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T2: Interacción electromagnética
Potencial y campo eléctrico
Problema
2024 · Ordinaria · Titular
B3
Examen

Dos partículas situadas en los puntos (−6,0) mm(-6, 0) \text{ mm} y (6,0) mm(6, 0) \text{ mm} del plano xyxy poseen cargas iguales de +9 nC+9 \text{ nC}. Obtenga el potencial eléctrico y el campo eléctrico en:

a) El origen de coordenadas.b) El punto (0,3) mm(0, 3) \text{ mm}.

Dato: Constante de la ley de Coulomb, K=9⋅109 N⋅m2/C2K = 9 \cdot 10^9 \text{ N} \cdot \text{m}^2 / \text{C}^2.

cargas puntualespotencial eléctricocampo eléctrico
Cálculo de Potencial y Campo Eléctrico

Datos del problema:

q1=q2=q=+9 nC=+9⋅10−9 Cq_1 = q_2 = q = +9 \text{ nC} = +9 \cdot 10^{-9} \text{ C}
Posicioˊn de q1:r⃗1=(−6,0) mm=(−6⋅10−3,0) m\text{Posición de } q_1: \vec{r}_1 = (-6, 0) \text{ mm} = (-6 \cdot 10^{-3}, 0) \text{ m}
Posicioˊn de q2:r⃗2=(6,0) mm=(6⋅10−3,0) m\text{Posición de } q_2: \vec{r}_2 = (6, 0) \text{ mm} = (6 \cdot 10^{-3}, 0) \text{ m}
K=9⋅109 N⋅m2/C2K = 9 \cdot 10^9 \text{ N} \cdot \text{m}^2 / \text{C}^2
a) El origen de coordenadas (0,0)(0, 0).

Sea PO=(0,0)P_O = (0, 0) el punto de interés. La distancia de cada carga al origen es la misma, rx=6⋅10−3 mr_x = 6 \cdot 10^{-3} \text{ m}.El potencial eléctrico es una magnitud escalar. El potencial total en el origen es la suma algebraica de los potenciales creados por cada carga:

VO=V1+V2=Kq1rx+Kq2rxV_O = V_1 + V_2 = K \frac{q_1}{r_x} + K \frac{q_2}{r_x}

Dado que q1=q2=qq_1 = q_2 = q, tenemos:

VO=2KqrxV_O = 2 K \frac{q}{r_x}
VO=2⋅(9⋅109 N⋅m2/C2)⋅9⋅10−9 C6⋅10−3 mV_O = 2 \cdot (9 \cdot 10^9 \text{ N} \cdot \text{m}^2 / \text{C}^2) \cdot \frac{9 \cdot 10^{-9} \text{ C}}{6 \cdot 10^{-3} \text{ m}}
VO=27000 V=2.7⋅104 VV_O = 27000 \text{ V} = 2.7 \cdot 10^4 \text{ V}

El campo eléctrico es una magnitud vectorial. El campo total en el origen es la suma vectorial de los campos creados por cada carga. La carga q1q_1 está en el lado negativo del eje x y es positiva, por lo que su campo E⃗1\vec{E}_1 en el origen apunta en la dirección +x+x. La carga q2q_2 está en el lado positivo del eje x y es positiva, por lo que su campo E⃗2\vec{E}_2 en el origen apunta en la dirección −x-x. Las magnitudes de ambos campos son iguales debido a la simetría del problema (∣r⃗1∣=∣r⃗2∣|\vec{r}_1| = |\vec{r}_2| y q1=q2q_1 = q_2). Por lo tanto, se anulan.

E⃗O=E⃗1+E⃗2=Kq1rx2i^+Kq2rx2(−i^)\vec{E}_O = \vec{E}_1 + \vec{E}_2 = K \frac{q_1}{r_x^2} \hat{i} + K \frac{q_2}{r_x^2} (-\hat{i})
E⃗O=(Kqrx2−Kqrx2)i^=0⃗ N/C\vec{E}_O = \left( K \frac{q}{r_x^2} - K \frac{q}{r_x^2} \right) \hat{i} = \vec{0} \text{ N/C}
b) El punto (0,3) mm(0, 3) \text{ mm}.

Sea P=(0,3⋅10−3) mP = (0, 3 \cdot 10^{-3}) \text{ m} el punto de interés. Primero calculamos la distancia de cada carga al punto PP. Dada la simetría del problema, ambas distancias son iguales.

XY+q_1+q_2PE1E2E_neta
r=(xP−xq)2+(yP−yq)2r = \sqrt{(x_P - x_q)^2 + (y_P - y_q)^2}
r=((0)−(−6⋅10−3 m))2+((3⋅10−3 m)−(0))2r = \sqrt{((0) - (-6 \cdot 10^{-3} \text{ m}))^2 + ((3 \cdot 10^{-3} \text{ m}) - (0))^2}
r=(6⋅10−3 m)2+(3⋅10−3 m)2r = \sqrt{(6 \cdot 10^{-3} \text{ m})^2 + (3 \cdot 10^{-3} \text{ m})^2}
r=36⋅10−6+9⋅10−6 m=45⋅10−6 mr = \sqrt{36 \cdot 10^{-6} + 9 \cdot 10^{-6}} \text{ m} = \sqrt{45 \cdot 10^{-6}} \text{ m}
r=45⋅10−3 m≈6.708⋅10−3 mr = \sqrt{45} \cdot 10^{-3} \text{ m} \approx 6.708 \cdot 10^{-3} \text{ m}

El potencial eléctrico en el punto PP es la suma algebraica de los potenciales individuales:

VP=V1+V2=Kq1r+Kq2rV_P = V_1 + V_2 = K \frac{q_1}{r} + K \frac{q_2}{r}

Dado que q1=q2=qq_1 = q_2 = q, tenemos:

VP=2KqrV_P = 2 K \frac{q}{r}
VP=2⋅(9⋅109 N⋅m2/C2)⋅9⋅10−9 C45⋅10−3 mV_P = 2 \cdot (9 \cdot 10^9 \text{ N} \cdot \text{m}^2 / \text{C}^2) \cdot \frac{9 \cdot 10^{-9} \text{ C}}{\sqrt{45} \cdot 10^{-3} \text{ m}}
VP=16245⋅103 V≈24148.8 V=2.415⋅104 VV_P = \frac{162}{\sqrt{45}} \cdot 10^3 \text{ V} \approx 24148.8 \text{ V} = 2.415 \cdot 10^4 \text{ V}

El campo eléctrico en el punto PP es la suma vectorial de los campos creados por cada carga. Los campos E⃗1\vec{E}_1 (debido a q1q_1) y E⃗2\vec{E}_2 (debido a q2q_2) tienen la misma magnitud y dirección tal que sus componentes en el eje xx se cancelan debido a la simetría, mientras que sus componentes en el eje yy se suman. El campo resultante estará dirigido a lo largo del eje yy positivo.La magnitud de cada campo es:

∣E⃗1∣=∣E⃗2∣=E=Kqr2|\vec{E}_1| = |\vec{E}_2| = E = K \frac{q}{r^2}

La componente yy de cada campo es Ey=Esin⁡θE_y = E \sin\theta, donde sin⁡θ=yPr\sin\theta = \frac{y_P}{r}. El campo total es 2Ey2 E_y en la dirección j^\hat{j}.

\vec{E}_P = (0, E_{Py}) = (0, 2 E \sin\theta) \hat{j}
E⃗P=2⋅Kqr2⋅yPrj^=2KqyPr3j^\vec{E}_P = 2 \cdot K \frac{q}{r^2} \cdot \frac{y_P}{r} \hat{j} = 2 K \frac{q y_P}{r^3} \hat{j}
E⃗P=2⋅(9⋅109)⋅(9⋅10−9)⋅(3⋅10−3)(45⋅10−3)3j^\vec{E}_P = 2 \cdot (9 \cdot 10^9) \cdot \frac{(9 \cdot 10^{-9}) \cdot (3 \cdot 10^{-3})}{(\sqrt{45} \cdot 10^{-3})^3} \hat{j}
E⃗P=2⋅9⋅9⋅3⋅109⋅10−9⋅10−3(45)3⋅(10−3)3j^\vec{E}_P = 2 \cdot 9 \cdot 9 \cdot 3 \cdot \frac{10^9 \cdot 10^{-9} \cdot 10^{-3}}{(\sqrt{45})^3 \cdot (10^{-3})^3} \hat{j}
E⃗P=4864545⋅106j^ N/C\vec{E}_P = \frac{486}{45 \sqrt{45}} \cdot 10^6 \hat{j} \text{ N/C}
E⃗P=48645⋅35⋅106j^=4861355⋅106j^ N/C\vec{E}_P = \frac{486}{45 \cdot 3 \sqrt{5}} \cdot 10^6 \hat{j} = \frac{486}{135 \sqrt{5}} \cdot 10^6 \hat{j} \text{ N/C}
E⃗P≈1.610⋅106j^ N/C\vec{E}_P \approx 1.610 \cdot 10^6 \hat{j} \text{ N/C}