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T2: Interacción electromagnética
Problema
2023 · Ordinaria · Titular
B3
Examen

Un ion de HeX+\ce{He^+} se sitúa inicialmente en reposo dentro de una región del espacio donde existe un campo eléctrico homogéneo de 103 V⋅m−110^3 \text{ V} \cdot \text{m}^{-1} que está dirigido a lo largo del eje +x+x.

a) Calcule la aceleración que experimenta el ion en el instante inicial.b) Determine la fuerza total sobre el ion si a los 20 μs20 \,\mu\text{s} de ser depositado se aplica un campo magnético homogéneo de 0,6 T0,6 \text{ T} a lo largo del eje +y+y.

Datos: Masa atómica del ion de HeX+\ce{He^+}, MHe=4 uM_{He} = 4 \text{ u}; Número de Avogadro, NA=6,02⋅1023 mol−1N_A = 6,02 \cdot 10^{23} \text{ mol}^{-1}; Valor absoluto de la carga del electrón, e=1,6⋅10−19 Ce = 1,6 \cdot 10^{-19} \text{ C}.

Fuerza de LorentzMovimiento de partículas cargadasCampo eléctrico+1
Resolución del Ejercicio

Datos iniciales:

q = +e = 1,6 \cdot 10^{-19} \text{ C}$ (carga del ion $\ce{He^+}$)
E = 10^3 \text{ V} \cdot \text{m}^{-1}$ a lo largo del eje $+x \implies \vec{E} = (10^3 \hat{i}) \text{ V} \cdot \text{m}^{-1}
MHe=4 uM_{He} = 4 \text{ u}
NA=6,02⋅1023 mol−1N_A = 6,02 \cdot 10^{23} \text{ mol}^{-1}
e=1,6⋅10−19 Ce = 1,6 \cdot 10^{-19} \text{ C}

Primero, calculamos la masa del ion de HeX+\ce{He^+} en kilogramos:

m=MHe (en g/mol)NA=4 g/mol6,02⋅1023 mol−1=4⋅10−3 kg6,02⋅1023≈6,64⋅10−27 kgm = \frac{M_{He} \text{ (en g/mol)}}{N_A} = \frac{4 \text{ g/mol}}{6,02 \cdot 10^{23} \text{ mol}^{-1}} = \frac{4 \cdot 10^{-3} \text{ kg}}{6,02 \cdot 10^{23}} \approx 6,64 \cdot 10^{-27} \text{ kg}
a) Calcule la aceleración que experimenta el ion en el instante inicial.

La fuerza eléctrica que actúa sobre el ion viene dada por la expresión:

F⃗E=qE⃗\vec{F}_E = q\vec{E}

Sustituyendo los valores:

F⃗E=(1,6⋅10−19 C)⋅(103i^ V⋅m−1)=(1,6⋅10−16i^) N\vec{F}_E = (1,6 \cdot 10^{-19} \text{ C}) \cdot (10^3 \hat{i} \text{ V} \cdot \text{m}^{-1}) = (1,6 \cdot 10^{-16} \hat{i}) \text{ N}

Según la segunda ley de Newton, la fuerza neta es igual al producto de la masa por la aceleración (F⃗=ma⃗\vec{F} = m\vec{a}). Por lo tanto, la aceleración es:

a⃗=F⃗Em\vec{a} = \frac{\vec{F}_E}{m}

Sustituyendo los valores:

a⃗=1,6⋅10−16i^ N6,64⋅10−27 kg≈(2,4⋅1010i^) m⋅s−2\vec{a} = \frac{1,6 \cdot 10^{-16} \hat{i} \text{ N}}{6,64 \cdot 10^{-27} \text{ kg}} \approx (2,4 \cdot 10^{10} \hat{i}) \text{ m} \cdot \text{s}^{-2}
b) Determine la fuerza total sobre el ion si a los 20 μs20 \,\mu\text{s} de ser depositado se aplica un campo magnético homogéneo de 0,6 T0,6 \text{ T} a lo largo del eje +y+y.

Primero, calculamos la velocidad que adquiere el ion a los t=20 μst = 20 \,\mu\text{s} debido a la aceleración constante. Como parte del reposo, v⃗0=0\vec{v}_0 = 0.

v⃗=v⃗0+a⃗t=a⃗t\vec{v} = \vec{v}_0 + \vec{a}t = \vec{a}t

Tiempo: t=20 μs=20⋅10−6 st = 20 \,\mu\text{s} = 20 \cdot 10^{-6} \text{ s}

v⃗=(2,4⋅1010i^ m⋅s−2)⋅(20⋅10−6 s)=(4,8⋅105i^) m⋅s−1\vec{v} = (2,4 \cdot 10^{10} \hat{i} \text{ m} \cdot \text{s}^{-2}) \cdot (20 \cdot 10^{-6} \text{ s}) = (4,8 \cdot 10^5 \hat{i}) \text{ m} \cdot \text{s}^{-1}

Ahora, se aplica un campo magnético B⃗=(0,6j^) T\vec{B} = (0,6 \hat{j}) \text{ T}. La fuerza total sobre el ion será la suma de la fuerza eléctrica y la fuerza magnética (Fuerza de Lorentz):

F⃗total=F⃗E+F⃗M\vec{F}_{total} = \vec{F}_E + \vec{F}_M

La fuerza eléctrica F⃗E\vec{F}_E ya la hemos calculado en el apartado a):

F⃗E=(1,6⋅10−16i^) N\vec{F}_E = (1,6 \cdot 10^{-16} \hat{i}) \text{ N}

La fuerza magnética F⃗M\vec{F}_M se calcula con la expresión:

F⃗M=q(v⃗×B⃗)\vec{F}_M = q(\vec{v} \times \vec{B})

Calculamos el producto vectorial v⃗×B⃗\vec{v} \times \vec{B}:

v⃗×B⃗=(4,8⋅105i^ m⋅s−1)×(0,6j^ T)\vec{v} \times \vec{B} = (4,8 \cdot 10^5 \hat{i} \text{ m} \cdot \text{s}^{-1}) \times (0,6 \hat{j} \text{ T})
=(4,8⋅105⋅0,6)(i^×j^)=(2,9⋅105)k^ (m⋅s−1) T= (4,8 \cdot 10^5 \cdot 0,6) (\hat{i} \times \hat{j}) = (2,9 \cdot 10^5) \hat{k} \text{ (m} \cdot \text{s}^{-1}) \text{ T}

Ahora calculamos la fuerza magnética:

F⃗M=(1,6⋅10−19 C)⋅(2,9⋅105k^ (m⋅s−1) T)≈(4,6⋅10−14k^) N\vec{F}_M = (1,6 \cdot 10^{-19} \text{ C}) \cdot (2,9 \cdot 10^5 \hat{k} \text{ (m} \cdot \text{s}^{-1}) \text{ T}) \approx (4,6 \cdot 10^{-14} \hat{k}) \text{ N}

Finalmente, la fuerza total sobre el ion es la suma vectorial de ambas fuerzas:

F⃗total=F⃗E+F⃗M=(1,6⋅10−16i^+4,6⋅10−14k^) N\vec{F}_{total} = \vec{F}_E + \vec{F}_M = (1,6 \cdot 10^{-16} \hat{i} + 4,6 \cdot 10^{-14} \hat{k}) \text{ N}