T4: Óptica · Reflexión y refracción — FISICA PEvAU Madrid 2025

Reflexión y refracción

Problema

2025 · Extraordinaria · Titular

Dos cristales de grosor $10 \text{ cm}$ e índices de refracción $n_1 = 1,40$ y $n_2 = 1,50$ , están separados por una capa de aire de espesor desconocido, $e$ . Un rayo de luz incide por el punto $A$ desde el cristal 1 hacia el cristal 2 atravesando la capa de aire que los separa con un ángulo de incidencia de $30^\circ$ y saliendo por el punto $B$ tal y como se indica en la figura. Si la distancia horizontal entre los puntos $A$ y $B$ es $d = 9,2 \text{ cm}$ , determine:

a) El espesor,

e

, de la capa de aire situada entre ambos cristales.b) El tiempo que tarda el rayo de luz en llegar desde el punto

A

hasta el punto

B

Datos: Velocidad de la luz en el vacío, $c = 3 \cdot 10^8 \text{ m} \cdot \text{s}^{-1}$ ; Índice de refracción del aire, $n = 1$ .

Ley de SnellRefracciónCristales

a) El espesor,

e

, de la capa de aire situada entre ambos cristales.

Aplicamos la Ley de Snell en la primera interfase (Cristal 1 - Aire) para encontrar el ángulo de refracción en el aire, $r_1$ .

n_1 \sin(i_1) = n_{aire} \sin(r_1)

1.40 \cdot \sin(30^\circ) = 1 \cdot \sin(r_1)

\sin(r_1) = 1.40 \cdot 0.5 = 0.7

r_1 = \arcsin(0.7) \approx 44.43^\circ

Ahora, aplicamos la Ley de Snell en la segunda interfase (Aire - Cristal 2) para encontrar el ángulo de refracción en el cristal 2, $r_2$ . El ángulo de incidencia en esta interfase es $r_1$ .

n_{aire} \sin(r_1) = n_2 \sin(r_2)

1 \cdot 0.7 = 1.50 \cdot \sin(r_2)

\sin(r_2) = \frac{0.7}{1.50} = \frac{7}{15}

r_2 = \arcsin\left(\frac{7}{15}\right) \approx 27.82^\circ

La distancia horizontal total $d$ es la suma de los desplazamientos horizontales en la capa de aire ( $x_{aire}$ ) y en el cristal 2 ( $x_2$ ). La altura del cristal 2 es $h_2 = 10 \text{ cm} = 0.1 \text{ m}$ .

x_{aire} = e \tan(r_1)

x_2 = h_2 \tan(r_2)

d = x_{aire} + x_2 = e \tan(r_1) + h_2 \tan(r_2)

Calculamos los valores de las tangentes:

\tan(r_1) = \tan(44.43^\circ) \approx 0.9802

\tan(r_2) = \tan(27.82^\circ) \approx 0.5277

Sustituimos los valores conocidos en la ecuación de la distancia horizontal. $d = 9.2 \text{ cm} = 0.092 \text{ m}$ .

0.092 \text{ m} = e \cdot (0.9802) + 0.1 \text{ m} \cdot (0.5277)

0.092 = 0.9802e + 0.05277

0.9802e = 0.092 - 0.05277

0.9802e = 0.03923

e = \frac{0.03923}{0.9802} \approx 0.04002 \text{ m}

El espesor de la capa de aire es $e = 4.00 \text{ cm}$ .

b) El tiempo que tarda el rayo de luz en llegar desde el punto

A

hasta el punto

B

El tiempo total es la suma del tiempo que el rayo de luz pasa en el aire ( $t_{aire}$ ) y en el cristal 2 ( $t_2$ ). La velocidad de la luz en un medio con índice de refracción $n$ es $v = c/n$ . La longitud del camino recorrido en cada medio es $L = \text{espesor} / \cos(\theta_{\text{refracción}})$ . Por lo tanto, el tiempo en cada medio es $t = \frac{\text{espesor} \cdot n}{c \cdot \cos(\theta_{\text{refracción}})}$ .

t_{aire} = \frac{e \cdot n_{aire}}{c \cdot \cos(r_1)}

t_{aire} = \frac{0.04002 \text{ m} \cdot 1}{3 \cdot 10^8 \text{ m} \cdot \text{s}^{-1} \cdot \cos(44.43^\circ)}

t_{aire} = \frac{0.04002}{3 \cdot 10^8 \cdot 0.71414} = \frac{0.04002}{2.14242 \cdot 10^8} \approx 1.868 \cdot 10^{-10} \text{ s}

t_2 = \frac{h_2 \cdot n_2}{c \cdot \cos(r_2)}

t_2 = \frac{0.1 \text{ m} \cdot 1.50}{3 \cdot 10^8 \text{ m} \cdot \text{s}^{-1} \cdot \cos(27.82^\circ)}

t_2 = \frac{0.15}{3 \cdot 10^8 \cdot 0.8844} = \frac{0.15}{2.6532 \cdot 10^8} \approx 5.653 \cdot 10^{-10} \text{ s}

El tiempo total desde A hasta B es:

t_{total} = t_{aire} + t_2 = 1.868 \cdot 10^{-10} \text{ s} + 5.653 \cdot 10^{-10} \text{ s}

t_{total} = 7.521 \cdot 10^{-10} \text{ s}

El tiempo que tarda el rayo de luz en llegar desde el punto A hasta el punto B es $7.52 \cdot 10^{-10} \text{ s}$ .