T6: Física nuclear · Radiactividad — FISICA PEvAU Madrid 2023

Radiactividad

Problema

2023 · Extraordinaria · Titular

En un laboratorio de preparación de radiofármacos se rompe accidentalmente una ampolla de una solución que contenía $^{18}\text{F}$ con una actividad de $18,5 \text{ MBq}$ .

a) Calcule la masa de

^{18}\text{F}

derramada.b) Determine el tiempo que ha de transcurrir hasta que la actividad se reduzca a

37 \text{ kBq}

Datos: Vida media del $^{18}\text{F}$ , $\tau = 109,7 \text{ minutos}$ ; Masa molar del $^{18}\text{F}$ , $M_F = 18 \text{ g/mol}$ ; Número de Avogadro, $N_A = 6,02 \cdot 10^{23} \text{ mol}^{-1}$ .

desintegración radiactivaactividadvida media+1

En primer lugar, convertimos los datos al Sistema Internacional. La "vida media" $\tau$ se refiere al tiempo de vida medio, que es el inverso de la constante de desintegración $\lambda$ .

\tau = 109,7 \text{ minutos} = 109,7 \cdot 60 \text{ s} = 6582 \text{ s}

\lambda = \frac{1}{\tau} = \frac{1}{6582 \text{ s}} \approx 1,5193 \cdot 10^{-4} \text{ s}^{-1}

A_0 = 18,5 \text{ MBq} = 18,5 \cdot 10^6 \text{ Bq}

A_f = 37 \text{ kBq} = 37 \cdot 10^3 \text{ Bq}

a) Calcule la masa de

^{18}\text{F}

derramada.

La actividad inicial $A_0$ se relaciona con el número inicial de núcleos radiactivos $N_0$ y la constante de desintegración $\lambda$ mediante la fórmula:

A_0 = \lambda N_0

Despejamos $N_0$ :

N_0 = \frac{A_0}{\lambda} = \frac{18,5 \cdot 10^6 \text{ Bq}}{1,5193 \cdot 10^{-4} \text{ s}^{-1}} \approx 1,2176 \cdot 10^{11} \text{ núcleos}

Ahora, para calcular la masa $m_0$ de $^{18}\text{F}$ , utilizamos el número de Avogadro $N_A$ y la masa molar $M_F$ :

m_0 = \frac{N_0 \cdot M_F}{N_A}

m_0 = \frac{(1,2176 \cdot 10^{11} \text{ núcleos}) \cdot (18 \text{ g/mol})}{6,02 \cdot 10^{23} \text{ mol}^{-1}} \approx 3,639 \cdot 10^{-12} \text{ g}

b) Determine el tiempo que ha de transcurrir hasta que la actividad se reduzca a

37 \text{ kBq}

La actividad $A_t$ en un tiempo $t$ se describe mediante la ley de desintegración radiactiva:

A_t = A_0 e^{-\lambda t}

Despejamos $t$ de la ecuación:

\frac{A_t}{A_0} = e^{-\lambda t}

\ln\left(\frac{A_t}{A_0}\right) = -\lambda t

t = -\frac{1}{\lambda} \ln\left(\frac{A_t}{A_0}\right) = -\tau \ln\left(\frac{A_t}{A_0}\right)

Sustituimos los valores:

t = - (6582 \text{ s}) \ln\left(\frac{37 \cdot 10^3 \text{ Bq}}{18,5 \cdot 10^6 \text{ Bq}}\right)

t = - (6582 \text{ s}) \ln(0,002)

t = - (6582 \text{ s}) \cdot (-6,2146) \approx 40916,6 \text{ s}

Convertimos el tiempo a minutos y horas para una mejor comprensión:

t = \frac{40916,6 \text{ s}}{60 \text{ s/min}} \approx 681,94 \text{ minutos}

t = \frac{681,94 \text{ minutos}}{60 \text{ min/h}} \approx 11,37 \text{ horas}