T6: Física nuclear · Radiactividad — FISICA PEvAU Madrid 2025

Radiactividad

Problema

2025 · Ordinaria · Titular

Dos muestras, cada una de un radioisótopo distinto (radioisótopo 1 y radioisótopo 2) contienen en el momento de su preparación la misma masa del radioisótopo correspondiente. Las medidas de actividad de las muestras 1 y 2 para el instante inicial ( $t = 0$ ) y al cabo de un día arrojan los siguientes valores: $\begin{array}{|l|l|l|} \hline & A_1 (\text{kBq}) & A_2 (\text{kBq}) \ \hline t = 0 & 10,00 & 11,70 \ \hline t = 1 \text{ d} & 8,90 & 10,77 \ \hline \end{array}$

a) Calcule el período de semidesintegración de cada radioisótopo.b) Si

M_1

M_2

denotan las respectivas masas atómicas de los radioisótopos, determine el cociente

M_2/M_1

actividad radiactivaperiodo de semidesintegraciónmasas atómicas

a) Para calcular el período de semidesintegración (

T_{1/2}

) de cada radioisótopo, utilizamos la ley de desintegración radiactiva, que relaciona la actividad inicial (

A_0

) con la actividad en un instante posterior (

A(t)

A(t) = A_0 e^{-\lambda t}

donde $\lambda$ es la constante de desintegración. El período de semidesintegración se relaciona con $\lambda$ mediante la expresión:

T_{1/2} = \frac{\ln 2}{\lambda}

Aplicamos estas fórmulas para cada radioisótopo.

Radioisótopo 1

Datos: $A_{01} = 10.00 \text{ kBq}$ , $A_1(t=1\text{ d}) = 8.90 \text{ kBq}$ , $t = 1 \text{ d}$ .Sustituyendo en la ecuación de actividad:

8.90 \text{ kBq} = 10.00 \text{ kBq} \cdot e^{-\lambda_1 (1 \text{ d})}

\frac{8.90}{10.00} = e^{-\lambda_1 (1 \text{ d})}

\ln(0.89) = -\lambda_1 (1 \text{ d})

\lambda_1 = -\frac{\ln(0.89)}{1 \text{ d}} \approx -\frac{-0.11653}{1 \text{ d}} \approx 0.11653 \text{ d}^{-1}

Ahora calculamos el período de semidesintegración para el radioisótopo 1:

T_{1/2, 1} = \frac{\ln 2}{\lambda_1} = \frac{0.693147}{0.11653 \text{ d}^{-1}} \approx 5.948 \text{ d}

Radioisótopo 2

Datos: $A_{02} = 11.70 \text{ kBq}$ , $A_2(t=1\text{ d}) = 10.77 \text{ kBq}$ , $t = 1 \text{ d}$ .Sustituyendo en la ecuación de actividad:

10.77 \text{ kBq} = 11.70 \text{ kBq} \cdot e^{-\lambda_2 (1 \text{ d})}

\frac{10.77}{11.70} = e^{-\lambda_2 (1 \text{ d})}

\ln\left(\frac{10.77}{11.70}\right) = -\lambda_2 (1 \text{ d})

\lambda_2 = -\frac{\ln(0.92051)}{1 \text{ d}} \approx -\frac{-0.08279}{1 \text{ d}} \approx 0.08279 \text{ d}^{-1}

Ahora calculamos el período de semidesintegración para el radioisótopo 2:

T_{1/2, 2} = \frac{\ln 2}{\lambda_2} = \frac{0.693147}{0.08279 \text{ d}^{-1}} \approx 8.372 \text{ d}

b) Para determinar el cociente

M_2/M_1

, utilizaremos la relación entre la actividad inicial, la masa del radioisótopo y su masa atómica.

La masa de un radioisótopo ( $m_0$ ) está relacionada con el número inicial de núcleos ( $N_0$ ) y su masa atómica ( $M$ ) mediante:

m_0 = N_0 \frac{M}{N_A} \implies N_0 = \frac{m_0 N_A}{M}

donde $N_A$ es el número de Avogadro.La actividad inicial ( $A_0$ ) se relaciona con $N_0$ y la constante de desintegración $\lambda$ por:

A_0 = \lambda N_0

Sustituyendo $N_0$ en la ecuación de actividad inicial:

A_0 = \lambda \frac{m_0 N_A}{M}

De esta expresión, podemos despejar el producto $m_0 N_A$ :

m_0 N_A = \frac{A_0 M}{\lambda}

Dado que las masas iniciales de ambos radioisótopos son iguales ( $m_{01} = m_{02}$ ), y $N_A$ es una constante, podemos igualar las expresiones para ambos radioisótopos:

\frac{A_{01} M_1}{\lambda_1} = \frac{A_{02} M_2}{\lambda_2}

Despejamos el cociente $M_2/M_1$ :

\frac{M_2}{M_1} = \frac{A_{01} \lambda_2}{A_{02} \lambda_1}

Sustituyendo $\lambda = \frac{\ln 2}{T_{1/2}}$ :

\frac{M_2}{M_1} = \frac{A_{01} (\ln 2 / T_{1/2, 2})}{A_{02} (\ln 2 / T_{1/2, 1})} = \frac{A_{01} T_{1/2, 1}}{A_{02} T_{1/2, 2}}

Ahora, sustituimos los valores conocidos:

A_{01} = 10.00 \text{ kBq}

T_{1/2, 1} = 5.948 \text{ d}

A_{02} = 11.70 \text{ kBq}

T_{1/2, 2} = 8.372 \text{ d}

Realizando el cálculo:

\frac{M_2}{M_1} = \frac{(10.00 \text{ kBq}) \cdot (5.948 \text{ d})}{(11.70 \text{ kBq}) \cdot (8.372 \text{ d})} = \frac{59.48}{97.9524} \approx 0.607