T6: Física nuclear

Problema

2023 · Ordinaria · Titular

Se sospecha que un acuífero recibe aportes intermitentes de radón ( $^{222}\ce{Rn}$ ). Para comprobarlo, se toman semanalmente medidas de la actividad radiactiva de muestras de agua. Una de esas medidas arroja un valor de $14 \text{ Bq}$ para una muestra de un litro. Determine el valor de la medida de la siguiente semana, para otra muestra de un litro, en cada una de las siguientes condiciones:

a) Si no hubiese ningún aporte de

^{222}\ce{Rn}

en el transcurso de esa semana.b) Si el cuarto día de esa semana la concentración de

^{222}\ce{Rn}

en el acuífero experimentase un aumento súbito de

2 \cdot 10^{-16} \text{ g}

por cada litro de agua.

Datos: Período de semidesintegración del $^{222}\ce{Rn}$ , $T_{1/2} = 3,8 \text{ días}$ ; Masa atómica del $^{222}\ce{Rn}$ , $M_{222\text{-Rn}} = 222 \text{ u}$ ; Número de Avogadro, $N_A = 6,02 \cdot 10^{23} \text{ mol}^{-1}$ .

RadiactividadActividad radiactivaRadón-222+1

Cálculo de la constante de desintegración ($\lambda$)

El período de semidesintegración ( $T_{1/2}$ ) y la constante de desintegración ( $\lambda$ ) se relacionan mediante la siguiente expresión:

\lambda = \frac{\ln(2)}{T_{1/2}}

Sustituyendo el valor de $T_{1/2} = 3,8 \text{ días}$ :

\lambda = \frac{0,693147}{3,8 \text{ días}} \approx 0,182407 \text{ días}^{-1}

a) Si no hubiese ningún aporte de

^{222}\ce{Rn}

en el transcurso de esa semana.

En esta condición, la actividad radiactiva disminuye exponencialmente con el tiempo según la ley de desintegración radiactiva. El tiempo transcurrido es de una semana, es decir, $t = 7 \text{ días}$ .La fórmula para la actividad remanente ( $A(t)$ ) es:

A(t) = A_0 e^{-\lambda t}

Donde $A_0 = 14 \text{ Bq}$ es la actividad inicial. Sustituyendo los valores:

A(7 \text{ días}) = 14 \text{ Bq} \cdot e^{-(0,182407 \text{ días}^{-1}) \cdot (7 \text{ días})}

A(7 \text{ días}) = 14 \text{ Bq} \cdot e^{-1,276849}

A(7 \text{ días}) \approx 14 \text{ Bq} \cdot 0,278835

A(7 \text{ días}) \approx 3,9037 \text{ Bq}

b) Si el cuarto día de esa semana la concentración de

^{222}\ce{Rn}

en el acuífero experimentase un aumento súbito de

2 \cdot 10^{-16} \text{ g}

por cada litro de agua.

En este caso, la actividad total al final de la semana será la suma de dos componentes:1. La actividad remanente de la muestra inicial ( $A_1$ ) después de 7 días, que es el resultado del apartado a): $A_1 \approx 3,9037 \text{ Bq}$ .2. La actividad de la masa de $^{222}\ce{Rn}$ añadida ( $A_2$ ), que se produce el cuarto día y decaerá durante $7 - 4 = 3 \text{ días}$ .Primero, calculamos el número de átomos de $^{222}\ce{Rn}$ añadidos ( $N_{\text{añadido}}$ ) a partir de la masa y la masa molar ( $M_{222\text{-Rn}} = 222 \text{ g/mol}$ ):

N_{\text{añadido}} = \frac{\text{masa añadida}}{M_{\text{molar}}} \cdot N_A

N_{\text{añadido}} = \frac{2 \cdot 10^{-16} \text{ g}}{222 \text{ g/mol}} \cdot 6,02 \cdot 10^{23} \text{ mol}^{-1}

N_{\text{añadido}} = \frac{12,04 \cdot 10^7}{222} \approx 5,4234 \cdot 10^5 \text{ átomos}

A continuación, calculamos la actividad inicial de esta masa añadida ( $A_{0,\text{añadido}}$ ) en el momento de su adición. Para obtener la actividad en Bq, necesitamos $\lambda$ en $\text{s}^{-1}$ .Convertimos el período de semidesintegración a segundos:

T_{1/2} = 3,8 \text{ días} \cdot \frac{24 \text{ h}}{1 \text{ día}} \cdot \frac{3600 \text{ s}}{1 \text{ h}} = 328320 \text{ s}

Calculamos $\lambda$ en $\text{s}^{-1}$ :

\lambda = \frac{\ln(2)}{328320 \text{ s}} \approx \frac{0,693147}{328320 \text{ s}} \approx 2,1111 \cdot 10^{-6} \text{ s}^{-1}

Ahora calculamos $A_{0,\text{añadido}}$ :

A_{0,\text{añadido}} = \lambda N_{\text{añadido}} = (2,1111 \cdot 10^{-6} \text{ s}^{-1}) \cdot (5,4234 \cdot 10^5 \text{ átomos})

A_{0,\text{añadido}} \approx 1,1444 \text{ Bq}

Esta actividad decae durante $t' = 3 \text{ días}$ hasta la medida final. La actividad remanente ( $A_2$ ) será:

A_2 = A_{0,\text{añadido}} e^{-\lambda t'}

A_2 = 1,1444 \text{ Bq} \cdot e^{-(0,182407 \text{ días}^{-1}) \cdot (3 \text{ días})}

A_2 = 1,1444 \text{ Bq} \cdot e^{-0,547221}

A_2 \approx 1,1444 \text{ Bq} \cdot 0,57843

A_2 \approx 0,6620 \text{ Bq}

Finalmente, la actividad total ( $A_{\text{total}}$ ) medida al final de la semana será la suma de $A_1$ y $A_2$ :

A_{\text{total}} = A_1 + A_2

A_{\text{total}} = 3,9037 \text{ Bq} + 0,6620 \text{ Bq}

A_{\text{total}} \approx 4,5657 \text{ Bq}