T6: Física nuclear · Radiactividad — FISICA PEvAU Madrid 2023

Radiactividad

Problema

2023 · Ordinaria · Suplente

El isótopo del gas noble Radón-222 ( $\ce{^{222}Rn}$ ) es radiactivo y tiene un período de semidesintegración de $3,82 \text{ días}$ . La legislación ambiental limita la radiactividad causada por el $\ce{^{222}Rn}$ a $300 \text{ Bq}$ por metro cúbico.

a) Calcule la constante de desintegración del isótopo

\ce{^{222}Rn}

y la actividad inicial de

1 \text{ mg}

\ce{^{222}Rn}

.b) Determine la masa máxima de

\ce{^{222}Rn}

que puede haber en una habitación de

20 \text{ m}^3

para que no se sobrepase el límite máximo legal de radiactividad.

Datos: Masa atómica del $\ce{^{222}Rn}$ , $M_{\ce{^{222}Rn}} = 222 \text{ u}$ ; Número de Avogadro, $N_A = 6,02 \cdot 10^{23} \text{ mol}^{-1}$ .

Desintegración radiactivaActividad radiactiva

a) Calcule la constante de desintegración del isótopo

\ce{^{222}Rn}

y la actividad inicial de

1 \text{ mg}

\ce{^{222}Rn}

Para calcular la constante de desintegración ( $\lambda$ ), utilizamos la relación con el período de semidesintegración ( $T_{1/2}$ ). Primero, convertimos el período de semidesintegración a segundos:

T_{1/2} = 3,82 \text{ días} \times \frac{24 \text{ horas}}{1 \text{ día}} \times \frac{3600 \text{ s}}{1 \text{ hora}} = 330288 \text{ s}

La fórmula para la constante de desintegración es:

\lambda = \frac{\ln 2}{T_{1/2}}

Sustituyendo el valor de $T_{1/2}$ :

\lambda = \frac{0,693}{330288 \text{ s}} \approx 2,098 \cdot 10^{-6} \text{ s}^{-1}

Ahora calculamos la actividad inicial ( $A_0$ ) de $1 \text{ mg}$ de $\ce{^{222}Rn}$ . La actividad se define como $A = \lambda N$ , donde $N$ es el número de núcleos radiactivos. Primero, calculamos el número de núcleos en $1 \text{ mg}$ de $\ce{^{222}Rn}$ .Datos:Masa de $\ce{^{222}Rn}$ , $m = 1 \text{ mg} = 1 \cdot 10^{-3} \text{ g}$ Masa atómica del $\ce{^{222}Rn}$ , $M_{\ce{^{222}Rn}} = 222 \text{ u} = 222 \text{ g/mol}$ Número de Avogadro, $N_A = 6,02 \cdot 10^{23} \text{ mol}^{-1}$ El número de núcleos $N_0$ se calcula como:

N_0 = \frac{m}{M_{\ce{^{222}Rn}}} N_A

Sustituyendo los valores:

N_0 = \frac{1 \cdot 10^{-3} \text{ g}}{222 \text{ g/mol}} \times 6,02 \cdot 10^{23} \text{ mol}^{-1} \approx 2,712 \cdot 10^{18} \text{ núcleos}

Ahora calculamos la actividad inicial $A_0$ :

A_0 = \lambda N_0

Sustituyendo los valores de $\lambda$ y $N_0$ :

A_0 = (2,098 \cdot 10^{-6} \text{ s}^{-1}) \times (2,712 \cdot 10^{18}) \approx 5,69 \cdot 10^{12} \text{ Bq}

b) Determine la masa máxima de

\ce{^{222}Rn}

que puede haber en una habitación de

20 \text{ m}^3

para que no se sobrepase el límite máximo legal de radiactividad.

La legislación ambiental limita la radiactividad a $300 \text{ Bq/m}^3$ . La habitación tiene un volumen de $20 \text{ m}^3$ . Por lo tanto, la actividad máxima permitida en la habitación es:

A_{max} = 300 \frac{\text{Bq}}{\text{m}^3} \times 20 \text{ m}^3 = 6000 \text{ Bq}

Ahora utilizamos la relación entre actividad y masa. Sabemos que $A = \lambda N$ y $N = \frac{m}{M_{\ce{^{222}Rn}}} N_A$ . Sustituyendo $N$ en la expresión de la actividad, obtenemos:

A = \lambda \frac{m}{M_{\ce{^{222}Rn}}} N_A

Despejamos la masa $m$ :

m = \frac{A \cdot M_{\ce{^{222}Rn}}}{\lambda \cdot N_A}

Sustituyendo los valores de $A_{max}$ , $M_{\ce{^{222}Rn}}$ , $\lambda$ y $N_A$ :

m_{max} = \frac{(6000 \text{ Bq}) \times (222 \text{ g/mol})}{(2,098 \cdot 10^{-6} \text{ s}^{-1}) \times (6,02 \cdot 10^{23} \text{ mol}^{-1})}

m_{max} = \frac{1,332 \cdot 10^6 \text{ g} \cdot \text{s}^{-1}}{1,263 \cdot 10^{18} \text{ s}^{-1}} \approx 1,054 \cdot 10^{-12} \text{ g}

La masa máxima de $\ce{^{222}Rn}$ que puede haber en la habitación es aproximadamente $1,054 \cdot 10^{-12} \text{ g}$ (o $1,054 \text{ pg}$ ).