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T2: Interacción electromagnética
Electrostática
Problema
2022 · Extraordinaria · Titular
A3
Examen

Dos cargas puntuales Q1=2 nCQ_1 = 2 \text{ nC} y Q2=−4 nCQ_2 = -4 \text{ nC} se encuentran en el plano (x,y)(x, y) en los puntos P1(1,0) mP_1 (1, 0) \text{ m} y P2(3,0) mP_2 (3, 0) \text{ m}, respectivamente. Calcule:

a) El campo eléctrico creado por ambas cargas en el punto (2,1) m(2, 1) \text{ m}.b) Las coordenadas del punto del eje x situado a la izquierda de la carga Q1Q_1 (x<1 mx < 1 \text{ m}) en el que el potencial electrostático creado por ambas cargas es cero.

Dato: Constante de la ley de Coulomb, K=9,0⋅109 N⋅m2⋅C−2K = 9,0 \cdot 10^9 \text{ N} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{C}^{-2}.

Campo eléctricoPotencial electrostáticoCargas puntuales
a) El campo eléctrico creado por ambas cargas en el punto (2,1) m(2, 1) \text{ m}.

El campo eléctrico E⃗\vec{E} creado por una carga puntual QQ en un punto PP se calcula mediante la fórmula:

E⃗=KQr2r^=KQr3r⃗\vec{E} = K \frac{Q}{r^2} \hat{r} = K \frac{Q}{r^3} \vec{r}

donde KK es la constante de Coulomb, QQ es la carga, rr es la distancia desde la carga al punto y r⃗\vec{r} es el vector posición desde la carga al punto. El campo eléctrico total es la suma vectorial de los campos creados por cada carga.Cargas y sus posiciones:

Q1=2 nC=2⋅10−9 Cen P1(1,0) mQ_1 = 2 \text{ nC} = 2 \cdot 10^{-9} \text{ C} \quad \text{en } P_1 (1, 0) \text{ m}
Q2=−4 nC=−4⋅10−9 Cen P2(3,0) mQ_2 = -4 \text{ nC} = -4 \cdot 10^{-9} \text{ C} \quad \text{en } P_2 (3, 0) \text{ m}

Punto de interés: PA(2,1) mP_A (2, 1) \text{ m}. Constante de Coulomb: K=9,0⋅109 N⋅m2⋅C−2K = 9,0 \cdot 10^9 \text{ N} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{C}^{-2}.Cálculo del campo eléctrico E⃗1\vec{E}_1 debido a Q1Q_1:Vector posición desde P1P_1 a PAP_A: r⃗1=PA−P1=(2−1)i^+(1−0)j^=(1i^+1j^) m\vec{r}_1 = P_A - P_1 = (2-1)\hat{i} + (1-0)\hat{j} = (1\hat{i} + 1\hat{j}) \text{ m}.Módulo de r⃗1\vec{r}_1: r1=∣r⃗1∣=12+12=2 mr_1 = |\vec{r}_1| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2} \text{ m}.

E⃗1=KQ1r13r⃗1=(9,0⋅109)2⋅10−9(2)3(i^+j^) N⋅C−1\vec{E}_1 = K \frac{Q_1}{r_1^3} \vec{r}_1 = (9,0 \cdot 10^9) \frac{2 \cdot 10^{-9}}{(\sqrt{2})^3} (\hat{i} + \hat{j}) \text{ N} \cdot \text{C}^{-1}
E⃗1=1822(i^+j^)=92(i^+j^)=922(i^+j^) N⋅C−1\vec{E}_1 = \frac{18}{2\sqrt{2}} (\hat{i} + \hat{j}) = \frac{9}{\sqrt{2}} (\hat{i} + \hat{j}) = \frac{9\sqrt{2}}{2} (\hat{i} + \hat{j}) \text{ N} \cdot \text{C}^{-1}

Cálculo del campo eléctrico E⃗2\vec{E}_2 debido a Q2Q_2:Vector posición desde P2P_2 a PAP_A: r⃗2=PA−P2=(2−3)i^+(1−0)j^=(−1i^+1j^) m\vec{r}_2 = P_A - P_2 = (2-3)\hat{i} + (1-0)\hat{j} = (-1\hat{i} + 1\hat{j}) \text{ m}.Módulo de r⃗2\vec{r}_2: r2=∣r⃗2∣=(−1)2+12=2 mr_2 = |\vec{r}_2| = \sqrt{(-1)^2 + 1^2} = \sqrt{2} \text{ m}.

E⃗2=KQ2r23r⃗2=(9,0⋅109)−4⋅10−9(2)3(−1i^+1j^) N⋅C−1\vec{E}_2 = K \frac{Q_2}{r_2^3} \vec{r}_2 = (9,0 \cdot 10^9) \frac{-4 \cdot 10^{-9}}{(\sqrt{2})^3} (-1\hat{i} + 1\hat{j}) \text{ N} \cdot \text{C}^{-1}
E⃗2=−3622(−1i^+1j^)=−182(−1i^+1j^)=−1822(−1i^+1j^)=92(i^−j^) N⋅C−1\vec{E}_2 = \frac{-36}{2\sqrt{2}} (-1\hat{i} + 1\hat{j}) = \frac{-18}{\sqrt{2}} (-1\hat{i} + 1\hat{j}) = -\frac{18\sqrt{2}}{2} (-1\hat{i} + 1\hat{j}) = 9\sqrt{2} (\hat{i} - \hat{j}) \text{ N} \cdot \text{C}^{-1}

Cálculo del campo eléctrico total E⃗=E⃗1+E⃗2\vec{E} = \vec{E}_1 + \vec{E}_2:

E⃗=(922i^+922j^)+(92i^−92j^) N⋅C−1\vec{E} = \left(\frac{9\sqrt{2}}{2}\hat{i} + \frac{9\sqrt{2}}{2}\hat{j}\right) + \left(9\sqrt{2}\hat{i} - 9\sqrt{2}\hat{j}\right) \text{ N} \cdot \text{C}^{-1}
E⃗=(922+92)i^+(922−92)j^ N⋅C−1\vec{E} = \left(\frac{9\sqrt{2}}{2} + 9\sqrt{2}\right)\hat{i} + \left(\frac{9\sqrt{2}}{2} - 9\sqrt{2}\right)\hat{j} \text{ N} \cdot \text{C}^{-1}
E⃗=(92+1822)i^+(92−1822)j^ N⋅C−1\vec{E} = \left(\frac{9\sqrt{2} + 18\sqrt{2}}{2}\right)\hat{i} + \left(\frac{9\sqrt{2} - 18\sqrt{2}}{2}\right)\hat{j} \text{ N} \cdot \text{C}^{-1}
E⃗=(2722i^−922j^) N⋅C−1\vec{E} = \left(\frac{27\sqrt{2}}{2}\hat{i} - \frac{9\sqrt{2}}{2}\hat{j}\right) \text{ N} \cdot \text{C}^{-1}

Expresado numéricamente (aproximado a dos decimales):

E⃗≈(19,09i^−6,36j^) N⋅C−1\vec{E} \approx (19,09\hat{i} - 6,36\hat{j}) \text{ N} \cdot \text{C}^{-1}
b) Las coordenadas del punto del eje x situado a la izquierda de la carga Q1Q_1 (x<1 mx < 1 \text{ m}) en el que el potencial electrostático creado por ambas cargas es cero.

El potencial electrostático VV creado por una carga puntual QQ a una distancia rr es:

V=KQrV = K \frac{Q}{r}

El potencial total en un punto es la suma algebraica de los potenciales creados por cada carga. Sea PB(x,0)P_B (x, 0) el punto en el eje x donde el potencial es cero, con la condición x<1 mx < 1 \text{ m}.Las distancias de las cargas al punto PB(x,0)P_B (x, 0) son:

r1=∣x−1∣=−(x−1)=1−x(ya que x<1)r_1 = |x - 1| = -(x - 1) = 1 - x \quad (\text{ya que } x < 1)
r2=∣x−3∣=−(x−3)=3−x(ya que x<1, luego x<3)r_2 = |x - 3| = -(x - 3) = 3 - x \quad (\text{ya que } x < 1, \text{ luego } x < 3)

El potencial total debe ser cero: V=V1+V2=0V = V_1 + V_2 = 0.

KQ1r1+KQ2r2=0K \frac{Q_1}{r_1} + K \frac{Q_2}{r_2} = 0

Dividiendo por KK y sustituyendo las distancias y los valores de las cargas:

Q11−x+Q23−x=0\frac{Q_1}{1 - x} + \frac{Q_2}{3 - x} = 0
2⋅10−9 C1−x+−4⋅10−9 C3−x=0\frac{2 \cdot 10^{-9} \text{ C}}{1 - x} + \frac{-4 \cdot 10^{-9} \text{ C}}{3 - x} = 0

Dividimos toda la ecuación por 10−910^{-9}:

21−x−43−x=0\frac{2}{1 - x} - \frac{4}{3 - x} = 0
21−x=43−x\frac{2}{1 - x} = \frac{4}{3 - x}

Multiplicando en cruz:

2(3−x)=4(1−x)2(3 - x) = 4(1 - x)
6−2x=4−4x6 - 2x = 4 - 4x
4x−2x=4−64x - 2x = 4 - 6
2x=−22x = -2
x=−1 mx = -1 \text{ m}

Este valor x=−1 mx = -1 \text{ m} cumple la condición de estar a la izquierda de Q1Q_1 (x<1 mx < 1 \text{ m}). Por lo tanto, las coordenadas del punto son (−1,0) m(-1, 0) \text{ m}.