T6: Física nuclear · Radiactividad — FISICA PEvAU Madrid 2024

Radiactividad

Problema

2024 · Ordinaria · Titular

Dos muestras, cada una de un radioisótopo distinto (radioisótopo $1$ y radioisótopo $2$ ) contienen en el momento de su preparación la misma masa del radioisótopo correspondiente. Las medidas de actividad de las muestras $1$ y $2$ para el instante inicial ( $t = 0$ ) y al cabo de un día arrojan los siguientes valores:

a) Calcule el período de semidesintegración de cada radioisótopo.b) Si

M_1

M_2

denotan las respectivas masas atómicas de los radioisótopos, determine el cociente

M_2/M_1

ley de desintegraciónactividad radiactivamasa atómica+1

a) Calcule el período de semidesintegración de cada radioisótopo.

La actividad de un radioisótopo sigue la ley de desintegración radiactiva:

A(t) = A_0 e^{-\lambda t}

donde $A_0$ es la actividad inicial, $A(t)$ es la actividad en el instante $t$ , y $\lambda$ es la constante de desintegración. El período de semidesintegración $T_{1/2}$ se relaciona con $\lambda$ mediante la expresión:

T_{1/2} = \frac{\ln(2)}{\lambda}

Para el radioisótopo 1:

A_{1,1} = A_{1,0} e^{-\lambda_1 t}

8,90 \text{ kBq} = 10,00 \text{ kBq} \cdot e^{-\lambda_1 (1 \text{ día})}

\frac{8,90}{10,00} = e^{-\lambda_1}

0,89 = e^{-\lambda_1}

\ln(0,89) = -\lambda_1

\lambda_1 = -\ln(0,89) \text{ día}^{-1} \approx 0,1165 \text{ día}^{-1}

Calculamos el período de semidesintegración para el radioisótopo 1:

T_{1/2,1} = \frac{\ln(2)}{\lambda_1} = \frac{0,693}{0,1165 \text{ día}^{-1}} \approx 5,95 \text{ días}

Para el radioisótopo 2:

A_{2,1} = A_{2,0} e^{-\lambda_2 t}

10,77 \text{ kBq} = 11,70 \text{ kBq} \cdot e^{-\lambda_2 (1 \text{ día})}

\frac{10,77}{11,70} = e^{-\lambda_2}

0,9205 \approx e^{-\lambda_2}

\ln(0,9205) = -\lambda_2

\lambda_2 = -\ln(0,9205) \text{ día}^{-1} \approx 0,0828 \text{ día}^{-1}

Calculamos el período de semidesintegración para el radioisótopo 2:

T_{1/2,2} = \frac{\ln(2)}{\lambda_2} = \frac{0,693}{0,0828 \text{ día}^{-1}} \approx 8,37 \text{ días}

b) Si

M_1

M_2

denotan las respectivas masas atómicas de los radioisótopos, determine el cociente

M_2/M_1

La actividad inicial $A_0$ de una muestra está relacionada con el número inicial de núcleos $N_0$ y la constante de desintegración $\lambda$ mediante:

A_0 = \lambda N_0

El número inicial de núcleos $N_0$ se puede expresar en términos de la masa inicial $m_0$ de la muestra, la masa atómica $M$ del radioisótopo y el número de Avogadro $N_A$ :

N_0 = \frac{m_0}{M} N_A

Sustituyendo $N_0$ en la expresión de la actividad inicial:

A_0 = \lambda \frac{m_0}{M} N_A

Para el radioisótopo 1:

A_{1,0} = \lambda_1 \frac{m_{0,1}}{M_1} N_A

Para el radioisótopo 2:

A_{2,0} = \lambda_2 \frac{m_{0,2}}{M_2} N_A

Dado que las masas iniciales de ambos radioisótopos son iguales, $m_{0,1} = m_{0,2} = m_0$ . Podemos despejar las masas atómicas $M_1$ y $M_2$ :

M_1 = \frac{\lambda_1 m_0 N_A}{A_{1,0}}

M_2 = \frac{\lambda_2 m_0 N_A}{A_{2,0}}

Ahora, formamos el cociente $M_2/M_1$ :

\frac{M_2}{M_1} = \frac{\frac{\lambda_2 m_0 N_A}{A_{2,0}}}{\frac{\lambda_1 m_0 N_A}{A_{1,0}}} = \frac{\lambda_2}{A_{2,0}} \cdot \frac{A_{1,0}}{\lambda_1}

\frac{M_2}{M_1} = \frac{\lambda_2}{\lambda_1} \cdot \frac{A_{1,0}}{A_{2,0}}

Sustituimos los valores calculados de $\lambda_1$ y $\lambda_2$ , y los valores iniciales de actividad dados:

\frac{M_2}{M_1} = \frac{0,0828 \text{ día}^{-1}}{0,1165 \text{ día}^{-1}} \cdot \frac{10,00 \text{ kBq}}{11,70 \text{ kBq}}

\frac{M_2}{M_1} \approx 0,7107 \cdot 0,8547 \approx 0,6078

\frac{M_2}{M_1} \approx 0,608