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T6: Física nuclear
Desintegración radiactiva
Problema
2022 · Ordinaria · Titular
A5
Examen

Una muestra contiene inicialmente una masa de 30 mg30 \text{ mg} de 210Po^{210}\text{Po}. Sabiendo que su período de semidesintegración es de 138,38 dıˊas138,38 \text{ días}, determine:

a) La vida media del isótopo y la actividad inicial de la muestra.b) El tiempo que debe transcurrir para que el contenido de 210Po^{210}\text{Po} de la muestra se reduzca a 5 mg5 \text{ mg}.

Datos: Masa atómica del 210Po^{210}\text{Po}, MPo=210 uM_{\text{Po}} = 210 \text{ u}; Número de Avogadro, NA=6,02⋅1023 mol−1N_A = 6,02 \cdot 10^{23} \text{ mol}^{-1}.

Período de semidesintegraciónActividad radiactivaVida media
a) La vida media del isótopo y la actividad inicial de la muestra.

Primero, convertimos el periodo de semidesintegración a segundos:

T1/2=138,38 dıˊas⋅24hdıˊa⋅3600sh=11956512 sT_{1/2} = 138,38 \text{ días} \cdot 24 \frac{\text{h}}{\text{día}} \cdot 3600 \frac{\text{s}}{\text{h}} = 11956512 \text{ s}

La constante de desintegración λ\lambda se relaciona con el periodo de semidesintegración T1/2T_{1/2} mediante la fórmula:

λ=ln⁡(2)T1/2\lambda = \frac{\ln(2)}{T_{1/2}}

Sustituyendo los valores:

λ=0,69314711956512 s=5,8006⋅10−8 s−1\lambda = \frac{0,693147}{11956512 \text{ s}} = 5,8006 \cdot 10^{-8} \text{ s}^{-1}

La vida media τ\tau del isótopo es el inverso de la constante de desintegración:

τ=1λ\tau = \frac{1}{\lambda}

Sustituyendo el valor de λ\lambda:

τ=15,8006⋅10−8 s−1=1,72395⋅107 s\tau = \frac{1}{5,8006 \cdot 10^{-8} \text{ s}^{-1}} = 1,72395 \cdot 10^{7} \text{ s}

Convertimos la vida media a días:

τ=1,72395⋅107 s⋅1 dıˊa86400 s≈199,53 dıˊas\tau = 1,72395 \cdot 10^{7} \text{ s} \cdot \frac{1 \text{ día}}{86400 \text{ s}} \approx 199,53 \text{ días}

Para calcular la actividad inicial A0A_0, necesitamos primero determinar el número inicial de núcleos N0N_0. La masa molar del 210Po^{210}\text{Po} es 210 g/mol210 \text{ g/mol}. La masa inicial de la muestra es m0=30 mg=0,030 gm_0 = 30 \text{ mg} = 0,030 \text{ g}.

N0=m0MPo⋅NAN_0 = \frac{m_0}{M_{\text{Po}}} \cdot N_A

Sustituyendo los valores:

N0=0,030 g210 g/mol⋅6,02⋅1023 mol−1≈8,600⋅1019 nuˊcleosN_0 = \frac{0,030 \text{ g}}{210 \text{ g/mol}} \cdot 6,02 \cdot 10^{23} \text{ mol}^{-1} \approx 8,600 \cdot 10^{19} \text{ núcleos}

La actividad inicial A0A_0 se calcula como:

A0=λN0A_0 = \lambda N_0

Sustituyendo los valores:

A0=(5,8006⋅10−8 s−1)⋅(8,600⋅1019)≈4,9885⋅1012 BqA_0 = (5,8006 \cdot 10^{-8} \text{ s}^{-1}) \cdot (8,600 \cdot 10^{19}) \approx 4,9885 \cdot 10^{12} \text{ Bq}

Redondeando, la actividad inicial es A0≈4,99⋅1012 BqA_0 \approx 4,99 \cdot 10^{12} \text{ Bq}.

b) El tiempo que debe transcurrir para que el contenido de 210Po^{210}\text{Po} de la muestra se reduzca a 5 mg5 \text{ mg}.

La ley de desintegración radiactiva para la masa se expresa como:

m(t)=m0e−λtm(t) = m_0 e^{-\lambda t}

Donde m(t)m(t) es la masa en el tiempo tt, m0m_0 es la masa inicial y λ\lambda es la constante de desintegración. Despejamos tt:

m(t)m0=e−λt\frac{m(t)}{m_0} = e^{-\lambda t}
ln⁡(m(t)m0)=−λt\ln\left(\frac{m(t)}{m_0}\right) = -\lambda t
t=−1λln⁡(m(t)m0)=1λln⁡(m0m(t))t = -\frac{1}{\lambda} \ln\left(\frac{m(t)}{m_0}\right) = \frac{1}{\lambda} \ln\left(\frac{m_0}{m(t)}\right)

Sustituimos los valores: m0=30 mgm_0 = 30 \text{ mg}, m(t)=5 mgm(t) = 5 \text{ mg} y λ=5,8006⋅10−8 s−1\lambda = 5,8006 \cdot 10^{-8} \text{ s}^{-1}:

t=15,8006⋅10−8 s−1ln⁡(30 mg5 mg)t = \frac{1}{5,8006 \cdot 10^{-8} \text{ s}^{-1}} \ln\left(\frac{30 \text{ mg}}{5 \text{ mg}}\right)
t=15,8006⋅10−8 s−1ln⁡(6)t = \frac{1}{5,8006 \cdot 10^{-8} \text{ s}^{-1}} \ln(6)

Como ln⁡(6)≈1,79176\ln(6) \approx 1,79176:

t=1,791765,8006⋅10−8 s−1≈3,0889⋅107 st = \frac{1,79176}{5,8006 \cdot 10^{-8} \text{ s}^{-1}} \approx 3,0889 \cdot 10^{7} \text{ s}

Convertimos el tiempo a días:

t=3,0889⋅107 s⋅1 dıˊa86400 s≈357,51 dıˊast = 3,0889 \cdot 10^{7} \text{ s} \cdot \frac{1 \text{ día}}{86400 \text{ s}} \approx 357,51 \text{ días}

Redondeando, el tiempo transcurrido es t≈358 dıˊast \approx 358 \text{ días}.