T6: Física nuclear · Radiactividad — FISICA PEvAU Madrid 2022

Radiactividad

Problema

2022 · Extraordinaria · Titular

El isótopo de americio, $^{241}\text{Am}$ , se ha utilizado para la fabricación de detectores de humo. Si la cantidad de americio $^{241}\text{Am}$ en un detector de humo en el momento de su fabricación es de $0,2$ miligramos y su tiempo de vida media, $\tau$ , es de $432$ años, determine:

a) El tiempo de semidesintegración del

^{241}\text{Am}

y la actividad inicial del detector de humo.b) La cantidad de

^{241}\text{Am}

en el detector de humo cuando su actividad haya disminuido un

80 \%

respecto de su valor inicial y el tiempo transcurrido.

Datos: Masa atómica del Am, $M_{\text{Am}} = 241 \text{ u}$ ; Número de Avogadro, $N_A = 6,02 \cdot 10^{23} \text{ mol}^{-1}$ .

Desintegración radiactivaVida mediaActividad radiactiva+1

a) El tiempo de semidesintegración del

^{241}\text{Am}

y la actividad inicial del detector de humo.

El tiempo de semidesintegración, $T_{1/2}$ , está relacionado con el tiempo de vida media, $\tau$ , y la constante de desintegración, $\lambda$ , por las siguientes expresiones:

\tau = \frac{1}{\lambda}

T_{1/2} = \frac{\ln(2)}{\lambda}

Por lo tanto, podemos relacionar directamente $T_{1/2}$ con $\tau$ :

T_{1/2} = \tau \ln(2)

Sustituyendo el valor dado de $\tau$ :

T_{1/2} = 432 \text{ años} \cdot \ln(2) = 432 \text{ años} \cdot 0,693 = 299,74 \text{ años}

Para calcular la actividad inicial, $A_0$ , necesitamos la constante de desintegración $\lambda$ y el número inicial de núcleos, $N_0$ . Primero, convertimos el tiempo de vida media a segundos:

\tau = 432 \text{ años} \cdot \left(\frac{365,25 \text{ días}}{1 \text{ año}}\right) \cdot \left(\frac{24 \text{ h}}{1 \text{ día}}\right) \cdot \left(\frac{3600 \text{ s}}{1 \text{ h}}\right) = 1,3629 \cdot 10^{10} \text{ s}

Ahora calculamos $\lambda$ :

\lambda = \frac{1}{\tau} = \frac{1}{1,3629 \cdot 10^{10} \text{ s}} = 7,337 \cdot 10^{-11} \text{ s}^{-1}

A continuación, calculamos el número inicial de núcleos de $^{241}\text{Am}$ ( $N_0$ ) a partir de la masa inicial $m_0 = 0,2 \text{ mg} = 0,2 \cdot 10^{-3} \text{ g}$ y la masa atómica $M_{\text{Am}} = 241 \text{ u}$ (que es $241 \text{ g/mol}$ ). Utilizamos el número de Avogadro, $N_A = 6,02 \cdot 10^{23} \text{ mol}^{-1}$ .

N_0 = \frac{m_0}{M_{\text{Am}}} N_A = \frac{0,2 \cdot 10^{-3} \text{ g}}{241 \text{ g/mol}} \cdot 6,02 \cdot 10^{23} \text{ mol}^{-1} = 4,996 \cdot 10^{17} \text{ núcleos}

Finalmente, la actividad inicial $A_0$ es:

A_0 = \lambda N_0 = (7,337 \cdot 10^{-11} \text{ s}^{-1}) \cdot (4,996 \cdot 10^{17} \text{ núcleos}) = 3,666 \cdot 10^{7} \text{ Bq}

b) La cantidad de

^{241}\text{Am}

en el detector de humo cuando su actividad haya disminuido un

80 \%

respecto de su valor inicial y el tiempo transcurrido.

Si la actividad ha disminuido un $80 \%$ , significa que la actividad actual $A$ es el $20 \%$ de la actividad inicial $A_0$ :

A = A_0 - 0,80 A_0 = 0,20 A_0

Dado que la actividad es directamente proporcional al número de núcleos ( $A = \lambda N$ ), y la masa es directamente proporcional al número de núcleos, la masa de $^{241}\text{Am}$ también será el $20 \%$ de la masa inicial:

m = 0,20 m_0 = 0,20 \cdot (0,2 \text{ mg}) = 0,04 \text{ mg}

Para calcular el tiempo transcurrido, $t$ , usamos la ley de desintegración radiactiva para la actividad:

A = A_0 e^{-\lambda t}

Sustituimos $A = 0,20 A_0$ :

0,20 A_0 = A_0 e^{-\lambda t}

0,20 = e^{-\lambda t}

Aplicamos el logaritmo natural a ambos lados:

\ln(0,20) = -\lambda t

Despejamos $t$ :

t = -\frac{\ln(0,20)}{\lambda}

Sabemos que $\ln(0,20) = \ln(1/5) = -\ln(5)$ , y que $\lambda = 1/\tau$ . Sustituyendo:

t = -\frac{-\ln(5)}{1/\tau} = \tau \ln(5)

Sustituyendo el valor de $\tau$ :

t = 432 \text{ años} \cdot \ln(5) = 432 \text{ años} \cdot 1,609 = 695,1 \text{ años}