1.2⋅10−4cos⁡(3πt)]\varepsilon = -\frac{d\Phi_B}{dt} = -\frac{d}{dt} [1.2 \cdot 10^{-4} \cos(3\pi t)]
ε=−1.2⋅10−4(−3πsin⁡(3πt))\varepsilon = -1.2 \cdot 10^{-4} (-3\pi \sin(3\pi t))
ε=3.6π⋅10−4sin⁡(3πt) V\varepsilon = 3.6\pi \cdot 10^{-4} \sin(3\pi t) \text{ V}

Ahora, evaluamos la fem inducida en t=2 st = 2 \text{ s}:

ε(2 s)=3.6π⋅10−4sin⁡(3π⋅2) V\varepsilon(2 \text{ s}) = 3.6\pi \cdot 10^{-4} \sin(3\pi \cdot 2) \text{ V}
ε(2 s)=3.6π⋅10−4sin⁡(6π) V\varepsilon(2 \text{ s}) = 3.6\pi \cdot 10^{-4} \sin(6\pi) \text{ V}
ε(2 s)=3.6π⋅10−4(0) V\varepsilon(2 \text{ s}) = 3.6\pi \cdot 10^{-4} (0) \text{ V}
ε(2 s)=0 V\varepsilon(2 \text{ s}) = 0 \text{ V}