T6: Física nuclear · Radiactividad — FISICA PEvAU Madrid 2025

Radiactividad

Problema

2025 · Extraordinaria · Titular

Para una prueba diagnóstica se utiliza una cierta cantidad del isótopo 99 del tecnecio ( $^{99}\text{Tc}$ ) cuyo tiempo de semidesintegración es de $6 \text{ h}$ . Sabiendo que la actividad de la dosis que hay que inocular al paciente es de $5 \cdot 10^8 \text{ Bq}$ , determine:

a) La masa de isótopo que hay que inyectar al paciente.b) El tiempo que debe transcurrir para que la actividad sea de

1 \cdot 10^4 \text{ Bq}

Datos: Masa atómica del $^{99}\text{Tc}$ , $M_{^{99}\text{Tc}} = 98,9 \text{ u}$ ; Número de Avogadro, $N_A = 6,02 \cdot 10^{23} \text{ mol}^{-1}$ .

Desintegración radiactivaActividadIsótopos

a) La masa de isótopo que hay que inyectar al paciente.

Primero, calculamos la constante de desintegración ( $\lambda$ ) a partir del tiempo de semidesintegración ( $T_{1/2}$ ). Es importante usar unidades del Sistema Internacional, por lo que convertimos las horas a segundos.

T_{1/2} = 6 \text{ h} \cdot \frac{3600 \text{ s}}{1 \text{ h}} = 21600 \text{ s}

La relación entre la constante de desintegración y el tiempo de semidesintegración es:

\lambda = \frac{\ln 2}{T_{1/2}}

\lambda = \frac{0,693}{21600 \text{ s}} = 3,208 \cdot 10^{-5} \text{ s}^{-1}

La actividad ( $A$ ) se relaciona con el número de núcleos ( $N$ ) y la constante de desintegración mediante la fórmula $A = \lambda N$ . Dada la actividad inicial ( $A_0$ ), podemos encontrar el número inicial de núcleos ( $N_0$ ).

N_0 = \frac{A_0}{\lambda}

N_0 = \frac{5 \cdot 10^8 \text{ Bq}}{3,208 \cdot 10^{-5} \text{ s}^{-1}} = 1,558 \cdot 10^{13} \text{ núcleos}

Para convertir el número de núcleos a masa, utilizamos el número de Avogadro ( $N_A$ ) y la masa atómica del $^{99}\text{Tc}$ ( $M_{^{99}\text{Tc}}$ ). La masa molar se obtiene de la masa atómica expresada en g/mol.

M_{molar} = 98,9 \text{ g/mol} = 0,0989 \text{ kg/mol}

m = \frac{N_0 \cdot M_{molar}}{N_A}

m = \frac{1,558 \cdot 10^{13} \text{ núcleos} \cdot 0,0989 \text{ kg/mol}}{6,02 \cdot 10^{23} \text{ mol}^{-1}} = 2,56 \cdot 10^{-12} \text{ kg}

b) El tiempo que debe transcurrir para que la actividad sea de

1 \cdot 10^4 \text{ Bq}

Utilizamos la ley de desintegración radiactiva para la actividad:

A = A_0 \cdot e^{-\lambda t}

Despejamos el tiempo ( $t$ ):

e^{-\lambda t} = \frac{A}{A_0}

-\lambda t = \ln\left(\frac{A}{A_0}\right)

t = -\frac{1}{\lambda} \ln\left(\frac{A}{A_0}\right)

t = -\frac{1}{3,208 \cdot 10^{-5} \text{ s}^{-1}} \ln\left(\frac{1 \cdot 10^4 \text{ Bq}}{5 \cdot 10^8 \text{ Bq}}\right)

t = -\frac{1}{3,208 \cdot 10^{-5} \text{ s}^{-1}} \ln(2 \cdot 10^{-5})

t = -\frac{1}{3,208 \cdot 10^{-5} \text{ s}^{-1}} (-10,8197)

t = 337298,9 \text{ s}

Convertimos el tiempo a horas para mayor claridad:

t = 337298,9 \text{ s} \cdot \frac{1 \text{ h}}{3600 \text{ s}} = 93,7 \text{ h}