T2: Interacción electromagnética

Campo magnético de corrientes rectilíneas

Problema

2024 · Ordinaria · Titular

Un hilo conductor de longitud indefinida se extiende a lo largo del eje $z$ . Otro hilo de longitud indefinida paralelo al primero pasa por el punto $(5, 0, 0) \text{ cm}$ . Los dos hilos se repelen con una fuerza por unidad de longitud de $5 \cdot 10^{-5} \text{ N/m}$ . El campo magnético total se anula a lo largo de la recta $x = +10 \text{ cm}$ en el plano $xz$ .

a) Explique si las corrientes en los hilos son paralelas o antiparalelas y calcule su magnitud.b) Determine el módulo del campo magnético en el punto

(-5, 0, 0) \text{ cm}

Dato: Permeabilidad magnética del vacío, $\mu_0 = 4\pi \cdot 10^{-7} \text{ T} \cdot \text{m/A}$ .

corrientes indefinidasfuerza entre conductorescampo magnético nulo

a) Explique si las corrientes en los hilos son paralelas o antiparalelas y calcule su magnitud.

La fuerza entre dos hilos conductores rectilíneos y paralelos es de repulsión si las corrientes que circulan por ellos son antiparalelas (es decir, en sentidos opuestos). Si las corrientes fueran paralelas, la fuerza sería de atracción. Dado que los hilos se repelen, las corrientes deben ser antiparalelas.Denominemos $I_1$ a la corriente que circula por el hilo del eje $z$ (punto $(0,0,0)$ ) e $I_2$ a la corriente que circula por el hilo que pasa por $(5,0,0) \text{ cm}$ . Sea $d = 5 \text{ cm} = 0.05 \text{ m}$ la distancia entre los hilos. La fuerza por unidad de longitud entre dos hilos paralelos viene dada por la expresión:

\frac{F}{L} = \frac{\mu_0 I_1 I_2}{2\pi d}

Sustituyendo los valores conocidos:

5 \cdot 10^{-5} \text{ N/m} = \frac{(4\pi \cdot 10^{-7} \text{ T} \cdot \text{m/A}) I_1 I_2}{2\pi (0.05 \text{ m})}

5 \cdot 10^{-5} = \frac{2 \cdot 10^{-7} I_1 I_2}{0.05}

I_1 I_2 = \frac{5 \cdot 10^{-5} \cdot 0.05}{2 \cdot 10^{-7}} = \frac{2.5 \cdot 10^{-6}}{2 \cdot 10^{-7}} = 12.5 \text{ A}^2 \quad (1)

El campo magnético total se anula en la recta $x = +10 \text{ cm}$ en el plano $xz$ . Sea $P = (10, 0, 0) \text{ cm}$ este punto. Las distancias de los hilos a este punto son:

r_1 = 10 \text{ cm} - 0 \text{ cm} = 10 \text{ cm} = 0.1 \text{ m}

r_2 = 10 \text{ cm} - 5 \text{ cm} = 5 \text{ cm} = 0.05 \text{ m}

Para que el campo magnético total se anule en $P$ , los campos magnéticos creados por cada hilo deben tener el mismo módulo y direcciones opuestas. Si asumimos, por ejemplo, que $I_1$ circula en el sentido $+z$ y $I_2$ en el sentido $-z$ (ya que son antiparalelas):* El campo magnético $\vec{B}_1$ generado por $I_1$ en $P(10,0,0)$ (a la derecha de $I_1$ ) apunta en la dirección $-y$ .* El campo magnético $\vec{B}_2$ generado por $I_2$ en $P(10,0,0)$ (a la derecha de $I_2$ ) apunta en la dirección $+y$ . (Un campo magnético creado por una corriente en el sentido $-z$ genera un campo horario; a la derecha de la corriente, apunta en $+y$ ).Dado que las direcciones son opuestas, los campos pueden anularse si sus módulos son iguales. El módulo del campo magnético generado por un hilo infinito es $B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r}$ . Para que $B_{total} = 0$ , se debe cumplir que $B_1 = B_2$ :

\frac{\mu_0 I_1}{2\pi r_1} = \frac{\mu_0 I_2}{2\pi r_2}

\frac{I_1}{r_1} = \frac{I_2}{r_2}

\frac{I_1}{0.1 \text{ m}} = \frac{I_2}{0.05 \text{ m}}

I_1 = 2 I_2 \quad (2)

Ahora, resolvemos el sistema de ecuaciones (1) y (2):

(2 I_2) I_2 = 12.5 \implies 2 I_2^2 = 12.5 \implies I_2^2 = 6.25

I_2 = \sqrt{6.25} = 2.5 \text{ A}

I_1 = 2 I_2 = 2 \cdot 2.5 \text{ A} = 5.0 \text{ A}

b) Determine el módulo del campo magnético en el punto

(-5, 0, 0) \text{ cm}

Sea $Q = (-5, 0, 0) \text{ cm}$ el punto de interés. Las distancias de los hilos a este punto son:

r'_1 = |-5 \text{ cm} - 0 \text{ cm}| = 5 \text{ cm} = 0.05 \text{ m}

r'_2 = |-5 \text{ cm} - 5 \text{ cm}| = |-10 \text{ cm}| = 10 \text{ cm} = 0.1 \text{ m}

Calculamos el módulo de los campos magnéticos generados por cada hilo en el punto $Q$ :

B_1 = \frac{\mu_0 I_1}{2\pi r'_1} = \frac{(4\pi \cdot 10^{-7} \text{ T} \cdot \text{m/A}) (5.0 \text{ A})}{2\pi (0.05 \text{ m})}

B_1 = \frac{2 \cdot 10^{-7} \cdot 5.0}{0.05} \text{ T} = \frac{10 \cdot 10^{-7}}{0.05} \text{ T} = 2.0 \cdot 10^{-5} \text{ T}

B_2 = \frac{\mu_0 I_2}{2\pi r'_2} = \frac{(4\pi \cdot 10^{-7} \text{ T} \cdot \text{m/A}) (2.5 \text{ A})}{2\pi (0.1 \text{ m})}

B_2 = \frac{2 \cdot 10^{-7} \cdot 2.5}{0.1} \text{ T} = \frac{5 \cdot 10^{-7}}{0.1} \text{ T} = 5.0 \cdot 10^{-6} \text{ T}

Ahora, determinamos la dirección de los campos en $Q(-5,0,0)$ (asumiendo $I_1$ en $+z$ e $I_2$ en $-z$ ):* Para $I_1$ (en $+z$ , en el origen), en $Q(-5,0,0)$ (a la izquierda de $I_1$ ), el campo $\vec{B}_1$ apunta en la dirección $+y$ .* Para $I_2$ (en $-z$ , en $x=5$ ), en $Q(-5,0,0)$ (a la izquierda de $I_2$ ), el campo $\vec{B}_2$ apunta en la dirección $-y$ .El campo magnético total en $Q$ es la suma vectorial de $\vec{B}_1$ y $\vec{B}_2$ :

\vec{B}_{total} = \vec{B}_1 + \vec{B}_2 = (2.0 \cdot 10^{-5} \hat{j}) \text{ T} + (-5.0 \cdot 10^{-6} \hat{j}) \text{ T}

\vec{B}_{total} = (20 \cdot 10^{-6} - 5.0 \cdot 10^{-6}) \hat{j} \text{ T} = 15 \cdot 10^{-6} \hat{j} \text{ T}

El módulo del campo magnético total en el punto $(-5,0,0) \text{ cm}$ es:

|\vec{B}_{total}| = 1.5 \cdot 10^{-5} \text{ T}