Física nuclear — Física PEvAU Madrid

Radiactividad

Problema

2025 · Ordinaria · Titular

B5

Dos muestras, cada una de un radioisótopo distinto (radioisótopo 1 y radioisótopo 2) contienen en el momento de su preparación la misma masa del radioisótopo correspondiente. Las medidas de actividad de las muestras 1 y 2 para el instante inicial ( $t = 0$ ) y al cabo de un día arrojan los siguientes valores: $\begin{array}{|l|l|l|} \hline & A_1 (\text{kBq}) & A_2 (\text{kBq}) \ \hline t = 0 & 10,00 & 11,70 \ \hline t = 1 \text{ d} & 8,90 & 10,77 \ \hline \end{array}$

a) Calcule el período de semidesintegración de cada radioisótopo.b) Si

M_1

y

M_2

denotan las respectivas masas atómicas de los radioisótopos, determine el cociente

M_2/M_1

.

actividad radiactivaperiodo de semidesintegraciónmasas atómicas

a) Para calcular el período de semidesintegración (

T_{1/2}

) de cada radioisótopo, utilizamos la ley de desintegración radiactiva, que relaciona la actividad inicial (

A_0

) con la actividad en un instante posterior (

A(t)

):

A(t) = A_0 e^{-\lambda t}

donde $\lambda$ es la constante de desintegración. El período de semidesintegración se relaciona con $\lambda$ mediante la expresión:

T_{1/2} = \frac{\ln 2}{\lambda}

Aplicamos estas fórmulas para cada radioisótopo.

Radioisótopo 1

Datos: $A_{01} = 10.00 \text{ kBq}$ , $A_1(t=1\text{ d}) = 8.90 \text{ kBq}$ , $t = 1 \text{ d}$ .Sustituyendo en la ecuación de actividad:

8.90 \text{ kBq} = 10.00 \text{ kBq} \cdot e^{-\lambda_1 (1 \text{ d})}

\frac{8.90}{10.00} = e^{-\lambda_1 (1 \text{ d})}

\ln(0.89) = -\lambda_1 (1 \text{ d})

\lambda_1 = -\frac{\ln(0.89)}{1 \text{ d}} \approx -\frac{-0.11653}{1 \text{ d}} \approx 0.11653 \text{ d}^{-1}

Ahora calculamos el período de semidesintegración para el radioisótopo 1:

T_{1/2, 1} = \frac{\ln 2}{\lambda_1} = \frac{0.693147}{0.11653 \text{ d}^{-1}} \approx 5.948 \text{ d}

Radioisótopo 2

Datos: $A_{02} = 11.70 \text{ kBq}$ , $A_2(t=1\text{ d}) = 10.77 \text{ kBq}$ , $t = 1 \text{ d}$ .Sustituyendo en la ecuación de actividad:

10.77 \text{ kBq} = 11.70 \text{ kBq} \cdot e^{-\lambda_2 (1 \text{ d})}

\frac{10.77}{11.70} = e^{-\lambda_2 (1 \text{ d})}

\ln\left(\frac{10.77}{11.70}\right) = -\lambda_2 (1 \text{ d})

\lambda_2 = -\frac{\ln(0.92051)}{1 \text{ d}} \approx -\frac{-0.08279}{1 \text{ d}} \approx 0.08279 \text{ d}^{-1}

Ahora calculamos el período de semidesintegración para el radioisótopo 2:

T_{1/2, 2} = \frac{\ln 2}{\lambda_2} = \frac{0.693147}{0.08279 \text{ d}^{-1}} \approx 8.372 \text{ d}

b) Para determinar el cociente

M_2/M_1

, utilizaremos la relación entre la actividad inicial, la masa del radioisótopo y su masa atómica.

La masa de un radioisótopo ( $m_0$ ) está relacionada con el número inicial de núcleos ( $N_0$ ) y su masa atómica ( $M$ ) mediante:

m_0 = N_0 \frac{M}{N_A} \implies N_0 = \frac{m_0 N_A}{M}

donde $N_A$ es el número de Avogadro.La actividad inicial ( $A_0$ ) se relaciona con $N_0$ y la constante de desintegración $\lambda$ por:

A_0 = \lambda N_0

Sustituyendo $N_0$ en la ecuación de actividad inicial:

A_0 = \lambda \frac{m_0 N_A}{M}

De esta expresión, podemos despejar el producto $m_0 N_A$ :

m_0 N_A = \frac{A_0 M}{\lambda}

Dado que las masas iniciales de ambos radioisótopos son iguales ( $m_{01} = m_{02}$ ), y $N_A$ es una constante, podemos igualar las expresiones para ambos radioisótopos:

\frac{A_{01} M_1}{\lambda_1} = \frac{A_{02} M_2}{\lambda_2}

Despejamos el cociente $M_2/M_1$ :

\frac{M_2}{M_1} = \frac{A_{01} \lambda_2}{A_{02} \lambda_1}

Sustituyendo $\lambda = \frac{\ln 2}{T_{1/2}}$ :

\frac{M_2}{M_1} = \frac{A_{01} (\ln 2 / T_{1/2, 2})}{A_{02} (\ln 2 / T_{1/2, 1})} = \frac{A_{01} T_{1/2, 1}}{A_{02} T_{1/2, 2}}

Ahora, sustituimos los valores conocidos:

A_{01} = 10.00 \text{ kBq}

T_{1/2, 1} = 5.948 \text{ d}

A_{02} = 11.70 \text{ kBq}

T_{1/2, 2} = 8.372 \text{ d}

Realizando el cálculo:

\frac{M_2}{M_1} = \frac{(10.00 \text{ kBq}) \cdot (5.948 \text{ d})}{(11.70 \text{ kBq}) \cdot (8.372 \text{ d})} = \frac{59.48}{97.9524} \approx 0.607

T6: Física nuclear

Radiactividad

Problema

2025 · Extraordinaria · Titular

A5

Para una prueba diagnóstica se utiliza una cierta cantidad del isótopo 99 del tecnecio ( $^{99}\text{Tc}$ ) cuyo tiempo de semidesintegración es de $6 \text{ h}$ . Sabiendo que la actividad de la dosis que hay que inocular al paciente es de $5 \cdot 10^8 \text{ Bq}$ , determine:

a) La masa de isótopo que hay que inyectar al paciente.b) El tiempo que debe transcurrir para que la actividad sea de

1 \cdot 10^4 \text{ Bq}

.

Datos: Masa atómica del $^{99}\text{Tc}$ , $M_{^{99}\text{Tc}} = 98,9 \text{ u}$ ; Número de Avogadro, $N_A = 6,02 \cdot 10^{23} \text{ mol}^{-1}$ .

Desintegración radiactivaActividadIsótopos

a) La masa de isótopo que hay que inyectar al paciente.

Primero, calculamos la constante de desintegración ( $\lambda$ ) a partir del tiempo de semidesintegración ( $T_{1/2}$ ). Es importante usar unidades del Sistema Internacional, por lo que convertimos las horas a segundos.

T_{1/2} = 6 \text{ h} \cdot \frac{3600 \text{ s}}{1 \text{ h}} = 21600 \text{ s}

La relación entre la constante de desintegración y el tiempo de semidesintegración es:

\lambda = \frac{\ln 2}{T_{1/2}}

\lambda = \frac{0,693}{21600 \text{ s}} = 3,208 \cdot 10^{-5} \text{ s}^{-1}

La actividad ( $A$ ) se relaciona con el número de núcleos ( $N$ ) y la constante de desintegración mediante la fórmula $A = \lambda N$ . Dada la actividad inicial ( $A_0$ ), podemos encontrar el número inicial de núcleos ( $N_0$ ).

N_0 = \frac{A_0}{\lambda}

N_0 = \frac{5 \cdot 10^8 \text{ Bq}}{3,208 \cdot 10^{-5} \text{ s}^{-1}} = 1,558 \cdot 10^{13} \text{ núcleos}

Para convertir el número de núcleos a masa, utilizamos el número de Avogadro ( $N_A$ ) y la masa atómica del $^{99}\text{Tc}$ ( $M_{^{99}\text{Tc}}$ ). La masa molar se obtiene de la masa atómica expresada en g/mol.

M_{molar} = 98,9 \text{ g/mol} = 0,0989 \text{ kg/mol}

m = \frac{N_0 \cdot M_{molar}}{N_A}

m = \frac{1,558 \cdot 10^{13} \text{ núcleos} \cdot 0,0989 \text{ kg/mol}}{6,02 \cdot 10^{23} \text{ mol}^{-1}} = 2,56 \cdot 10^{-12} \text{ kg}

b) El tiempo que debe transcurrir para que la actividad sea de

1 \cdot 10^4 \text{ Bq}

.

Utilizamos la ley de desintegración radiactiva para la actividad:

A = A_0 \cdot e^{-\lambda t}

Despejamos el tiempo ( $t$ ):

e^{-\lambda t} = \frac{A}{A_0}

-\lambda t = \ln\left(\frac{A}{A_0}\right)

t = -\frac{1}{\lambda} \ln\left(\frac{A}{A_0}\right)

t = -\frac{1}{3,208 \cdot 10^{-5} \text{ s}^{-1}} \ln\left(\frac{1 \cdot 10^4 \text{ Bq}}{5 \cdot 10^8 \text{ Bq}}\right)

t = -\frac{1}{3,208 \cdot 10^{-5} \text{ s}^{-1}} \ln(2 \cdot 10^{-5})

t = -\frac{1}{3,208 \cdot 10^{-5} \text{ s}^{-1}} (-10,8197)

t = 337298,9 \text{ s}

Convertimos el tiempo a horas para mayor claridad:

t = 337298,9 \text{ s} \cdot \frac{1 \text{ h}}{3600 \text{ s}} = 93,7 \text{ h}

T6: Física nuclear

Radiactividad

Problema

2024 · Ordinaria · Titular

B5

Dos muestras, cada una de un radioisótopo distinto (radioisótopo $1$ y radioisótopo $2$ ) contienen en el momento de su preparación la misma masa del radioisótopo correspondiente. Las medidas de actividad de las muestras $1$ y $2$ para el instante inicial ( $t = 0$ ) y al cabo de un día arrojan los siguientes valores:

a) Calcule el período de semidesintegración de cada radioisótopo.b) Si

M_1

y

M_2

denotan las respectivas masas atómicas de los radioisótopos, determine el cociente

M_2/M_1

.

ley de desintegraciónactividad radiactivamasa atómica+1

a) Calcule el período de semidesintegración de cada radioisótopo.

La actividad de un radioisótopo sigue la ley de desintegración radiactiva:

A(t) = A_0 e^{-\lambda t}

donde $A_0$ es la actividad inicial, $A(t)$ es la actividad en el instante $t$ , y $\lambda$ es la constante de desintegración. El período de semidesintegración $T_{1/2}$ se relaciona con $\lambda$ mediante la expresión:

T_{1/2} = \frac{\ln(2)}{\lambda}

Para el radioisótopo 1:

A_{1,1} = A_{1,0} e^{-\lambda_1 t}

8,90 \text{ kBq} = 10,00 \text{ kBq} \cdot e^{-\lambda_1 (1 \text{ día})}

\frac{8,90}{10,00} = e^{-\lambda_1}

0,89 = e^{-\lambda_1}

\ln(0,89) = -\lambda_1

\lambda_1 = -\ln(0,89) \text{ día}^{-1} \approx 0,1165 \text{ día}^{-1}

Calculamos el período de semidesintegración para el radioisótopo 1:

T_{1/2,1} = \frac{\ln(2)}{\lambda_1} = \frac{0,693}{0,1165 \text{ día}^{-1}} \approx 5,95 \text{ días}

Para el radioisótopo 2:

A_{2,1} = A_{2,0} e^{-\lambda_2 t}

10,77 \text{ kBq} = 11,70 \text{ kBq} \cdot e^{-\lambda_2 (1 \text{ día})}

\frac{10,77}{11,70} = e^{-\lambda_2}

0,9205 \approx e^{-\lambda_2}

\ln(0,9205) = -\lambda_2

\lambda_2 = -\ln(0,9205) \text{ día}^{-1} \approx 0,0828 \text{ día}^{-1}

Calculamos el período de semidesintegración para el radioisótopo 2:

T_{1/2,2} = \frac{\ln(2)}{\lambda_2} = \frac{0,693}{0,0828 \text{ día}^{-1}} \approx 8,37 \text{ días}

b) Si

M_1

y

M_2

denotan las respectivas masas atómicas de los radioisótopos, determine el cociente

M_2/M_1

.

La actividad inicial $A_0$ de una muestra está relacionada con el número inicial de núcleos $N_0$ y la constante de desintegración $\lambda$ mediante:

A_0 = \lambda N_0

El número inicial de núcleos $N_0$ se puede expresar en términos de la masa inicial $m_0$ de la muestra, la masa atómica $M$ del radioisótopo y el número de Avogadro $N_A$ :

N_0 = \frac{m_0}{M} N_A

Sustituyendo $N_0$ en la expresión de la actividad inicial:

A_0 = \lambda \frac{m_0}{M} N_A

Para el radioisótopo 1:

A_{1,0} = \lambda_1 \frac{m_{0,1}}{M_1} N_A

Para el radioisótopo 2:

A_{2,0} = \lambda_2 \frac{m_{0,2}}{M_2} N_A

Dado que las masas iniciales de ambos radioisótopos son iguales, $m_{0,1} = m_{0,2} = m_0$ . Podemos despejar las masas atómicas $M_1$ y $M_2$ :

M_1 = \frac{\lambda_1 m_0 N_A}{A_{1,0}}

M_2 = \frac{\lambda_2 m_0 N_A}{A_{2,0}}

Ahora, formamos el cociente $M_2/M_1$ :

\frac{M_2}{M_1} = \frac{\frac{\lambda_2 m_0 N_A}{A_{2,0}}}{\frac{\lambda_1 m_0 N_A}{A_{1,0}}} = \frac{\lambda_2}{A_{2,0}} \cdot \frac{A_{1,0}}{\lambda_1}

\frac{M_2}{M_1} = \frac{\lambda_2}{\lambda_1} \cdot \frac{A_{1,0}}{A_{2,0}}

Sustituimos los valores calculados de $\lambda_1$ y $\lambda_2$ , y los valores iniciales de actividad dados:

\frac{M_2}{M_1} = \frac{0,0828 \text{ día}^{-1}}{0,1165 \text{ día}^{-1}} \cdot \frac{10,00 \text{ kBq}}{11,70 \text{ kBq}}

\frac{M_2}{M_1} \approx 0,7107 \cdot 0,8547 \approx 0,6078

\frac{M_2}{M_1} \approx 0,608

T6: Física nuclear

Desintegración radiactiva

Problema

2024 · Extraordinaria · Titular

A5

Para una prueba diagnóstica se utiliza una cierta cantidad del isótopo $99$ del tecnecio ( $^{99}\text{Tc}$ ) cuyo tiempo de semidesintegración es de $6 \text{ h}$ . Sabiendo que la actividad de la dosis que hay que inocular al paciente es de $5 \cdot 10^8 \text{ Bq}$ , determine:

a) La masa de isótopo que hay que inyectar al paciente.b) El tiempo que debe transcurrir para que la actividad sea de

1 \cdot 10^4 \text{ Bq}

.

Datos: Masa atómica del $^{99}\text{Tc}$ , $M_{^{99}\text{Tc}} = 98,9 \text{ u}$ ; Número de Avogadro, $N_A = 6,02 \cdot 10^{23} \text{ mol}^{-1}$ .

RadiactividadPeriodo de semidesintegraciónActividad

Datos proporcionados:

T_{1/2} = 6 \text{ h} = 6 \times 3600 \text{ s} = 21600 \text{ s}

A_0 = 5 \cdot 10^8 \text{ Bq}

A = 1 \cdot 10^4 \text{ Bq}

M_{^{99}\text{Tc}} = 98.9 \text{ u} = 0.0989 \text{ kg/mol}

N_A = 6.02 \cdot 10^{23} \text{ mol}^{-1}

Primero, calculamos la constante de desintegración $\lambda$ a partir del tiempo de semidesintegración $T_{1/2}$ :

\lambda = \frac{\ln(2)}{T_{1/2}}

\lambda = \frac{0.693}{21600 \text{ s}} = 3.208 \cdot 10^{-5} \text{ s}^{-1}

a) La masa de isótopo que hay que inyectar al paciente.

La actividad inicial $A_0$ está relacionada con el número inicial de núcleos $N_0$ mediante la expresión:

A_0 = \lambda N_0

Despejamos $N_0$ :

N_0 = \frac{A_0}{\lambda} = \frac{5 \cdot 10^8 \text{ Bq}}{3.208 \cdot 10^{-5} \text{ s}^{-1}} = 1.5586 \cdot 10^{13} \text{ núcleos}

La masa inicial $m_0$ se calcula a partir del número de núcleos $N_0$ , la masa molar del isótopo $M_{^{99}\text{Tc}}$ y el número de Avogadro $N_A$ :

m_0 = \frac{N_0 \cdot M_{^{99}\text{Tc}}}{N_A}

m_0 = \frac{(1.5586 \cdot 10^{13} \text{ núcleos}) \cdot (0.0989 \text{ kg/mol})}{6.02 \cdot 10^{23} \text{ mol}^{-1}} = 2.56 \cdot 10^{-12} \text{ kg}

b) El tiempo que debe transcurrir para que la actividad sea de

1 \cdot 10^4 \text{ Bq}

.

La actividad $A$ en un tiempo $t$ se rige por la ley de desintegración radiactiva:

A = A_0 e^{-\lambda t}

Sustituimos los valores y despejamos $t$ :

1 \cdot 10^4 \text{ Bq} = 5 \cdot 10^8 \text{ Bq} \cdot e^{-(3.208 \cdot 10^{-5} \text{ s}^{-1}) t}

\frac{1 \cdot 10^4 \text{ Bq}}{5 \cdot 10^8 \text{ Bq}} = e^{-(3.208 \cdot 10^{-5} \text{ s}^{-1}) t}

2 \cdot 10^{-5} = e^{-(3.208 \cdot 10^{-5} \text{ s}^{-1}) t}

Aplicamos logaritmo natural a ambos lados:

\ln(2 \cdot 10^{-5}) = -(3.208 \cdot 10^{-5} \text{ s}^{-1}) t

-10.8198 = -(3.208 \cdot 10^{-5} \text{ s}^{-1}) t

t = \frac{10.8198}{3.208 \cdot 10^{-5} \text{ s}^{-1}} = 3.373 \cdot 10^5 \text{ s}

Convertimos el tiempo a horas:

t = \frac{3.373 \cdot 10^5 \text{ s}}{3600 \text{ s/h}} = 93.7 \text{ h}

T6: Física nuclear

Radiactividad

Problema

2023 · Ordinaria · Suplente

B5

El isótopo del gas noble Radón-222 ( $\ce{^{222}Rn}$ ) es radiactivo y tiene un período de semidesintegración de $3,82 \text{ días}$ . La legislación ambiental limita la radiactividad causada por el $\ce{^{222}Rn}$ a $300 \text{ Bq}$ por metro cúbico.

a) Calcule la constante de desintegración del isótopo

\ce{^{222}Rn}

y la actividad inicial de

1 \text{ mg}

de

\ce{^{222}Rn}

.b) Determine la masa máxima de

\ce{^{222}Rn}

que puede haber en una habitación de

20 \text{ m}^3

para que no se sobrepase el límite máximo legal de radiactividad.

Datos: Masa atómica del $\ce{^{222}Rn}$ , $M_{\ce{^{222}Rn}} = 222 \text{ u}$ ; Número de Avogadro, $N_A = 6,02 \cdot 10^{23} \text{ mol}^{-1}$ .

Desintegración radiactivaActividad radiactiva

a) Calcule la constante de desintegración del isótopo

\ce{^{222}Rn}

y la actividad inicial de

1 \text{ mg}

de

\ce{^{222}Rn}

.

Para calcular la constante de desintegración ( $\lambda$ ), utilizamos la relación con el período de semidesintegración ( $T_{1/2}$ ). Primero, convertimos el período de semidesintegración a segundos:

T_{1/2} = 3,82 \text{ días} \times \frac{24 \text{ horas}}{1 \text{ día}} \times \frac{3600 \text{ s}}{1 \text{ hora}} = 330288 \text{ s}

La fórmula para la constante de desintegración es:

\lambda = \frac{\ln 2}{T_{1/2}}

Sustituyendo el valor de $T_{1/2}$ :

\lambda = \frac{0,693}{330288 \text{ s}} \approx 2,098 \cdot 10^{-6} \text{ s}^{-1}

Ahora calculamos la actividad inicial ( $A_0$ ) de $1 \text{ mg}$ de $\ce{^{222}Rn}$ . La actividad se define como $A = \lambda N$ , donde $N$ es el número de núcleos radiactivos. Primero, calculamos el número de núcleos en $1 \text{ mg}$ de $\ce{^{222}Rn}$ .Datos:Masa de $\ce{^{222}Rn}$ , $m = 1 \text{ mg} = 1 \cdot 10^{-3} \text{ g}$ Masa atómica del $\ce{^{222}Rn}$ , $M_{\ce{^{222}Rn}} = 222 \text{ u} = 222 \text{ g/mol}$ Número de Avogadro, $N_A = 6,02 \cdot 10^{23} \text{ mol}^{-1}$ El número de núcleos $N_0$ se calcula como:

N_0 = \frac{m}{M_{\ce{^{222}Rn}}} N_A

Sustituyendo los valores:

N_0 = \frac{1 \cdot 10^{-3} \text{ g}}{222 \text{ g/mol}} \times 6,02 \cdot 10^{23} \text{ mol}^{-1} \approx 2,712 \cdot 10^{18} \text{ núcleos}

Ahora calculamos la actividad inicial $A_0$ :

A_0 = \lambda N_0

Sustituyendo los valores de $\lambda$ y $N_0$ :

A_0 = (2,098 \cdot 10^{-6} \text{ s}^{-1}) \times (2,712 \cdot 10^{18}) \approx 5,69 \cdot 10^{12} \text{ Bq}

b) Determine la masa máxima de

\ce{^{222}Rn}

que puede haber en una habitación de

20 \text{ m}^3

para que no se sobrepase el límite máximo legal de radiactividad.

La legislación ambiental limita la radiactividad a $300 \text{ Bq/m}^3$ . La habitación tiene un volumen de $20 \text{ m}^3$ . Por lo tanto, la actividad máxima permitida en la habitación es:

A_{max} = 300 \frac{\text{Bq}}{\text{m}^3} \times 20 \text{ m}^3 = 6000 \text{ Bq}

Ahora utilizamos la relación entre actividad y masa. Sabemos que $A = \lambda N$ y $N = \frac{m}{M_{\ce{^{222}Rn}}} N_A$ . Sustituyendo $N$ en la expresión de la actividad, obtenemos:

A = \lambda \frac{m}{M_{\ce{^{222}Rn}}} N_A

Despejamos la masa $m$ :

m = \frac{A \cdot M_{\ce{^{222}Rn}}}{\lambda \cdot N_A}

Sustituyendo los valores de $A_{max}$ , $M_{\ce{^{222}Rn}}$ , $\lambda$ y $N_A$ :

m_{max} = \frac{(6000 \text{ Bq}) \times (222 \text{ g/mol})}{(2,098 \cdot 10^{-6} \text{ s}^{-1}) \times (6,02 \cdot 10^{23} \text{ mol}^{-1})}

m_{max} = \frac{1,332 \cdot 10^6 \text{ g} \cdot \text{s}^{-1}}{1,263 \cdot 10^{18} \text{ s}^{-1}} \approx 1,054 \cdot 10^{-12} \text{ g}

La masa máxima de $\ce{^{222}Rn}$ que puede haber en la habitación es aproximadamente $1,054 \cdot 10^{-12} \text{ g}$ (o $1,054 \text{ pg}$ ).

T6: Física nuclear

Problema

2023 · Ordinaria · Titular

A5

Se sospecha que un acuífero recibe aportes intermitentes de radón ( $^{222}\ce{Rn}$ ). Para comprobarlo, se toman semanalmente medidas de la actividad radiactiva de muestras de agua. Una de esas medidas arroja un valor de $14 \text{ Bq}$ para una muestra de un litro. Determine el valor de la medida de la siguiente semana, para otra muestra de un litro, en cada una de las siguientes condiciones:

a) Si no hubiese ningún aporte de

^{222}\ce{Rn}

en el transcurso de esa semana.b) Si el cuarto día de esa semana la concentración de

^{222}\ce{Rn}

en el acuífero experimentase un aumento súbito de

2 \cdot 10^{-16} \text{ g}

por cada litro de agua.

Datos: Período de semidesintegración del $^{222}\ce{Rn}$ , $T_{1/2} = 3,8 \text{ días}$ ; Masa atómica del $^{222}\ce{Rn}$ , $M_{222\text{-Rn}} = 222 \text{ u}$ ; Número de Avogadro, $N_A = 6,02 \cdot 10^{23} \text{ mol}^{-1}$ .

RadiactividadActividad radiactivaRadón-222+1

Cálculo de la constante de desintegración ($\lambda$)

El período de semidesintegración ( $T_{1/2}$ ) y la constante de desintegración ( $\lambda$ ) se relacionan mediante la siguiente expresión:

\lambda = \frac{\ln(2)}{T_{1/2}}

Sustituyendo el valor de $T_{1/2} = 3,8 \text{ días}$ :

\lambda = \frac{0,693147}{3,8 \text{ días}} \approx 0,182407 \text{ días}^{-1}

a) Si no hubiese ningún aporte de

^{222}\ce{Rn}

en el transcurso de esa semana.

En esta condición, la actividad radiactiva disminuye exponencialmente con el tiempo según la ley de desintegración radiactiva. El tiempo transcurrido es de una semana, es decir, $t = 7 \text{ días}$ .La fórmula para la actividad remanente ( $A(t)$ ) es:

A(t) = A_0 e^{-\lambda t}

Donde $A_0 = 14 \text{ Bq}$ es la actividad inicial. Sustituyendo los valores:

A(7 \text{ días}) = 14 \text{ Bq} \cdot e^{-(0,182407 \text{ días}^{-1}) \cdot (7 \text{ días})}

A(7 \text{ días}) = 14 \text{ Bq} \cdot e^{-1,276849}

A(7 \text{ días}) \approx 14 \text{ Bq} \cdot 0,278835

A(7 \text{ días}) \approx 3,9037 \text{ Bq}

b) Si el cuarto día de esa semana la concentración de

^{222}\ce{Rn}

en el acuífero experimentase un aumento súbito de

2 \cdot 10^{-16} \text{ g}

por cada litro de agua.

En este caso, la actividad total al final de la semana será la suma de dos componentes:1. La actividad remanente de la muestra inicial ( $A_1$ ) después de 7 días, que es el resultado del apartado a): $A_1 \approx 3,9037 \text{ Bq}$ .2. La actividad de la masa de $^{222}\ce{Rn}$ añadida ( $A_2$ ), que se produce el cuarto día y decaerá durante $7 - 4 = 3 \text{ días}$ .Primero, calculamos el número de átomos de $^{222}\ce{Rn}$ añadidos ( $N_{\text{añadido}}$ ) a partir de la masa y la masa molar ( $M_{222\text{-Rn}} = 222 \text{ g/mol}$ ):

N_{\text{añadido}} = \frac{\text{masa añadida}}{M_{\text{molar}}} \cdot N_A

N_{\text{añadido}} = \frac{2 \cdot 10^{-16} \text{ g}}{222 \text{ g/mol}} \cdot 6,02 \cdot 10^{23} \text{ mol}^{-1}

N_{\text{añadido}} = \frac{12,04 \cdot 10^7}{222} \approx 5,4234 \cdot 10^5 \text{ átomos}

A continuación, calculamos la actividad inicial de esta masa añadida ( $A_{0,\text{añadido}}$ ) en el momento de su adición. Para obtener la actividad en Bq, necesitamos $\lambda$ en $\text{s}^{-1}$ .Convertimos el período de semidesintegración a segundos:

T_{1/2} = 3,8 \text{ días} \cdot \frac{24 \text{ h}}{1 \text{ día}} \cdot \frac{3600 \text{ s}}{1 \text{ h}} = 328320 \text{ s}

Calculamos $\lambda$ en $\text{s}^{-1}$ :

\lambda = \frac{\ln(2)}{328320 \text{ s}} \approx \frac{0,693147}{328320 \text{ s}} \approx 2,1111 \cdot 10^{-6} \text{ s}^{-1}

Ahora calculamos $A_{0,\text{añadido}}$ :

A_{0,\text{añadido}} = \lambda N_{\text{añadido}} = (2,1111 \cdot 10^{-6} \text{ s}^{-1}) \cdot (5,4234 \cdot 10^5 \text{ átomos})

A_{0,\text{añadido}} \approx 1,1444 \text{ Bq}

Esta actividad decae durante $t' = 3 \text{ días}$ hasta la medida final. La actividad remanente ( $A_2$ ) será:

A_2 = A_{0,\text{añadido}} e^{-\lambda t'}

A_2 = 1,1444 \text{ Bq} \cdot e^{-(0,182407 \text{ días}^{-1}) \cdot (3 \text{ días})}

A_2 = 1,1444 \text{ Bq} \cdot e^{-0,547221}

A_2 \approx 1,1444 \text{ Bq} \cdot 0,57843

A_2 \approx 0,6620 \text{ Bq}

Finalmente, la actividad total ( $A_{\text{total}}$ ) medida al final de la semana será la suma de $A_1$ y $A_2$ :

A_{\text{total}} = A_1 + A_2

A_{\text{total}} = 3,9037 \text{ Bq} + 0,6620 \text{ Bq}

A_{\text{total}} \approx 4,5657 \text{ Bq}

T6: Física nuclear

Radiactividad

Problema

2023 · Extraordinaria · Titular

A5

En un laboratorio de preparación de radiofármacos se rompe accidentalmente una ampolla de una solución que contenía $^{18}\text{F}$ con una actividad de $18,5 \text{ MBq}$ .

a) Calcule la masa de

^{18}\text{F}

derramada.b) Determine el tiempo que ha de transcurrir hasta que la actividad se reduzca a

37 \text{ kBq}

.

Datos: Vida media del $^{18}\text{F}$ , $\tau = 109,7 \text{ minutos}$ ; Masa molar del $^{18}\text{F}$ , $M_F = 18 \text{ g/mol}$ ; Número de Avogadro, $N_A = 6,02 \cdot 10^{23} \text{ mol}^{-1}$ .

desintegración radiactivaactividadvida media+1

En primer lugar, convertimos los datos al Sistema Internacional. La "vida media" $\tau$ se refiere al tiempo de vida medio, que es el inverso de la constante de desintegración $\lambda$ .

\tau = 109,7 \text{ minutos} = 109,7 \cdot 60 \text{ s} = 6582 \text{ s}

\lambda = \frac{1}{\tau} = \frac{1}{6582 \text{ s}} \approx 1,5193 \cdot 10^{-4} \text{ s}^{-1}

A_0 = 18,5 \text{ MBq} = 18,5 \cdot 10^6 \text{ Bq}

A_f = 37 \text{ kBq} = 37 \cdot 10^3 \text{ Bq}

a) Calcule la masa de

^{18}\text{F}

derramada.

La actividad inicial $A_0$ se relaciona con el número inicial de núcleos radiactivos $N_0$ y la constante de desintegración $\lambda$ mediante la fórmula:

A_0 = \lambda N_0

Despejamos $N_0$ :

N_0 = \frac{A_0}{\lambda} = \frac{18,5 \cdot 10^6 \text{ Bq}}{1,5193 \cdot 10^{-4} \text{ s}^{-1}} \approx 1,2176 \cdot 10^{11} \text{ núcleos}

Ahora, para calcular la masa $m_0$ de $^{18}\text{F}$ , utilizamos el número de Avogadro $N_A$ y la masa molar $M_F$ :

m_0 = \frac{N_0 \cdot M_F}{N_A}

m_0 = \frac{(1,2176 \cdot 10^{11} \text{ núcleos}) \cdot (18 \text{ g/mol})}{6,02 \cdot 10^{23} \text{ mol}^{-1}} \approx 3,639 \cdot 10^{-12} \text{ g}

b) Determine el tiempo que ha de transcurrir hasta que la actividad se reduzca a

37 \text{ kBq}

.

La actividad $A_t$ en un tiempo $t$ se describe mediante la ley de desintegración radiactiva:

A_t = A_0 e^{-\lambda t}

Despejamos $t$ de la ecuación:

\frac{A_t}{A_0} = e^{-\lambda t}

\ln\left(\frac{A_t}{A_0}\right) = -\lambda t

t = -\frac{1}{\lambda} \ln\left(\frac{A_t}{A_0}\right) = -\tau \ln\left(\frac{A_t}{A_0}\right)

Sustituimos los valores:

t = - (6582 \text{ s}) \ln\left(\frac{37 \cdot 10^3 \text{ Bq}}{18,5 \cdot 10^6 \text{ Bq}}\right)

t = - (6582 \text{ s}) \ln(0,002)

t = - (6582 \text{ s}) \cdot (-6,2146) \approx 40916,6 \text{ s}

Convertimos el tiempo a minutos y horas para una mejor comprensión:

t = \frac{40916,6 \text{ s}}{60 \text{ s/min}} \approx 681,94 \text{ minutos}

t = \frac{681,94 \text{ minutos}}{60 \text{ min/h}} \approx 11,37 \text{ horas}

T6: Física nuclear

Desintegración radiactiva

Problema

2022 · Ordinaria · Titular

A5

Una muestra contiene inicialmente una masa de $30 \text{ mg}$ de $^{210}\text{Po}$ . Sabiendo que su período de semidesintegración es de $138,38 \text{ días}$ , determine:

a) La vida media del isótopo y la actividad inicial de la muestra.b) El tiempo que debe transcurrir para que el contenido de

^{210}\text{Po}

de la muestra se reduzca a

5 \text{ mg}

.

Datos: Masa atómica del $^{210}\text{Po}$ , $M_{\text{Po}} = 210 \text{ u}$ ; Número de Avogadro, $N_A = 6,02 \cdot 10^{23} \text{ mol}^{-1}$ .

Período de semidesintegraciónActividad radiactivaVida media

a) La vida media del isótopo y la actividad inicial de la muestra.

Primero, convertimos el periodo de semidesintegración a segundos:

T_{1/2} = 138,38 \text{ días} \cdot 24 \frac{\text{h}}{\text{día}} \cdot 3600 \frac{\text{s}}{\text{h}} = 11956512 \text{ s}

La constante de desintegración $\lambda$ se relaciona con el periodo de semidesintegración $T_{1/2}$ mediante la fórmula:

\lambda = \frac{\ln(2)}{T_{1/2}}

Sustituyendo los valores:

\lambda = \frac{0,693147}{11956512 \text{ s}} = 5,8006 \cdot 10^{-8} \text{ s}^{-1}

La vida media $\tau$ del isótopo es el inverso de la constante de desintegración:

\tau = \frac{1}{\lambda}

Sustituyendo el valor de $\lambda$ :

\tau = \frac{1}{5,8006 \cdot 10^{-8} \text{ s}^{-1}} = 1,72395 \cdot 10^{7} \text{ s}

Convertimos la vida media a días:

\tau = 1,72395 \cdot 10^{7} \text{ s} \cdot \frac{1 \text{ día}}{86400 \text{ s}} \approx 199,53 \text{ días}

Para calcular la actividad inicial $A_0$ , necesitamos primero determinar el número inicial de núcleos $N_0$ . La masa molar del $^{210}\text{Po}$ es $210 \text{ g/mol}$ . La masa inicial de la muestra es $m_0 = 30 \text{ mg} = 0,030 \text{ g}$ .

N_0 = \frac{m_0}{M_{\text{Po}}} \cdot N_A

Sustituyendo los valores:

N_0 = \frac{0,030 \text{ g}}{210 \text{ g/mol}} \cdot 6,02 \cdot 10^{23} \text{ mol}^{-1} \approx 8,600 \cdot 10^{19} \text{ núcleos}

La actividad inicial $A_0$ se calcula como:

A_0 = \lambda N_0

Sustituyendo los valores:

A_0 = (5,8006 \cdot 10^{-8} \text{ s}^{-1}) \cdot (8,600 \cdot 10^{19}) \approx 4,9885 \cdot 10^{12} \text{ Bq}

Redondeando, la actividad inicial es $A_0 \approx 4,99 \cdot 10^{12} \text{ Bq}$ .

b) El tiempo que debe transcurrir para que el contenido de

^{210}\text{Po}

de la muestra se reduzca a

5 \text{ mg}

.

La ley de desintegración radiactiva para la masa se expresa como:

m(t) = m_0 e^{-\lambda t}

Donde $m(t)$ es la masa en el tiempo $t$ , $m_0$ es la masa inicial y $\lambda$ es la constante de desintegración. Despejamos $t$ :

\frac{m(t)}{m_0} = e^{-\lambda t}

\ln\left(\frac{m(t)}{m_0}\right) = -\lambda t

t = -\frac{1}{\lambda} \ln\left(\frac{m(t)}{m_0}\right) = \frac{1}{\lambda} \ln\left(\frac{m_0}{m(t)}\right)

Sustituimos los valores: $m_0 = 30 \text{ mg}$ , $m(t) = 5 \text{ mg}$ y $\lambda = 5,8006 \cdot 10^{-8} \text{ s}^{-1}$ :

t = \frac{1}{5,8006 \cdot 10^{-8} \text{ s}^{-1}} \ln\left(\frac{30 \text{ mg}}{5 \text{ mg}}\right)

t = \frac{1}{5,8006 \cdot 10^{-8} \text{ s}^{-1}} \ln(6)

Como $\ln(6) \approx 1,79176$ :

t = \frac{1,79176}{5,8006 \cdot 10^{-8} \text{ s}^{-1}} \approx 3,0889 \cdot 10^{7} \text{ s}

Convertimos el tiempo a días:

t = 3,0889 \cdot 10^{7} \text{ s} \cdot \frac{1 \text{ día}}{86400 \text{ s}} \approx 357,51 \text{ días}

Redondeando, el tiempo transcurrido es $t \approx 358 \text{ días}$ .

T6: Física nuclear

Radiactividad

Problema

2022 · Extraordinaria · Titular

B5

El isótopo de americio, $^{241}\text{Am}$ , se ha utilizado para la fabricación de detectores de humo. Si la cantidad de americio $^{241}\text{Am}$ en un detector de humo en el momento de su fabricación es de $0,2$ miligramos y su tiempo de vida media, $\tau$ , es de $432$ años, determine:

a) El tiempo de semidesintegración del

^{241}\text{Am}

y la actividad inicial del detector de humo.b) La cantidad de

^{241}\text{Am}

en el detector de humo cuando su actividad haya disminuido un

80 \%

respecto de su valor inicial y el tiempo transcurrido.

Datos: Masa atómica del Am, $M_{\text{Am}} = 241 \text{ u}$ ; Número de Avogadro, $N_A = 6,02 \cdot 10^{23} \text{ mol}^{-1}$ .

Desintegración radiactivaVida mediaActividad radiactiva+1

a) El tiempo de semidesintegración del

^{241}\text{Am}

y la actividad inicial del detector de humo.

El tiempo de semidesintegración, $T_{1/2}$ , está relacionado con el tiempo de vida media, $\tau$ , y la constante de desintegración, $\lambda$ , por las siguientes expresiones:

\tau = \frac{1}{\lambda}

T_{1/2} = \frac{\ln(2)}{\lambda}

Por lo tanto, podemos relacionar directamente $T_{1/2}$ con $\tau$ :

T_{1/2} = \tau \ln(2)

Sustituyendo el valor dado de $\tau$ :

T_{1/2} = 432 \text{ años} \cdot \ln(2) = 432 \text{ años} \cdot 0,693 = 299,74 \text{ años}

Para calcular la actividad inicial, $A_0$ , necesitamos la constante de desintegración $\lambda$ y el número inicial de núcleos, $N_0$ . Primero, convertimos el tiempo de vida media a segundos:

\tau = 432 \text{ años} \cdot \left(\frac{365,25 \text{ días}}{1 \text{ año}}\right) \cdot \left(\frac{24 \text{ h}}{1 \text{ día}}\right) \cdot \left(\frac{3600 \text{ s}}{1 \text{ h}}\right) = 1,3629 \cdot 10^{10} \text{ s}

Ahora calculamos $\lambda$ :

\lambda = \frac{1}{\tau} = \frac{1}{1,3629 \cdot 10^{10} \text{ s}} = 7,337 \cdot 10^{-11} \text{ s}^{-1}

A continuación, calculamos el número inicial de núcleos de $^{241}\text{Am}$ ( $N_0$ ) a partir de la masa inicial $m_0 = 0,2 \text{ mg} = 0,2 \cdot 10^{-3} \text{ g}$ y la masa atómica $M_{\text{Am}} = 241 \text{ u}$ (que es $241 \text{ g/mol}$ ). Utilizamos el número de Avogadro, $N_A = 6,02 \cdot 10^{23} \text{ mol}^{-1}$ .

N_0 = \frac{m_0}{M_{\text{Am}}} N_A = \frac{0,2 \cdot 10^{-3} \text{ g}}{241 \text{ g/mol}} \cdot 6,02 \cdot 10^{23} \text{ mol}^{-1} = 4,996 \cdot 10^{17} \text{ núcleos}

Finalmente, la actividad inicial $A_0$ es:

A_0 = \lambda N_0 = (7,337 \cdot 10^{-11} \text{ s}^{-1}) \cdot (4,996 \cdot 10^{17} \text{ núcleos}) = 3,666 \cdot 10^{7} \text{ Bq}

b) La cantidad de

^{241}\text{Am}

en el detector de humo cuando su actividad haya disminuido un

80 \%

respecto de su valor inicial y el tiempo transcurrido.

Si la actividad ha disminuido un $80 \%$ , significa que la actividad actual $A$ es el $20 \%$ de la actividad inicial $A_0$ :

A = A_0 - 0,80 A_0 = 0,20 A_0

Dado que la actividad es directamente proporcional al número de núcleos ( $A = \lambda N$ ), y la masa es directamente proporcional al número de núcleos, la masa de $^{241}\text{Am}$ también será el $20 \%$ de la masa inicial:

m = 0,20 m_0 = 0,20 \cdot (0,2 \text{ mg}) = 0,04 \text{ mg}

Para calcular el tiempo transcurrido, $t$ , usamos la ley de desintegración radiactiva para la actividad:

A = A_0 e^{-\lambda t}

Sustituimos $A = 0,20 A_0$ :

0,20 A_0 = A_0 e^{-\lambda t}

0,20 = e^{-\lambda t}

Aplicamos el logaritmo natural a ambos lados:

\ln(0,20) = -\lambda t

Despejamos $t$ :

t = -\frac{\ln(0,20)}{\lambda}

Sabemos que $\ln(0,20) = \ln(1/5) = -\ln(5)$ , y que $\lambda = 1/\tau$ . Sustituyendo:

t = -\frac{-\ln(5)}{1/\tau} = \tau \ln(5)

Sustituyendo el valor de $\tau$ :

t = 432 \text{ años} \cdot \ln(5) = 432 \text{ años} \cdot 1,609 = 695,1 \text{ años}