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T6: Física nuclear
Desintegración radiactiva
Problema
2024 · Extraordinaria · Titular
A5
Examen

Para una prueba diagnóstica se utiliza una cierta cantidad del isótopo 9999 del tecnecio (99Tc^{99}\text{Tc}) cuyo tiempo de semidesintegración es de 6 h6 \text{ h}. Sabiendo que la actividad de la dosis que hay que inocular al paciente es de 5⋅108 Bq5 \cdot 10^8 \text{ Bq}, determine:

a) La masa de isótopo que hay que inyectar al paciente.b) El tiempo que debe transcurrir para que la actividad sea de 1⋅104 Bq1 \cdot 10^4 \text{ Bq}.

Datos: Masa atómica del 99Tc^{99}\text{Tc}, M99Tc=98,9 uM_{^{99}\text{Tc}} = 98,9 \text{ u}; Número de Avogadro, NA=6,02⋅1023 mol−1N_A = 6,02 \cdot 10^{23} \text{ mol}^{-1}.

RadiactividadPeriodo de semidesintegraciónActividad

Datos proporcionados:

T1/2=6 h=6×3600 s=21600 sT_{1/2} = 6 \text{ h} = 6 \times 3600 \text{ s} = 21600 \text{ s}
A0=5⋅108 BqA_0 = 5 \cdot 10^8 \text{ Bq}
A=1⋅104 BqA = 1 \cdot 10^4 \text{ Bq}
M99Tc=98.9 u=0.0989 kg/molM_{^{99}\text{Tc}} = 98.9 \text{ u} = 0.0989 \text{ kg/mol}
NA=6.02⋅1023 mol−1N_A = 6.02 \cdot 10^{23} \text{ mol}^{-1}

Primero, calculamos la constante de desintegración λ\lambda a partir del tiempo de semidesintegración T1/2T_{1/2}:

λ=ln⁡(2)T1/2\lambda = \frac{\ln(2)}{T_{1/2}}
λ=0.69321600 s=3.208⋅10−5 s−1\lambda = \frac{0.693}{21600 \text{ s}} = 3.208 \cdot 10^{-5} \text{ s}^{-1}
a) La masa de isótopo que hay que inyectar al paciente.

La actividad inicial A0A_0 está relacionada con el número inicial de núcleos N0N_0 mediante la expresión:

A0=λN0A_0 = \lambda N_0

Despejamos N0N_0:

N0=A0λ=5⋅108 Bq3.208⋅10−5 s−1=1.5586⋅1013 nuˊcleosN_0 = \frac{A_0}{\lambda} = \frac{5 \cdot 10^8 \text{ Bq}}{3.208 \cdot 10^{-5} \text{ s}^{-1}} = 1.5586 \cdot 10^{13} \text{ núcleos}

La masa inicial m0m_0 se calcula a partir del número de núcleos N0N_0, la masa molar del isótopo M99TcM_{^{99}\text{Tc}} y el número de Avogadro NAN_A:

m0=N0⋅M99TcNAm_0 = \frac{N_0 \cdot M_{^{99}\text{Tc}}}{N_A}
m0=(1.5586⋅1013 nuˊcleos)⋅(0.0989 kg/mol)6.02⋅1023 mol−1=2.56⋅10−12 kgm_0 = \frac{(1.5586 \cdot 10^{13} \text{ núcleos}) \cdot (0.0989 \text{ kg/mol})}{6.02 \cdot 10^{23} \text{ mol}^{-1}} = 2.56 \cdot 10^{-12} \text{ kg}
b) El tiempo que debe transcurrir para que la actividad sea de 1⋅104 Bq1 \cdot 10^4 \text{ Bq}.

La actividad AA en un tiempo tt se rige por la ley de desintegración radiactiva:

A=A0e−λtA = A_0 e^{-\lambda t}

Sustituimos los valores y despejamos tt:

1⋅104 Bq=5⋅108 Bq⋅e−(3.208⋅10−5 s−1)t1 \cdot 10^4 \text{ Bq} = 5 \cdot 10^8 \text{ Bq} \cdot e^{-(3.208 \cdot 10^{-5} \text{ s}^{-1}) t}
1⋅104 Bq5⋅108 Bq=e−(3.208⋅10−5 s−1)t\frac{1 \cdot 10^4 \text{ Bq}}{5 \cdot 10^8 \text{ Bq}} = e^{-(3.208 \cdot 10^{-5} \text{ s}^{-1}) t}
2⋅10−5=e−(3.208⋅10−5 s−1)t2 \cdot 10^{-5} = e^{-(3.208 \cdot 10^{-5} \text{ s}^{-1}) t}

Aplicamos logaritmo natural a ambos lados:

ln⁡(2⋅10−5)=−(3.208⋅10−5 s−1)t\ln(2 \cdot 10^{-5}) = -(3.208 \cdot 10^{-5} \text{ s}^{-1}) t
−10.8198=−(3.208⋅10−5 s−1)t-10.8198 = -(3.208 \cdot 10^{-5} \text{ s}^{-1}) t
t=10.81983.208⋅10−5 s−1=3.373⋅105 st = \frac{10.8198}{3.208 \cdot 10^{-5} \text{ s}^{-1}} = 3.373 \cdot 10^5 \text{ s}

Convertimos el tiempo a horas:

t=3.373⋅105 s3600 s/h=93.7 ht = \frac{3.373 \cdot 10^5 \text{ s}}{3600 \text{ s/h}} = 93.7 \text{ h}